5.2.3 简单复合函数的导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“简单复合函数的导数”，通过油轮泄漏油膜面积随时间变化的实际问题导入，衔接导数概念，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生理解复合函数导数的必要性。 其亮点在于以问题驱动，通过“思考-梳理-例题-应用”递进式设计，培养数学眼光、思维与语言。如复合函数分解训练提升抽象能力，切线问题和温度变化实例强化应用意识，帮助学生深化理解，助力教师高效教学。

第5章 导数及其应用 1 5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 2 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜， 油膜的面积（单位：）与油膜的半径（单位： ）的函数解析式为 .油膜的半径随着时间（单位：）的增加而扩大，假设 关于的函数解析式为.油膜的面积关于时间 的瞬时变 化率是多少呢？要解决这个问题就要学习本节复合函数的导数. 返回导航 新课导入 3 1.了解复合函数的复合过程． 2.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 3.会用复合函数的导数求解相关问题． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 复合函数的概念 思考 我们常说为“正弦函数”，而 为“正弦型函数”，那 么 是由哪些初等函数构成的？ 提示 记,则可以看作正弦函数和 两个初 等函数以一种“嵌套”的方式组成. 返回导航 7 ［知识梳理］ 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量, 可以表示成关于的函数，那么称这个函数为函数和 的 复合函数，记作 . 返回导航 8 ［例1］ （1）（多选）下列函数是复合函数的是( ) A. B. C. D. 解析：A不是复合函数；B，C，D是复合函数. √ √ √ 返回导航 9 （2）下列函数不是复合函数的是( ) A. B. C. D. 解析：选项A不是复合函数; 选项B由， 复合而成； 选项C由， 复合而成； 选项D由， 复合而成． √ 返回导航 10 若与均为基本初等函数，则函数或函数 均为复合函数，而, 不是复合函数. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （多选）下列函数是复合函数的是( ) A. B. C. D. 解析：选.由复合函数的概念可知 选项中的函数为复合函数，B选 项中的函数不是复合函数. √ √ √ 返回导航 12 二 复合函数的求导法则 思考 如何求函数 的导数？ 提示 ，由两个函数相乘的求导法则可知， ；从整体上来看，外层函数是 ， 它的导数，内层函数是，它的导数 ，发现 . 返回导航 13 ［知识梳理］ 一般地，对于由函数和 复合而成的函数 ，它的导数与函数, 的导数间的关系为 . 特别地，若,,则①________，即 ②_______. 返回导航 14 ［例2］ 求下列函数的导数. （1） ； 【解】 ， ， . （2） ； 【解】 ， . 返回导航 15 （3） ； 【解】 ， . （4） ． 【解】 ， ． 返回导航 16 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点 ①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导;③ 计算结果尽量简洁. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ （1）已知，若，则 ( ) A. B. C. D.1 解析：选A.因为 ， 所以 ， 又，所以，因为，所以 ， 所以 . √ 返回导航 18 （2）函数的导数 _________. 解析： ， 设， ， 所以 . 返回导航 19 三 复合函数导数的应用 角度1 综合应用 ［例3］ 曲线上的点到直线 的最短距离是 ( ) A. B. C. D.0 √ 返回导航 20 解析：设曲线在点处的切线与直线 平行. 因为，所以，解得 ， 所以，即切点坐标为 . 所以切点到直线的距离为 ， 即曲线上的点到直线的最短距离是 .故选A. 返回导航 母题探究 本例变为“曲线上的点到直线 的 最短距离为，求实数 的值”. 解：由题意可知，设切点 ， 则 ， 所以，即切点 ， 所以，解得或 . 当时，直线与曲线 有交点， 则曲线上的点到直线的最短距离为0，故 舍去.经 检验实数 的值为8. 返回导航 22 角度2 实际应用 ［例4］ 已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间 （单位：）满足函数关系 （1）求 ，并解释其实际意义； 【解】由，求导得 ， 所以，在第 时，汽水温度的瞬时变化率为 ， 说明在第附近，汽水温度大约以 的速率下降. 返回导航 23 （2）已知摄氏度与华氏度（单位：）满足函数关系 ， 求关于 的导数，并解释其实际意义. 【解】依题意， ，求 导得 ， 所以关于的导数为，在第 时，汽水温度的瞬时变化率 为 ， 说明在第 附近，汽水温度大约以 的速率下降. 返回导航 24 正确地求出复合函数的导数是解答此类题目的关键，审题时注意所给 点是否为切点，挖掘题目中的隐含条件，求出参数.解决已知经过一定点的 切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 返回导航 25 ［跟踪训练3］ （1）已知函数 ,则 __________. 解析： ， 则，得 ， 所以 ， 故 . 返回导航 26 （2）已知某港口一天内潮水的深度（单位：）与时间（单位： ）近 似满足函数关系, .分别求上午6时与下午6时 潮水涨（落）的速度. 返回导航 27 解：由题意可得 ， 上午6时，即， ， 即上午6时潮水涨（落）的速度为 ， 即落潮速度为 . 下午6时，即， ， 即下午6时潮水涨（落）的速度为，即涨潮速度为 . 返回导航 28 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.函数 的导数是( ) A. B. C. D. 解析：选A. .故选A. 2.函数 的导数为( ) A. B. C. D. 解析：选C. . √ √ 返回导航 30 3.已知函数的导函数为，且满足 ，则 ____. 解析：因为 ， 所以 ， 所以 ， 得 . 4.若曲线在点处的切线与直线垂直，则 ___. 2 解析：由题意知 . 返回导航 31 1.已学习：复合函数的求导法则. 2.须贯通：求复合函数的导数时，先理解函数的复合特征，再逐层求导. 3.应注意：求复合函数的导数时要正确分解函数；求导时分清是对哪个变 量求导. 返回导航 32 $