3.3.2 抛物线的几何性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，系统讲解焦点、准线、范围等性质，通径、焦点弦概念，直线与抛物线位置关系及中点弦问题。以“抛物线形拱桥能否通过木箱”情境导入，衔接抛物线定义，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于通过情境导学培养数学眼光，结合问题链设计发展数学思维，如中点弦问题用点差法与传统法对比，强化逻辑推理与数学运算。反思领悟环节总结解题要点，帮助学生构建知识体系，教师可借助分层训练提升教学效率。

第3章　圆锥曲线与方程 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1．通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算的核心素养． 2．通过对直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． 3.3.2　抛物线的几何性质 一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，水面上漂浮一个宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问：木箱能否通过该拱桥？ 必备知识·情境导学探新知 为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质． 3.3.2　抛物线的几何性质 知识点1　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 性质 焦点 开口 方向 向右 向左 向上 向下 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 在y轴的右侧 在y轴的左侧 在x轴的上方 在x轴的下方 对称性 关于_____对称 关于_____对称 顶点 ________ 离心率 e＝1 x轴 y轴 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线． (　　) (2)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝． (　　) (3)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p． (　　) × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 体验2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y D　[顶点到准线的距离为，则＝4．解得p＝8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x2＝±16y．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 知识点2　通径 通过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点 ______________和____________．线段M1M2叫作抛物线的通径，它 的长为___． 知识点3　焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝_________． 2p x1＋x2＋p 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 体验3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 √ B　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 知识点4　直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：____、____和____． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． 相离 相切 相交 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 ①k＝0时，直线与抛物线只有____交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线____⇔有__个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线____⇔只有__个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线____⇔____公共点． 思考　直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ [提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 一个 相交 两 相切 一 相离 没有 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 类型1　抛物线性质的应用 【例1】　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_________________． (2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． 关键能力·合作探究释疑难 y2＝3x或y2＝－3x 3.3.2　抛物线的几何性质 (1)y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．] (2)[解]　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设|BF|＝a，则由已知得 |BC|＝2a， 由定义得|BD|＝a， 故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a， ∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝， ∵BD∥FG， ∴＝，p＝2．因此抛物线的方程是y2＝4x． 反思领悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [跟进训练] 1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [解]　如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)， 则＝＝2px2． 又|OA|＝|OB|， ＝， 即＋2px1－2px2＝0． ∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0． ∵x1>0，x2>0，2p>0， ∴x1＋x2＋2p≠0，故x1－x2＝0，即x1＝x2． 由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称． ∴AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°， ∴＝tan 30°＝， 而＝2px1，∴y1＝2p． 故|AB|＝2y1＝4p， 即正三角形的边长为4p． 类型2　直线与抛物线的位置关系 【例2】　(1)过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ (2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [解]　(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意． 当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点； 当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0．由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1．故满足条件的直线有三条． (2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只 有一组实数解， 消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0．① (ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－ 1，这时，原方程组有唯一解 (ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程． 令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－． 所以原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是． 反思领悟　直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0．若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形： ①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [跟进训练] 2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9． (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [解]　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝， 由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x． (2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)； 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)， 又＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2． 类型3　中点弦及弦长公式 【例3】　过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． [解]　法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 即＝4，∴kAB＝4． ∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1． 联立消去x， 得ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y1＋y2＝． 又y1＋y2＝2， ∴k＝4． ∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0． 反思领悟　“中点弦”问题解题方法 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [跟进训练] 3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得 ①－②得， (y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)． 又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2． ∴所求抛物线的准线方程为x＝－1．] 类型4　抛物线的综合应用 【例4】　如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 1．根据对称轴，应该如何设抛物线的标准方程？ [提示]　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 2．怎样理解“PA与PB的倾斜角互补”？ [提示]　直线PA与PB的斜率互为相反数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [解]　(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1． (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝ －． 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝ ，即＝－，得y1＋y2＝－4， 故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1．即直线AB的斜率为定值． [母题探究] 1．(变条件，变结论) 若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [解]　由解得或由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3．设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d＝＝＝|(y0－1)2－9|．∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0．∴d＝[9－(y0－1)2]．从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝×3＝．故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为． 2．(变条件，变结论) 若本例改为“抛物线方程为y2＝x，过点P(3，－1)的直线与抛物线交于M，N两个不同的点(均不与点A(1，1)重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1·k2为定值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [证明]　易知直线MN的斜率不为0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0． 所以Δ＝(t＋2)2＋8＞0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3． 所以k1·k2＝·＝＝＝ ＝＝－． 所以k1·k2是定值． 反思领悟　应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用“点差法”较简便． (2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系． (3)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用“特值探路法”找定点、定值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝．] 3.3.2　抛物线的几何性质 2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　) A．(4，±2) B．(±4，2) C．(±2，4) D．(2，±4) √ D　[抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，设P(x，y)符合题 意，则有⇒⇒ 所以符合题意的点为(2，±4)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　) A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1，2) D．(2，2) √ B　[由题意知F(1，0)，设，则＝＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点 的纵坐标是________． 　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线2x2＝y，可得p＝． ∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4， ∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B． (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 [解]　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，由|PF|＝2得1＋＝2，得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝． ∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8， 解得k＝±1，所以k的值为1或－1． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．抛物线有哪些几何性质？ [提示]　抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线． 2．解决抛物线的中点弦问题有哪些方法？ [提示]　(1)点差法；(2)联立直线和抛物线方程，利用“设而不求”的方法，结合根与系数的关系和中点坐标公式求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 圆锥曲线的光学性质 你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而且这些光学性质都与它们的焦点有关． 阅读材料·拓展数学大视野 图1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦点，如图1所示． 从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图2所示． 图2　　　　　　　　图3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴，如图3所示． 具体而言，在图3中，F为抛物线的焦点，设M是抛物线上一点，AM是抛物线的切线，MB⊥MA，设光线FM在M处反射后的光线是MC(即∠FMB＝∠BMC)，则可以证明，MC是平行于x轴的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 事实上，为了证明这个结论，我们只需证明直线MF的倾斜角是AM的倾斜角的两倍即可，设抛物线的方程为y2＝2px，且M(x0，y0)，则可以算得直线AM的斜率为，直线FM的斜率为，根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面，如图4所示． 图4 类似的应用还有很多，感兴趣的同学请利用网络进行搜索吧！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　) A．2 B．1 C．4 D．8 课时分层作业(十九)　抛物线的几何性质 50 C　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的准线的距离等于4，故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　) A．1∶4 B．1∶2 C．2∶5 D．3∶8 C　[将点A(2，4)代入y2＝2px，得p＝4， ∴抛物线方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，已知B(8，－8)， ∴＝＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 52 3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝3x B．y2＝5x C．y2＝7x D．y2＝8x √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 53 A　[可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的 方程为y＝x－．设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1(图略)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＝x1＋x2＋p＝6， ∴x1＋x2＝6－p．① 由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0．∴x1 ＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝． ∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 √ 4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 55 B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由题意知直线AB的方程为y＝－2(x－1)， 即y＝－2x＋2． 由得x2－4x＋1＝0，Δ>0， ∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1． ∴|AB|＝ ＝＝＝2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 √ 5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，|BF|满足|AF|＋|BF|＝8，则k＝(　　) A．2或－1 B．－1 C．2 D．1± 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 57 C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋ 2)x＋4＝0，易知k≠0， 故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1且k≠0，x1＋x2＝． 由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2， 且|AF|＋|BF|＝8，即x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4， 所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1且k≠0，故k＝2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 二、填空题 6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0或1　[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1．] 0或1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 59 7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (3，2)　[设直线被抛物线截得的线段的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，将y＝x－1代入y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3， ∴＝＝＝2． ∴所求点的坐标为(3，2)．] (3，2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 60 8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为 x－y＋m＝0．由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， 则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1， 即直线方程为x－y＋1＝0， 直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝． 即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 61 三、解答题 9．已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－3)2＋y2＝4，F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于点D，点D是线段AB的中点． (1)求抛物线的准线方程； (2)求△OAB的面积． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 62 [解]　(1)因为抛物线C1：y2＝4x，所以抛物线的准线方程为x＝－1． (2)当直线AB的斜率不存在时，D与F重合，不符合题意．易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)，联立直线与 抛物线的方程，即可得y2－4my－4＝0，Δ>0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，故x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，所以D(2m2＋1，2m)，将D点坐标代入圆方程可得(m2－1)2＋m2＝1，解得m＝±1，根据抛物线的对称性，不妨设m＝1，联立 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 方程可得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8，又点O到直线AB的距离为d＝，故S△OAB＝|AB|·d＝2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 65 证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．设抛物线的方程为 y2＝2px(p＞0)，　　① 点A的坐标为 (y0≠0)，则直线OA的方程为 y＝x，　　② 抛物线的准线方程是x＝－．　　③ 联立②③，可得点D的纵坐标为－．因为焦点F的坐标是， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 当≠p2时，直线AF的方程为y＝．④ 联立①④，消去x，可得－p2)y－y0p2＝0，即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．当＝p2时，易知结论成立．所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 √ 11．(多选题)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M(p，0)，若|AF|＝|AM|，则(　　) A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|>4|OF| D．∠OAM＋∠OBM<180° 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 68 ACD　[选项A：设FM中点为N，则xA＝xN＝＝p，所以＝2pxA＝2p·p＝p2(yA>0)，所以yA＝p，故kAB＝＝2．故A正确． 选项B：＝⇒＝⇒|BF|＝p＝xB＋⇒xB＝，所以＝2p·＝．所以|OB|2＝＝＝≠．故B错误． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 选项C：|AB|＝p＋＋p＝p>2p＝4|OF|．故C正确． 选项D：由选项A，B知A，B，所以·＝·＝－p2＝－p2<0，所以∠AOB为钝角；又·＝·＝－p2＝－p2<0，所以∠AMB为钝角；所以∠OAM＋∠OBM<180°．故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 12．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　) A．－ B． C．± D． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 71 A　[将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为＝－，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6．则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝___． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y2＝8x 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 73 y2＝8x　2　[由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x．由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0． 由k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0． 又＝＝2， 解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为___________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (x＋1)2＋(y－)2＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 75 (x＋1)2＋(y－)2＝1　[由y2＝4x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为 －1，圆的半径为1，∠CAO＝90°．又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为．所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1．] 76 15．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 3.3.2　抛物线的几何性质 77 [解]　(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋．由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2．所以抛物线E的方程为y2＝4x． (2)证明：法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．由A(2，2)， F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由 得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B．又G(－1， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 79 法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为 y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝ ，从而B．又G(－1，0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，从而r＝＝．又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，所 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 80 以点F到直线GB的距离d＝＝＝r．这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 81 $