4.2.3 第1课时 等差数列的前n项和-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，通过倒序相加法推导公式，呈现首末项与项数、首项公差与项数两类求和公式。以高斯故事引入，经定义推导，延伸至计算、实际应用、an与Sn关系、Sn最值四类应用，构建完整学习支架。 资料以核心素养为导向，结合高斯算铅笔、抗洪堤坝等情境培养数学建模，例题与跟进训练提升数学运算，母题探究深化逻辑推理。课中助力教师系统授课，课后分层作业帮助学生巩固知识，查漏补缺。

4.2.3　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和 学习任务 核心素养 1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点) 2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3．会求等差数列前n项和的最值．(重点) 1．通过对等差数列前n项和的有关计算，培养数学运算素养． 2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养数学建模及数学运算素养． 3．通过an与Sn关系的应用，提升逻辑推理素养． 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．老师问：“高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？” 知识点　等差数列的前n项和公式 (1)数列{an}的前n项和：对于数列{an}，把a1＋a2＋…＋an称为数列{an}的前n项和，记作Sn． (2)等差数列前n项和公式推导：等差数列前n项和公式是用倒序相加法推导的． (3)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 在等差数列{an}前n项和公式推导中，运用了哪条性质？ [提示]　运用性质“在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．”从而a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1． 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 B　[S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420．] 2．等差数列－1，－3，－5，…的前n项和是－100，那么n的取值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C　[根据公式Sn＝na1＋d得－100＝－n＋×(－2)，解得n＝10．] 类型1　等差数列前n项和的有关计算 【例1】　【链接教材P149例1】 在等差数列{an}中，若： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5． [解]　(1)法一：∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 ∴a8＝a6＋2d＝16． 法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3(a1＋10)＝15． ∴a1＝－5，d＝＝3． ∴a8＝a6＋2d＝16． (2)法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， ∴a1＋2d＝． ∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24． 法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝， ∴S5＝＝＝24． 【教材原题·P149例1】 设Sn为等差数列{an}的前n项和． (1)已知a1＝3，a50＝101，求S50； (2)已知a1＝3，公差d＝，求S10． [解]　(1)根据等差数列前n项和公式，得 S50＝×50＝2 600． (2)根据等差数列前n项和公式，得 S10＝10×3＋＝． 　求数列的基本量的基本方法 求数列的基本量的基本方法是构建方程、方程组或运用数列的有关性质进行处理． (1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个． (2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解． [跟进训练] 1．(1)已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若a2＋a4＝4，a5＝8，则S10＝(　　) A．125　　　B．115　　　C．105　　　D．95 (2)已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S9＝27，a10＝8，则S14＝(　　) A．154 B．153 C．77 D．78 (1)D　(2)C　[(1)⇒S10＝10×(－4)＋×3＝95． (2)根据题意，等差数列{an}中，若S9＝27，即S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3．又a10＝8， ∴S14＝＝＝77．故选C．] 类型2　等差数列前n项和公式的实际应用 【例2】　【链接教材P151例4】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [思路探究]　因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程． [解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－． 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 【教材原题·P151例4】 某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？ [解]　这个剧场各排的座位数组成等差数列{an}，其中公差d＝2，项数n＝20，且第20项是a20＝60． 由等差数列的通项公式，得 60＝a1＋(20－1)×2， 所以a1＝22． 由等差数列的求和公式，得 S20＝＝820． 答：这个剧场共有820个座位． 　遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n． [跟进训练] 2．(1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布(　　) A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 (2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为(　　) A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 (1)B　(2)B　[(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90尺． (2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{an}．设首项为2，则a5＝4，∴中间3尺的重量为a2＋a3＋a4＝3a3＝×3＝×3＝9(斤)．] 类型3　利用an＝求通项 【例3】　根据下列数列的前n项和Sn求通项an． (1)Sn＝2n2－n＋1； (2)Sn＝2·3n－2． [思路探究]　先写出n2时an＝Sn－Sn－1的表达式，再求出n＝1时a1＝S1的值，验证a1是否适合n2时的表达式．如果适合，则an＝Sn－Sn－1(n∈N*)，否则an＝ [解]　(1)由Sn＝2n2－n＋1， 当n2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1] ＝4n－3． 当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3． ∴an＝ (2)由Sn＝2·3n－2， 当n2时， an＝Sn－Sn－1 ＝2·3n－2－(2·3n-1－2) ＝4·3n-1． 当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31-1， ∴an＝4·3n-1(n∈N*)． 　1．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 2．用an与Sn的关系求an的步骤 (1)先确定n2时an＝Sn－Sn－1的表达式； (2)再利用Sn求出a1(a1＝S1)； (3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式； (4)写出数列的通项公式． [跟进训练] 3．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an． [解]　根据条件可得Sn＝2n＋1． 当n2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n-1－1 ＝2n-1(2－1)＝2n-1， 当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21-1， ∴an＝ 类型4　等差数列前n项和Sn的函数特征 【例4】　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2． (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大？ [解]　(1)法一：(公式法)当n2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n． 故{an}的通项公式为an＝34－2n． 法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n． (2)法一：(公式法)令an0，得34－2n0，所以n17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二：(函数性质法)由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的 图象可知：当n17时，an0，当n18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． [母题探究] 1．(变条件)将例题中的条件变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17”，求其前n项和Sn的最大值． [解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2． ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169． ∴当n＝13时，Sn有最大值169． 法二：同法一，求出公差d＝－2． ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27． ∵a1＝25>0， 由 得 又∵n∈N*， ∴当n＝13时，Sn有最大值169． 法三：设Sn＝An2＋Bn． ∵S9＝S17， ∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值169． 2．(变结论)本例中条件不变，令bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn． [解]　由数列{an}的通项公式an＝34－2n知，当n17时，an0； 当n18时，an<0． 所以当n17时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2． 当n18时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544． 故Tn＝ 　1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点． 3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　) A．1　　 　B．　　 　C．2　　 　D．3 C　[设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得解得] 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝100，则a4＋a7＝(　　) A．12 B．20 C．40 D．100 B　[法一：由等差数列的前n项和公式得S10＝10a1＋d＝100，即2a1＋9d＝20，从而a4＋a7＝a1＋3d＋a1＋6d＝2a1＋9d＝20． 法二：S10＝＝100，∴a1＋a10＝20，a4＋a7＝a1＋a10＝20．故选B．] 3．若数列{an}的通项公式为an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　) A．13 B．14 C．15 D．14或15 B　[由得得n． 又n∈N*，∴n＝14．] 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋1，则其通项公式为________． an＝　[当n2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－(n－1)2＋2(n－1)－1＝2n－3，而当n＝1时，a1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3， 所以通项公式an＝] 5．(教材P153习题4.2(2)T4改编)在等差数列{an}中： (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d； (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n． [解]　(1)由题意， 得Sn＝＝＝－5， 解得n＝15． ∵a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－． (2)由已知， 得S8＝＝＝172， 解得a8＝39． ∵a8＝4＋(8－1)d＝39， ∴d＝5． (3)由 得 解得或 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．等差数列{an}的前n项和公式是什么？ [提示]　Sn＝n·n． 2．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间有什么关系？ [提示]　an＝ 课时分层作业(二十四)　等差数列的前n项和 一、选择题 1．等差数列{an}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2．则其前n项和Sn＝(　　) A．8＋n－n2 B．9n－n2 C．5n－n2 D． B　[∵a2－a3＝2，∴公差d＝a3－a2＝－2．又a1＋a4＝a1＋(a1＋3d)＝2a1－6＝10， ∴a1＝8，∴Sn＝9n－n2．] 2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝(　　) A．99 B．33 C．198 D．66 D　[因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则S11＝＝11a6＝11×6＝66，故选D．] 3．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　) A． B． C．10 D．12 B　[∵公差为1， ∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6． ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝．故选B．] 4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 A　[a1＋a2＋…＋a10 ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)] ＝3×5＝15．] 5．设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 C　[若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以＝a1＋(n＋1－1)·为常数，所以为等差数列，即甲⇒乙；若为等差数列，设其公差为t，则＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t为常数，所以{an}为等差数列，即乙⇒甲．所以甲是乙的充要条件，故选C．] 二、填空题 6．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n2)，则数列{an}的前9项和等于________． 27　[由a1＝1，an＝an－1＋(n2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋＝9＋18＝27．] 7．若数列的前n项和为Sn＝n2－3n＋1，则该数列的通项公式为________． an＝　[由题意可知，当n＝1时，a1＝S1＝12－3×1＋1＝－1； 当n2时，an＝Sn－Sn－1＝＝2n－4．又a1＝－1不满足an＝2n－4．因此，an＝] 8．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________． 304　[因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40⇒d＝－8，所以an＝40－8n．所以|an|＝|40－8n|＝所以前12项之和为＝80＋224＝304．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)已知数列{an}是等差数列． (1)若a1＝7，a50＝101，求S50； (2)若a1＝2，a2＝，求S10； (3)若a1＝，Sn＝－5，求n． [解]　(1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2 700． (2)因为a1＝2，a2＝，所以d＝．根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋． (3)把a1＝，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝． 整理，得n2－7n－60＝0．解得n＝12，或n＝－5(舍去)．所以n＝12． 10．设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d． [解]　(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd．因为bn＝，所以bn＝，所以S3＝．因为S3＋T3＝21，所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，因为d＞1，所以d＝3．所以{an}的通项公式为an＝3n． (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即2×， 所以，所以－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d． ①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝， S99＝＝99×50d， T99＝． 因为S99－T99＝99， 所以99×50d－＝99， 即50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去)． ②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝， S99＝＝99×51d， T99＝． 因为S99－T99＝99， 所以99×51d－＝99， 即51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)． 综上，d＝． 11．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是(　　) A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 ABD　[显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确． 又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确． 而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．] 12．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2 023＞0，S2 024＜0，对任意正整数n，都有|an||ak|，则下列判断正确的是(　　) A．a1 012＞0 B．a1 013＞0 C．|a1 012|＞|a1 013| D．k的值为1 012 AD　[由等差数列{an}，可得 S2 023＝＞0， S2 024＝＜0， 即a1＋a2 023＞0，a1＋a2 024＜0，可得2a1 012＞0，a1 012＋a1 013＜0， ∴a1 012＞0，a1 013＜0，∴A正确，B错误． 又等差数列{an}为递减数列， 且a1 012＋a1 013＜0，∴|a1 012|＜|a1 013|，∴C错误． 而对任意正整数n，都有|an||ak|，则k的值为1 012，故D正确．故选AD．] 13．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则第9圈石板数为________，前9圈石板总数为________． 81　405　[设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9． 由等差数列的通项公式， 得第9圈石板块数为 a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)． 由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为 S9＝9a1＋×9＝405(块)．] 14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＝2 000(米)．] 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2． (1)求Sn，并画出{Sn}(1n13)的图象； (2)分别求{Sn}单调递增、单调递减时n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项； (3){Sn}中有多少项大于零？ [解]　(1)Sn＝na1＋×(－2)＝－n2＋13n．{Sn}(1n13)的图象如图． (2)Sn＝－n2＋13n＝，n∈N*， ∴当n＝6或7时，Sn最大；当1n6时，{Sn}单调递增；当n7时，{Sn}单调递减． {Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42． (3)由图象得{Sn}中有12项大于零． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $