7.1.2 弧度制（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦弧度制，涵盖定义、弧度与角度互化、弧长及扇形面积公式，揭示角的集合与实数集的一一对应关系。通过生活单位情境引入，结合同一圆心角不同半径下弧长与半径比值不变的探究，搭建从角度制到弧度制的认知支架。 其亮点是以问题链驱动探究，如通过60°圆心角弧长与半径比值不变的实例，抽象出弧度定义，培养数学抽象与数学思维。采用表格对比、公式推导等方法，助学生理解角与实数对应，为三角函数奠基，教师用之可提升教学效率，学生能深化数学本质理解。

第七章 三角函数 7.1.2 弧度制 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：弧度制的定义及弧度与角度的相互转化；弧长与扇形面积的弧度表示 教学难点：理解弧度制定义的必要性，体会角的集合与实数集R的对应关系 经历弧度制概念的形成过程，理解弧度制的定义； 能进行弧度与角度的转换；推导 弧度制下的弧长公式、扇形面积公式； 理解任意角的集合与实数集之间的一一对应关系； 教学目标 学科素养 数学建模：构建“角的大小-实数”的一一对应模型，为三角函数的学习做铺垫. 数学抽象：摆脱角度制的具象限制，提取弧长与半径的比值这一本质属性，建立角与实数的对应关系. 新知引入 度量长度：米、英尺、码等单位制 度量重量：千克、磅等单位制 度量角：角度、…… 角度是一种独立存在的单位.我们想探究它和其他单位之间的联系. 角度制 角度(°) 长度 换算 情境1：生活中有多种多样的单位. 问题1：举出一些关于长度、重量、角的单位. 问题2：角度能否用长度进行刻画呢？ 弧度制 新知引入 如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同. 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 结果:若 探究1：考虑角度与长度之间的关系——角度与弧长 问题3：为什么保持不变？我们又能得到什么？ 新知引入 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 探究1：考虑角度与长度之间的关系——角度与弧长 由角α的大小唯一确定，而与其为圆心角所在圆的大小（半径）无关！ 练习：当角度α分别是45°,60 °,90 °度时，写出角α所对的弧长与半径r的比值 练习：度的弧度数为________， 度的弧度数为________. 问题探究 结论: 同一圆心角α所对的圆弧长l与半径r之比为同一常数. α的角度数 确定的常数l/r 称为“α的弧度数” 的弧度数为 若 则𝛼的弧度数为1. 结果:若则 若则 若则 的弧度数为 的弧度数为 新知呈现 我们将长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度（radian）的角，记作1 rad．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制（radian measure）． 弧度制 现在我们回答了问题二，在弧度制下，我们实现了几何度量（长度和角度）基础的一致性（用单位线段来度量）． 问题4：弧度数有正负之分吗？为什么？ 在半径为r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 ，则 ． 新知呈现 问题4：弧度数有正负之分吗？为什么？ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0． 引入弧度制后，在中，不妨取r = 1（这时的圆也称单位圆），那么： 1.当为正角时，的弧度数即为其所对应的弧长 l 的数量； 2.当为负角时，的弧度数即为其所对应的弧长 l 的数量的相反数； 3.当为零角时，的弧度数为0. 例题1：请完成下列角度与弧度之间的转换. 角度(°) 弧度 (rad) 0 变式1：1°的角对应的弧度数是多少？弧度数为1的角对应的角度是多少？ 用弧度制表示角度大小时，只要不引起误解，可以省略单位. 典例精讲 例题2：把下列角度化成弧度，把弧度化成角度： （1）；（2）；（3）； （4）． 解 注意正负之分！ ． ． 典例精讲 例题3：在任意角的学习中，我们学习了一些特殊的角的表示，现在请用弧度表示下面的角： (3)与α终边相同的角的集合 (4)终边在直线y=x上的角的集合 Tip：角度和弧度不能混用！ (1)终边在x轴上的角的集合 (2)终边在y轴上的角的集合 典例精讲 若则为第_____象限角. 若则为第_____象限角. 二 四 变式1：判断象限角. 若则为第_____象限角. 四 𝛼=−1与𝛽=1互为相反角,终边关于𝑥轴对称； 为第一象限角，那么为第四象限角. 变式训练 典例精讲 问题5：如图，设长度为 r 的线段OA 绕端点O 旋转形成角𝛼（，单位为弧度），设弧长为l，求阴影部分扇形的面积. 新知呈现 新知呈现 问题6：在同一个圆或等圆中，不同扇形对应的圆心角，弧长，面积的比值有什么关系？ 设在一个圆中，有两个扇形，其对应的圆心角，弧长，面积分别是. 扇形圆心角之比 = 弧长之比 = 面积之比 变式1： 已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数． 解:已知弧长𝑙=144，半径𝑟=120，则圆心角弧度数𝛼. 设扇子的圆心角为 变式2：假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，剪下的面积是，而剩余部分的面积为，求与的比值. 扇形圆心角之比 = 弧长之比 = 面积之比 变式训练 典例精讲 解 设扇形的半径为 r ，弧长为 l ，则有 解得 故扇形的面积为． 例题4：已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积． 典例精讲 变式1：已知一个扇形的周长为20cm， (1)若扇形面积为9cm2，则该扇形的圆心角的弧度数是多少？ (2)当圆心角α的弧度数是多少时，该扇形面积最大？ 当时,扇形面积最大，此时 联立解得 解:设扇形面积为𝑆,弧长为𝑙,半径为𝑟,圆心角弧度数为𝛼. (1)由题意得 变式训练 典例精讲 反思总结 问题7：本节课学习的最主要的内容是什么？ 角的集合 弧度数的集合 角的集合 实数集R 一一对应 一一对应 反思总结 问题8：本节课还学习了什么内容？ 弧度的定义与角度的互换 扇形的面积计算公式 扇形圆心角之比 = 弧长之比 = 面积之比 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $