4.4 数学归纳法-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过多米诺骨牌游戏情境导入，引导学生理解其原理，衔接数列知识，借助定义阐释、框图表示和思考辨析等支架，帮助学生掌握归纳奠基与递推的核心步骤。 其亮点在于情境化设计与分层教学结合，通过归纳猜想证明等例题培养数学抽象和逻辑推理素养，如通过数列前n项和计算猜想公式并证明。采用反思领悟小结方法，助力学生提升证明能力，教师可利用多样化训练资源优化教学效果。

第4章　数列 4.4　数学归纳法* 学习任务 核心素养 1．了解数学归纳法的原理．(难点) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1．通过对数学归纳法定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过对数学归纳法的应用，培养逻辑推理素养． 4.4　数学归纳法* 在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 你认为第二个条件的作用是什么？ 必备知识·情境导学探新知 4.4　数学归纳法* 知识点　数学归纳法 (1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： ①证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； ②假设当n＝k(kn0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立． 根据①②就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫作数学归纳法． n＝k＋1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* (2)数学归纳法的框图表示 n＝n0 n＝k(k，k∈N*) 从n0开始的所 有正整数n n＝k＋1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? [提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推． (　　) (2)用数学归纳法证明3nn2(n3，n∈N*)，第一步验证n＝3． (　　) (3)设Sk＝，则Sk＋1＝． (　　) × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [提示]　(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk＋1＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 体验2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，计算左边所得的项是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2，故C正确．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 体验3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是(　　) A．(2k＋1)＋(2k＋2) B．(2k－1)＋(2k＋1) C．(2k＋2)＋(2k＋3) D．(2k＋2)＋(2k＋4) √ C　[当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 关键能力·合作探究释疑难 类型1　用数学归纳法证明等式 【例1】　【链接教材P171例3】 (1)用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn+1＝(n∈N*，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋q C．1＋q＋q2 D．1＋q＋q2＋q3 √ 4.4　数学归纳法* (2)用数学归纳法证明： (n∈N*)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* (1)C　[当n＝1时，左边＝1＋q＋q1+1＝1＋q＋q2．] (2)[证明]　 ①当n＝1时，成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ， 则当n＝k＋1时，，即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 【教材原题·P171例3】 用数学归纳法证明：当n∈N*时， 12＋22＋32＋…＋n2＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [证明]　(1)当n＝1时， 12＝1，＝1，等式成立． (2)假设当n＝k时等式成立，即 12＋22＋32＋…＋k2＝， 那么，当n＝k＋1时，有 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝＋(k＋1)2 ＝ ＝ ＝ ＝． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*，等式都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1时证明目标的表达式变形． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [跟进训练] 1．用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [证明]　①当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， [(k＋1)＋1]·[(k＋1)＋2]·…·[(k＋1)＋(k＋1)]＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)＝2×2k×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝2k+1×1×3×…×(2k－1)×[2(k＋1)－1]， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立． 类型2　归纳—猜想—证明 【例2】　【链接教材P173例4】 已知数列的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [解]　S1＝； S2＝； S3＝； S4＝． 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1． 于是可以猜想Sn＝． 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，左边＝S1＝， 右边＝， 猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 ， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝ ＋ ＝＝ ＝， 所以，当n＝k＋1时猜想也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立． 【教材原题·P173例4】 设n∈N*，f(n)＝5n＋2×3n-1＋1． (1)当n＝1，2，3，4时，计算f(n)的值． (2)你对f(n)的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． [解]　(1)当n＝1时，f (1)＝51＋2×31-1＋1＝8＝8×1； 当n＝2时，f (2)＝52＋2×32-1＋1＝32＝8×4； 当n＝3时，f (3)＝53＋2×33-1＋1＝144＝8×18； 当n＝4时，f (4)＝54＋2×34-1＋1＝680＝8×85． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* (2)猜想：当n∈N*时，f (n)＝5n＋2×3n-1＋1能被8整除． ①当n＝1时，有f (1)＝51＋2×31-1＋1＝8， 能被8整除，命题成立． ②假设当n＝k时命题成立，即f (k)能被8整除，那么，当n＝k＋1时，有f (k＋1)＝5k+1＋2×3(k+1)-1＋1＝5×5k＋6×3k-1＋1 ＝(5k＋2×3k-1＋1)＋4(5k＋3k-1)＝f (k)＋4(5k＋3k-1)． 这里，5k和3k-1均为奇数，它们的和(5k＋3k-1)必为偶数，从而4(5k＋3k-1)能被8整除．又依归纳假设，f (k)能被8整除，所以f(k＋1)能被8整除．这就是说，当n＝k＋1时命题也成立． 根据①和②可知，对任何n∈N*，命题总成立． 反思领悟　1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [跟进训练] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝3，Sn＝an－1＋n2＋1(n2)．求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [解]　当n＝2时，S2＝a1＋22＋1，即3＋a2＝8，解得a2＝5； 当n＝3时，S3＝a2＋32＋1，即3＋5＋a3＝15，解得a3＝7； 当n＝4时，S4＝a3＋42＋1，即3＋5＋7＋a4＝24，解得a4＝9． 猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明： 当n＝1时，a1＝2×1＋1＝3，猜想成立； 假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立， 即ak＝2k＋1，Sk＝＝k2＋2k， 则当n＝k＋1时， Sk＋1＝ak＋(k＋1)2＋1， ∴Sk＋ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1， ∴ak＋1＝ak＋(k＋1)2＋1－Sk， ak＋1＝2k＋1＋(k＋1)2＋1－(k2＋2k)＝2(k＋1)＋1， 所以猜想成立． 综上所述， 对于任意n∈N*，an＝2n＋1均成立． 类型3　用数学归纳法证明不等式 【例3】　用数学归纳法证明1＋＋n(n∈N*)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [证明]　(1)当n＝1时，，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋ 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋k，则当n＝k＋1时，1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ．又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，再作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到凑出结论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [跟进训练] 3．用数学归纳法证明不等式：1＋<(n∈N*)． [证明]　①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当n＝k(k1且k∈N*)时，不等式成立，即1＋<2． 则当n＝k＋1时，1＋<2 <．即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 类型4　用数学归纳法解决平面几何问题 【例4】　【链接教材P174例5】 求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n4，n∈N*． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [证明]　(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面， 此时f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n＝k(k4，k∈N*)时，命题成立． 即k棱柱中过侧棱的对角面有f(k)＝k(k－3)个． 现在考虑n＝k＋1时的情形． 对于(k＋1)棱柱A1A2…Ak＋1-B1B2…Bk＋1，棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱共增加了(k－2)个对角面，而面A1B1BkAk变成了对角 面．因此对角面的个数为f(k)＋(k－2)＋1＝k(k－3)＋k－1＝(k－2)(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－3]成立． 由(1)和(2)，可知原结论成立． 【教材原题·P174例5】 在平面上画n条直线，且任何2条直线都相交，其中任何3条直线不共点．问：这n条直线将平面分成多少个部分？ [解]　记n条直线把平面分成rn个部分，我们通过n＝1，2，3，4，5，画出图形观察rn的情况(图4-4-1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 从图4-4-1中可以看出， r1＝2＝1＋1， r2＝4＝r1＋2＝1＋1＋2， r3＝7＝r2＋3＝1＋1＋2＋3， r4＝11＝r3＋4＝1＋1＋2＋3＋4， r5＝16＝r4＋5＝1＋1＋2＋3＋4＋5． 由此猜想 rn＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n． 接下来用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1，2时，结论均成立． (2)假设当n＝k时结论成立，即rk＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋k． 那么，当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前面的k条直线都相交，有k个交点，这k个交点将这条直线分成k＋1段，且每一段将原有的平面部分分成两个部分，所以rk＋1＝rk＋(k＋1)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋k＋(k＋1)，结论也成立． 根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*，都有rn＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n， 即rn＝1＋． 反思领悟　用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [跟进训练] 4．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* [证明]　(1)当n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分，那么当n＝k＋1时，依题意， 第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分， 所以平面上净增加了2k个区域． 所以f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)(2)知命题成立． 1．用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须满足(　　) A．n∈N*　　　　　　　　 B．n∈N*，n2 C．n∈N*，n3 D．n∈N*，n4 学习效果·课堂评估夯基础 √ 4.4　数学归纳法* D　[当n＝1，n＝2，n＝3时，显然不等式不成立， 当n＝4时，64>61不等式成立， 故用数学归纳法证明n3>3n2＋3n＋1这一不等式时，应注意n必须满足n4，n∈N*，故选D．] 2．用数学归纳法证明1＋<2－(n2，n∈N*)时，第一步需要证明(　　) A．1<2－ B．1＋<2－ C．1＋<2－ D．1＋<2－ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* C　[用数学归纳法证明1＋<2－(n2，n∈N*)， 第一步应验证不等式1＋<2－．故选C．] 3．用数学归纳法证明f(n)＝的过程中，f(k＋1)－f(k) ＝________． 　[依题意f(k)＝，f(k＋1)＝，所以f(k＋1)－f(k)＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 4．用数学归纳法证明＞．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________ _______________． ＞　[从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为，即不等式为＞．] ＞ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 5．用数学归纳法证明：当n2，n∈N*时，． [证明]　(1)当n＝2时，左边＝1－，右边＝，∴n＝2时 等式成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* (2)假设当n＝k(k2，k∈N*)时等式成立， ，那么当n＝k＋1时，＝ ＝．∴当n＝k＋1时， 等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n2，n∈N*，等式都成立． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 用数学归纳法证明数学命题的步骤是什么？ [提示]　(1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设当n＝k(kn0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2　　　　　　　 B．1＋<2 C．1＋<3 D．1＋<3 课时分层作业(三十)　数学归纳法 √ 53 B　[因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋<2．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．用数学归纳法证明1－，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A． B．－ C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 55 C　[因为当n＝k时，左端＝1－，当n＝k＋1时，左端＝1－．所以，左端应在n＝k的基础上加上．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 57 4．利用数学归纳法证明1＋<n(n2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　) A．1项 B．k项 C．2k-1项 D．2k项 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 58 D　[用数学归纳法证明不等式1＋<n(n2，n∈N*)的过程中， 假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋， 则当n＝k＋1时，左边＝1＋， ∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了， 共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 5．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式<k＋1成立，当n＝k＋1时，<＝(k＋1)＋1， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 60 ∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 61 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－时，若已知假设n＝k(k2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证___________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为：n＝k＋2时等式成立．] n＝k＋2时等式成立 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 62 7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (k＋3)3　[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3． 为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．] (k＋3)3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 63 8．已知f(n)＝1＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)> 时，f (2k+1)－f (2k)＝____________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 64 　＝1＋，当n＝k＋1时， f (2k+1)＝1＋， 所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋ ＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 三、解答题 9．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 66 [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边． (2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 10．(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：(1＋α)n1＋nα(其中α＞－1，n∈N*)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 68 [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1＋α，右边＝1＋α，命题成立． (2)假设当n＝k(k1)时，命题成立，即(1＋α)k1＋kα． 那么，当n＝k＋1时，因为α＞－1，所以1＋α＞0． 根据假设知，(1＋α)k1＋kα，所以 (1＋α)k+1＝(1＋α)k(1＋α) (1＋kα)(1＋α) ＝1＋(k＋1)α＋kα2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 因为kα20， 所以1＋(k＋1)α＋kα21＋(k＋1)α． 从而(1＋α)k+11＋(k＋1)α． 这表明，当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数n都成立． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 11．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　) A．当n＝6时，该命题不成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝4时，该命题成立 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 71 C　[若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5时命题成立． 若n＝5不成立，则n＝4时该命题不成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 12．(多选题)用数学归纳法证明不等式＞的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1 B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2 C．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 73 BC　[n＝1时，＞不成立，n＝2时，＞成立，所以A错误B正确；当n＝k时，左边的代数式为，当n＝k＋1时，左边的代数式为， 故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式得，即为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选 BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 13．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为_____________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4　[当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24， 从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．] 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 75 14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 π　[由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π．] π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 76 15．是否存在a，b，c使等式对一切n∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.4　数学归纳法* 77 [解]　取n＝1，2，3可得 解得a＝． 下面用数学归纳法证明．即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． ①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 ②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝成立， 则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立． 由数学归纳法，综合①②知当n∈N*时等式成立， 故存在a＝使已知等式成立． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 79 $