5.2.3 简单复合函数的导数-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦简单复合函数的导数这一核心知识点，系统梳理复合函数的概念及求导法则，从实例出发引入复合函数，如由y=log₂u和u=x+1复合成y=log₂(x+1)，并详细讲解求导法则y'ₓ=y'ᵤ·u'ₓ，通过例题展示具体求导步骤。 资料以海上油轮泄漏形成圆形油膜的实际问题引入，引导学生用数学的眼光观察现实世界中的变化率问题，培养数学抽象能力。通过设计思考辨析题和分层例题，如三角函数型函数求导中y=sin²x先化简再求导，提升学生逻辑推理和数学运算素养。课中教师可依托实例讲解复合函数分解方法，帮助学生理解求导关键步骤，课后学生能通过跟进训练和分层作业，如求y=(1-3x)³的导数，巩固知识并查漏补缺。

5.2.3　简单复合函数的导数 学习任务 核心素养 1．了解复合函数的概念．(易混点) 2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点、易错点) 1．通过对复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．借助对复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养． 海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f(r)＝πr2． 油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1． 思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？ 知识点1　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 知识点2　复合函数的求导法则 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． 特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin (πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx．(　　) (2)f(x)＝ln (3x－1)，则f′(x)＝．(　　) (3)f(x)＝x2cos 2x，则f′(x)＝2x cos 2x＋2x2sin 2x．(　　) [提示]　(2)中f′(x)＝． (3)中，f′(x)＝2x cos 2x－2x2sin 2x． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝的导数是(　　) A． B． C．－ D．－ C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－．] 3．下列对函数的求导正确的是(　　) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C．y＝cos ，则y′＝sin D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2 D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；B中，y′＝，∴B错误；C中，y′＝－sin ，∴C错误；D中y′＝22x-1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2．故D正确．] 类型1　复合函数的导数 【例1】　【链接教材P207例4】 求下列函数的导数： (1)y＝e2x+1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝． [解]　(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1． (2)函数y＝可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4 ＝－6(2x－1)-4＝－． (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝． (4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝＝ ＝． 【教材原题·P207例4】 求下列函数的导数： (1)y＝(2x－3)3；(2)y＝ln (5x＋1)． [解]　(1)y＝(2x－3)3可由y＝u3及u＝2x－3复合而成，所以y′x＝y′u×2＝(u3)′×2＝3u2×2＝6u2＝6(2x－3)2． (2)y＝ln (5x＋1)可由y＝ln u及u＝5x＋1复合而成，所以y′x＝y′u×5＝(ln u)′×5＝×5＝． 　1．解答此类问题常犯的两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 [跟进训练] 1．求下列函数的导数： (1)y＝103x-2；(2)y＝ln (ex＋x2)； (3)y＝x． [解]　(1)令u＝3x－2，则y＝10u． 所以y′x＝y′u·u′x＝10u ln 10·(3x－2)′ ＝3×103x-2ln 10． (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u． ∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝． (3)y′＝(x)′＝＋x()′ ＝＝． 类型2　三角函数型函数的导数 【例2】　求下列函数的导数： (1)y＝cos ； (2)y＝x2＋tan x． [解]　(1)∵y＝cos ＝cos sin －cos2＝sinx－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－， ∴y′＝′ ＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)． (2)因为y＝x2＋， 所以y′＝(x2)′＋′ ＝2x＋＝2x＋． 　三角函数型函数的求导要求 对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导． 复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导． [跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sinx3； (3)y＝cos4x－sin4x． [解]　(1)∵y＝， ∴y′＝′＝sin x． (2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′ ＝3sin2x cos x＋3x2cos x3． (3)∵y＝cos4x－sin4x ＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x， ∴y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x． 类型3　导数运算法则的综合应用 【例3】　(1)曲线y＝f(x)＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A．　　 　B．2　　 　C．3　　 　D．0 (2)设曲线y＝f(x)＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． (1)A　(2)2　[(1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． ∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝＝2， 解得x0＝1，∴y0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)． ∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是． (2)曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2．因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2．] [母题探究] 1．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝f(x)＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值． [解]　由题意可知，设切点P(x0，y0)，则f′(x0)＝＝2，∴x0＝1， 即切点P(1，0)，∴＝2，解得m＝8或m＝－12． 即实数m的值为8或－12． 2．(变条件、变结论)把本例(1)的条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值． [解]　函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln (x＋1)的导函数为y′＝． 设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln (x＋1)上的切点横坐标分别为m，n， 则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln (n＋1)．整理后对比得 解得 因此b＝1－ln 2． 　利用导数的几何意义解题时的注意点 (1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出． (2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组． (3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件． (4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 1．函数y＝(2 026－8x)3的导数y′＝(　　) A．3(2 026－8x)2 B．－24x C．－24(2 026－8x)2 D．24(2 026－8x)2 C　[y′＝3(2 026－8x)2×(2 026－8x)′＝3(2 026－8x)2×(－8)＝－24(2 026－8x)2．] 2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′ ＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′ ＝2x cos 2x－2x2sin 2x．] 3．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝________． 　[f′(x)＝×(3x－1)′＝，∴f′(1)＝＝．] 4．已知f(x)＝xe－x，则f(x)在x＝2处的切线斜率是________． －　[∵f(x)＝xe－x，∴f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)·e－x，∴f′(2)＝－．根据导数的几何意义知f(x)在x＝2处的切线斜率为k＝f′(2)＝－．] 5．求下列函数的导数： (1)y＝e2x；(2)y＝(1－3x)3． [解]　(1)y′＝e2x·(2x)′＝e2x·2＝2e2x． (2)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2 或y′＝－81x2＋54x－9． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．复合函数的求导法则是什么？ [提示]　对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． 2．求复合函数的导数需要注意什么？ [提示]　①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 课时分层作业(三十四)　简单复合函数的导数 一、选择题 1．若f(x)＝ex ln 2x，则f′(x)＝(　　) A．exln 2x＋ B．ex ln 2x－ C．ex ln 2x＋ D．2ex· C　[f′(x)＝ex ln 2x＋ex×＝ex ln 2x＋．] 2．已知函数f(x)＝2ln (3x)＋8x，则的值为(　　) A．10 B．－10 C．－20 D．20 C　[∵f(x)＝2ln (3x)＋8x，∴f′(x)＝＋8＝8＋． 根据导数定义知＝－2＝－2f′(1)＝－20．故选C．] 3．已知f(x)＝，则f′＝(　　) A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2 D　[依题意有f′(x)＝，故f′＝＝2＋ln 2，所以选D．] 4．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x ln x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　　) A．y＝－x B．y＝－x＋2 C．y＝x D．y＝x－2 A　[因为x＜0，f(x)＝f(－x)＝－x ln (－x)＋1，f(－1)＝1， f′(x)＝－ln (－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x．故选A．] 5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2 B　[设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2．] 二、填空题 6．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________． 2sin2x　[∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos2x， ∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′＝2sin 2x．] 7．若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________． (e，e)　[设P(x0，y0)．∵y＝x ln x， ∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x． ∴k＝1＋ln x0．又k＝2， ∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e． ∴y0＝eln e＝e． ∴点P的坐标是(e，e)．] 8．已知P为指数函数f(x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________． 　[设f(x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f′(x)＝ex，f′(x0)＝＝1，x0＝0，f(0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝＝．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)求下列函数的导数： (1)y＝(3x＋5)3； (2)y＝e-0.05x+1； (3)y＝ln (2x－1)． [解]　(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 yx′＝yu′·ux′ ＝(u3)′·(3x＋5)′ ＝3u2×3 ＝9(3x＋5)2． (2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 yx′＝yu′·ux′ ＝(eu)′·(－0.05x＋1)′ ＝－0.05eu ＝－0.05e-0.05x+1． (3)函数y＝ln (2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 yx′＝yu′·ux′ ＝(ln u)′·(2x－1)′ ＝×2 ＝． 10．曲线y＝f(x)＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． [解]　∵y＝esin x， ∴y′＝f′(x)＝esin xcos x， ∴f′(0)＝1． ∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为 y－1＝x，即x－y＋1＝0． 又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0． 由＝得m＝－1或3． ∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0． 11．(多选题)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是(　　) A．π B．π C．π D．π AC　[因为y＝，所以y′＝＝＝． 因为ex>0，所以ex＋2，当且仅当x＝0时，等号成立．所以y′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0)． 又因为α∈[0，π)，所以α∈．故选AC．] 12．曲线y＝f(x)＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D．1 A　[依题意得y′＝e-2x·(－2)＝－2e-2x，f′(0)＝＝－2． 曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2．在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝．] 13．设函数f(x)＝cos (x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′＝，则φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________． 或　[f′(x)＝－sin (x＋φ)． 由条件知，f′＝－sin (π＋φ)＝sin φ＝， ∴sin φ＝，∵0＜φ＜π， ∴φ＝或． 又f(x)＋f′(x) ＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ) ＝2sin ， 若f(x)＋f′(x)为奇函数， 则f(0)＋f′(0)＝0， 即0＝2sin， ∴φ＋＝kπ(k∈Z)． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝．] 14．设P是曲线y＝x－x2－ln x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 　[由y＝x－x2－ln x，得y′＝1－x－(x＞0)， ∵1－x－＝1－1－2＝－1， 当且仅当x＝1时等号成立． ∴y′－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1， ∴tan θ－1，又θ∈[0，π)， ∴θ∈．] 15．设函数f(x)＝aex ln x＋． (1)求导函数f′(x)； (2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值． [解]　(1)由f(x)＝aex ln x＋， 得f′(x)＝(aex ln x)′＋′＝aex ln x＋(x>0)． (2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上， 将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2． 将x＝1代入导函数f′(x)中， 得f′(1)＝ae＝e， ∴a＝1．∴a＝1，b＝2． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $