4.2.1-4.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学等差数列的概念及通项公式，从剧场座位数问题引入，通过概念辨析深化理解，结合累加法推导通项公式，从函数视角解析公式本质，辅以例题与训练构建完整学习支架。 资料以情境引入培养数学眼光，累加法推导与判定证明发展逻辑推理（数学思维），分层作业与母题探究助力数学语言表达。课中辅助教师授课，课后帮助学生回顾强化，有效查漏补缺。

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 4.2．2　等差数列的通项公式 第1课时　等差数列的概念及通项公式 学习任务 核心素养 1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的判定方法．(重点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 1．通过等差数列通项公式的学习，提升数学运算素养． 2．借助等差数列的判断与证明，培养逻辑推理素养． 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． 那么，第30排有多少个座位？ 知识点1　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一般地，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　) (3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列． (　　) (4)一个无穷数列{an}的前四项分别为1，2，3，4，则它一定是等差数列． (　　) [提示]　(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．(4)错误．该数列的前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1． [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 知识点2　等差数列的通项公式 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 1．教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？ [提示]　还可以用累加法，过程如下： ∵a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d(n2)， 将上述n－1个式子相加得 an－a1＝(n－1)d(n2)， ∴an＝a1＋(n－1)d(n2)， 当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式， ∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)． 2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　) A．22　　　B．24　　　C．26　　　D．28 D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D．] 3．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N*)，则a6＝________． 　[由条件知，＝5，∴为等差数列，且＝3， ∴＝3＋5×5＝28，即a6＝．] [知识拓展]　从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d． 2．由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？ [提示]　两个条件：首项a1和公差d． 类型1　等差数列的概念 【例1】　【链接教材P140例1】 (1)(多选题)下列命题正确的有(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数) D．数列是等差数列 (2)下列数列中，递增的等差数列有________个． ①1，3，5，7，9；②2，0，－2，0，－6，0，…；③，…；④0，0，0，0，…；⑤－1，＋1． (1)BCD　(2)3　[(1)对于A，根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为－2，所以A错误； 对于B，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确； 对于C，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以C正确； 对于D，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列是等差数列，所以D正确． (2)等差数列有①③④⑤，其中递增的为①③⑤，共3个，④为常数列．] 【教材原题·P140例1】 判断下列数列是否为等差数列： (1)1，1，1，1，1； (2)4，7，10，13，16； (3)－3，－2，－1，1，2，3． [解]　(1)所给数列是首项为1，公差为0的等差数列． (2)所给数列是首项为4，公差为3的等差数列． (3)因为(－1)－(－2)≠1－(－1)， 所以这个数列不是等差数列． 　(1)判断一个数列是否为等差数列，只需看an＋1－an(n∈N*)是不是一个与n无关的常数． (2)判断一个等差数列是不是递增数列，只需看公差d是否大于0． (3)求两个数的等差中项，只需求这两个数的和的一半即可． [跟进训练] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．9，9，9，9，9 B．7，13，19，25，31 C．，1， D．－3，－2，－1，1，2 D　[由等差数列的定义得 选项A中d＝0，故正确；选项B中d＝6，故正确；选项C中d＝，故正确；选项D中每一项与前一项的差不是同一个常数，故错误．故选D．] 2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则数列{an}________(填“是”或“不是”)等差数列，若是，公差为________． 是　　[∵an＋1＝an＋， ∴an＋1－an＝(n∈N*)， ∴数列{an}是以为公差的等差数列．] 类型2　等差数列的通项公式 【例2】　【链接教材P143例4】 (1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝20，a7＝28，求a15的值． [解]　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． (1)∵a4＝7，a10＝25， 则　得 ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5(n∈N*)． (2)由得所以 ∴a15＝a1＋(15－1)d＝16＋14×2＝44． 【教材原题·P143例4】 在等差数列{an}中， (1)已知a1＝3，公差d＝－2，求a6； (2)已知a3＝10，a9＝28，求an． [解]　(1)由等差数列的通项公式，得 a6＝3＋(6－1)(－2)＝－7． (2)设等差数列的公差为d，那么 解得 所以an＝4＋(n－1)·3＝3n＋1． 　等差数列通项公式的妙用 (1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d．如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”． (2)从函数的角度看等差数列的通项公式．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数． (3)由两点确定一条直线可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，则可以写出该数列中的任意一项． [跟进训练] 3．已知数列{an}为等差数列． (1)已知a1＝6，d＝3，求a8； (2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d； (3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n； (4)已知a7＝，d＝－2，求a1． [解]　(1)∵a1＝6，d＝3， ∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3． ∴a8＝3×8＋3＝27． (2)∵a4＝10，a10＝4， ∴d＝＝＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7． (3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18． (4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝， ∴a1＝． 类型3　等差数列的判定与证明 【例3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝． (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an． 如何用定义证明数列{an}是等差数列？ [提示]　证明an－an－1＝d(常数)(n2)． [解]　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝， ∴＝， 即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝． [母题探究] 1．(变条件)将本例中条件“a1＝2，an＋1＝”换成“a1＝＝(n2，n∈N*)”，结论如何？ [解]　(1)当n2，n∈N*时，＝⇔＝⇔－2＝2＋⇔＝4，且＝5． ∴是等差数列，且公差为4，首项为5． (2)由(1)及等差数列的通项公式得 ＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，∴an＝． 2．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)”，记bn＝． (1)证明：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝ ＝＝ ＝＝． 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n． ∵bn＝， ∴an＝＋2＝＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2． 　等差数列的判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 1．(教材P142练习T5改编)数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　) A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列 C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列 A　[等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5，故公差为－3．故选A．] 2．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 C　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16．故选C．] 3．已知a＝，b＝，若a，c，b成等差数列，则c＝________． 　[由c－a＝b－c知c＝，由题意知a＝，b＝，∴c＝＝．] 4．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式． [解]　由题意得 ∴ 解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n． 故数列{an}的通项公式为an＝2n． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．等差数列的定义与通项公式分别是什么？ [提示]　如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 2．判断一个数列是等差数列的方法有哪些？ [提示]　(1)定义法；(2)通项公式法． 课时分层作业(二十二)　等差数列的概念及通项公式 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　) A．49 B．50 C．51 D．52 D　[∵an＋1－an＝， ∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)×＝2＋， ∴a101＝2＋＝52．] 2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝(　　) A．－15 B．－28 C．15 D．28 B　[设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2． 即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B．] 3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－2(n∈N*) B．an＝2n＋4(n∈N*) C．an＝－2n＋12(n∈N*) D．an＝－2n＋10(n∈N*) D　[由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d＜0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝＝＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10．故选D．] 4．若lg 2，lg (2x－1)，lg (2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　) A．0 B．log25 C．32 D．0或32 B　[依题意得2lg (2x－1)＝lg 2＋lg (2x＋3)， ∴(2x－1)2＝2(2x＋3)， ∴(2x)2－4·2x－5＝0， ∴(2x－5)(2x＋1)＝0， ∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25．] 5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an0，且an＋1<0的n为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 B　[公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)×(－4)＝88－4n， 令即⇒21<n22． 又∵n∈N*，∴n＝22．] 二、填空题 6．已知在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n2)，则an＝________． 3n　[因为n2时，an－an－1＝3， 所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n．] 7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________． 　[设公差为d，∵＝＝＝2d， ∴d＝． ∴＝＋4×d＝＋4×＝． ∴a10＝．] 8．若2，a，b，c，10成等差数列，则c－a＝________． 4　[设公差为d，则c－a＝2d，而10－2＝4d，∴d＝2，故c－a＝2×2＝4．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2，…的第20项． [解]　(1)当n2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1)＝7－2n． 于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2． 把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得 a1＝5－2×1＝3． 所以，{an}的公差为－2，首项为3． (2)由已知条件，得 d＝5－8＝－3． 把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得 an＝8－3(n－1)＝11－3n． 把n＝20代入上式，得 a20＝11－3×20＝－49． 所以，这个数列的第20项是－49． 10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n2且n∈N*)确定． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x2 025． [解]　(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n2且n∈N*)，∴＝＝， ∴＝(n2且n∈N*)， ∴是等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，∴＝＝，∴x2 025＝． 11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 ABC　[由题可设an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d．∴n＝＋1． ∵d∈N*，∴d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数，故选ABC．] 12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A．构成的新数列是等差数列，公差为10 B．构成的新数列是等差数列，公差为12 C．该数列共有16项 D．该数列共有18项 BC　[等差数列2，6，10，…，190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10， 所以12n－10190，解得n，而n∈N*，所以n的最大值为16， 即新数列的项数为16．故选BC．] 13．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间的项数为________． 38　[由题意，得 d＝a2－a1＝116－112＝4， 所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108． 令450an600， 解得85.5n123，又因为n为正整数，故有38项．] 14．等差数列{an}中，首项为33．若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________． an＝36－3n　an＝38－5n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数， 可得即 解得－<d<－， 又∵d∈Z，∴d＝－5， ∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n．] 15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)， 且a1＝1， 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3． 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3． (2)不存在实数λ，使数列{an}成为等差数列． 证明如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3．于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24． 这与{an}为等差数列矛盾． 所以不存在λ使{an}是等差数列． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $