4.2.1 等差数列的概念（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕等差数列的概念、等差中项及判定方法展开，通过奥运会年份、通话费计费、储蓄本利和等生活实例导入，先回顾4.1节数列实例，再引导学生观察数列共同特点，逐步归纳出等差数列定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养学生“用数学眼光观察现实世界”的能力，通过问题链引导归纳概念，结合定义法、等差中项法判定数列，发展“用数学思维思考现实世界”的推理能力。丰富的典例和练习题（如判断数列、求未知项、证明等差数列）帮助学生“用数学语言表达现实世界”，既让学生从生活中抽象数学概念加深理解，也为教师提供系统的教学资源支持。

4.2 等差数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 4.2.1 等差数列的概念 第四章 数列 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义，了解等差中项的概念. 体会等差数列与一次函数的关系. 掌握等差数列的判定方法. 回顾本章 4.1节开始我们遇到的数列①②，再考察下面的问题： 第 23 届到第 31 届奥运会举行的年份依次为 1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016. 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过 3 min，收话费 0.2 元，以后每分钟 (不足 1 min 按 1 min 计) 收话费 0.1 元. 那么通话费按从小到大的次序依次为 0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，···. 新知探究 ●上面这些数列有什么共同的特点? 如果1年期储蓄的月利率为 1.65%，那么将 10 000 元分别存 1 个月、 2个月、 3 个月······12个月，所得的本利和依次为 10 000＋16.5，10 000＋16.5×2，···，10 000＋16.5×12. “本利和”是指本金与利息的和，按照单利计算本利和的公式是本利和＝本金× (1＋利率×存期). 新知探究 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列 (arithmetic progression)，这个常数叫作等差数列的公差 (common difference)，公差通常用 d 表示. 在等差数列 {an}中，始终有 an＋1－an＝d. 你能再举出一些等差数列的例子吗? 概念归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键：利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 例 1 判断下列数列是否为等差数列： (1) 1，1，1，1，1； (2) 4，7，10，13，16； (3) －3，－2，－1，1，2，3. 解 (1) 所给数列是首项为1，公差为0的等差数列. (2) 所给数列是首项为4，公差为3的等差数列. (3) 因为 (－1)－(－2)≠1－ (－1)， 所以这个数列不是等差数列. 教材P129 例题 求出下列等差数列中的未知项： (1)3，a, 5； (2)3，b, c, -9． 解：(1)根据题意，数列3，a,5为等差数列， 则有a-3=5-a,解得a=4； (2)根据题意，3，b,c,-9为等差数列， 则 ，解得 ． 方法技巧 解题的关键：若几个数成等差数列，严格按照等差数列的定义列出等式，通过解方程或方程组的方法求出未知量. 典例分析 例 2 教材P130 例题 7 (1)在等差数列{an}中，是否有an= (n≥2)？ (2)在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有an= ，那么数列{an}一定是等差数列吗？ 解：(1)∵{an}是等差数列，∴an+1-an=an-an-1(n≥2)，∴an= ； (2)在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有an= 即2an=an+1+an-1，从而an+1-an=an-an-1(n≥2)， 这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{an}是等差数列． 典例分析 例 3 教材P130 例题 8 1.判断下列数列是否为等差数列： (1)-1，-1，-1，-1，-1； (2)1， ， ， ； (3)1，0，1，0，1，0； (4)2，4，6，8，10，12； (5)7，12，17，22，27． 解：(1)结合等差数列的定义可知，-1，-1，-1，-1，-1是等差数列； (2)1， ， ， 不是等差数列； (3)1，0，1，0，1，0不是等差数列； (4)2，4，6，8，10，12是等差数列；(5)7，12，17，22，27是等差数列． 教材P130 练习 9 2.从下面的月历表中，请你用彩笔涂出3个等差数列，满足以下要求： (1)每个数列的项所在的框是相连接的(顶点相连或者边相连)； (2)三个数列的公差是不同的． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 解：{an}：1，2，3，4，5，6，7；{bn}：1，8，15，22，29；{cn}：1，9，17，25， 则数列{an}，{bn}，{cn}都是等差数列，公差依次为d1=1；d2=7；d3=8． 教材P131 练习 10 3.已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数： (1)　　，5，10； (2)1， ，　　； (3)31，　　，　　，10． 解：(1)由题意可得，公差d=5，a1=0， (2)由题意可得，a3= ， (3)由题意可得，3d=-21即d=-7，从而a2=24，a3=17 故答案为：0，2 ；24，17． 教材P131 练习 11 4.已知数列{an}是等差数列． (1)如果a1=2，a3=6，求公差d 和 a2；(2)如果a2=2，a3=5，求公差d 和 a1； (3)如果a1=1，a2=4，求公差d 和 a6． 解：(1)由题意可得，d= =2，a2=4；(2)由题意可得，d=a3-a2=3，a1=-1； (3)由题意可得，d=3，a6=16． 教材P131 练习 12 5.已知数列{an}的通项公式．判断它是否为等差数列： (1)an=3n+1； (2)an=4-2n； (3)an=n2； (4)an=0． 解：(1)∵an=3n+1，∴an-an-1=3，故数列{an}是等差数列； (2)an=4-2n,∴an-an-1=-2，故数列{an}是等差数列； (3)an=n2，∴an-an-1=2n-1不是常数，故数列{an}不是等差数列； (4)∵an=0，∴an-an-1=0，故数列{an}是等差数列； 教材P131 练习 13 6.已知a1，a2，a3，…，an+1，…，a2n 是公差为d 的等差数列． (1)an，an-1，…，a2，a1 也是等差数列吗？如果是，试求出公差； (2)a2，a4，a6，…，a2n 也是等差数列吗？如果是，试求出公差． 解：(1)因为a1，a2，a3，…，an+1，…，a2n是公差为d的等差数列， 所以an，an-1，…，a2，a1也是等差数列，公差是-d； (2)因为a1，a2，a3，…，an+1，…，a2n是公差为d的等差数列， 所以a2，a4，a6，…，a2n也是等差数列，公差是2d. 教材P131 练习 14 1.从1，2，3， ，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列 共有( ) C A.16个 B.24个 C.32个 D.48个 等差数列的概念 题型一 题型探究 解析 当公差 时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8； 7，8，9,共7个. 当公差 时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9,共5个. 当公差 时，数列有1，4，7；2，5，8；3，6，9,共3个. 当公差 时，数列有1，5，9,共1个. 同理，当 时，有7个数列，当 时，有5个数列， 当 时，有3个数列，当 时，有1个数列， 故共有 （个）.故选C. 等差数列的概念 题型一 题型探究 2.（多选题）下列是等差数列的有( ) AD A. ， ， ， ， B. ， ， ， ， C.0，2，0，2，0，2 D. ，0，2，4，6 [解析] 对于A，因为 ， ， ， ， 为常数列，所以该数列是等差数列， 故选项A正确；对于B，因为 ，所以该数列不是等差数列，故选项B错误； 对于C，因为 ，所以该数列不是等差数列，故选项C错误；对于D， 因为 ，所以该数列是等差数列，故选项D正确. 故选 . 3.（多选）若 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( ) BCD A. B. C.,为常数 D. 解析 对于A，数列 ,1,3是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故A不符合题意； 对于B，若数列为等差数列，根据等差数列的定义可知，数列 为常数列，故数列 为等差数列，故B符合题意； 对于C，若数列为等差数列，设其公差为，则 为 常数，故数列 为等差数列，故C符合题意； 对于D，若数列为等差数列，设其公差为，则 为常数，故 数列为等差数列，故D符合题意.故选 . 等差数列的概念 题型一 题型探究 17 等差中项的概念 题型二 题型探究 4.已知，，则, 的等差中项为( ) A A. B. C. D. 解析 .故选A. 5.“”是“数列 为等差数列”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 如果数列是等差数列，根据等差中项的定义一定有 ，即必要性成立； 反之成立，不一定有数列 是等差数列,即充分性不成立.故选B. 6.若不全相等的非零实数,,成等差数列且公差为，那么,, ( ) B A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列 C.一定是等差数列，且公差为 D.一定是等差数列，且公差为 解析 若,,是等差数列，则 ，因为,,成等差数列，所以 ， 则整理得，与非零实数,, 不全相等矛盾， 所以,, 一定不是等差数列.故选B. 7. 与 的等差中项是_ _______. <m></m> [解析] 设 与 的等差中项是 ，则 . 等差中项的概念 题型二 题型探究 等差数列的证明 题型三 题型探究 8.已知 , , 成等差数列，求证： , , 也成等差数列. 证明 由已知得 ，所以 ， ，所以 ， ，即 .故 ， ， 成等差数列. 规律方法 判断或证明等差数列的方法 （1）定义法： 或 数列 为等差数列. （2）等差中项法： 数列 为等差数列. 20 9.设 和 是两个等差数列,记 , , , ,其中 , , , 表示 , , , 这 个数中最小的数. （1）若 , ，求 , , 的值； 解 因为 ， ， 所以 ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， ， . （2）若 , ,证明 是等差数列. 证明 因为 ， ，所以 ， 当 时， ; 当 时， ， 所以 为递增数列， 所以 ， ， ， ， 所以对任意 ， ，所以 ，所以 是等差数列. 等差数列的证明 题型三 题型探究 21 课堂小结 1.等差数列的概念 （且） 3.等差数列的判定 是等差数列. （且）是等差数列. 2.等差中项 三个数成等差数列，叫做与的等差中项. 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $