4.1.3 独立性与条件概率的关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦独立性与条件概率的关系这一核心知识点，以条件概率为基础，系统讲解事件相互独立的定义及充要条件，包括P(AB)=P(A)P(B)和当P(B)>0时P(A|B)=P(A)，提供定性（事件影响分析）和定量（公式验证）两种判断方法，搭建从条件概率到独立性应用的学习支架。 资料以“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的问题情境引入，激发兴趣并培养数学建模素养。通过例1判断事件独立性、例2计算独立事件概率等实例，引导学生在逻辑推理中掌握方法，在数学运算中提升能力。课中辅助教师分层教学，课后学生可借助跟进训练和分层作业巩固知识，查漏补缺。

4.1.3　独立性与条件概率的关系 1．结合条件概率理解两个事件相互独立的充要条件，会对事件的独立性进行判断．(数学抽象、逻辑推理) 2．会求相互独立事件同时发生的概率．(逻辑推理、数学运算) 3．能正确地将复杂的概率问题转化为几类基本概率模型，并运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式解题．(数学建模、逻辑推理) 俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮．”在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”．其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功． 问题：该挑战能否成功？ [提示]　三个臭皮匠都没答对题目的概率为P＝(1－50%)(1－40%)(1－30%)＝0.21，所以“臭皮匠”团队中至少有1个答对该题的概率为1－0.21＝0.79<80%，故该挑战不能成功． 知识点　事件的独立性 (1)事件A与B相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)P(B)． (2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)． (1)利用相互独立事件与条件概率的关系可以准确地判断两个事件是否相互独立，这时用定量方法计算较准确． (2)判断两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件． 如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B) 成立吗？ [提示]　成立．P(B|A)＝＝＝P(B). 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A与事件B相互独立，且P(A)>0时，有P(B|A)＝P(B)． (　　) (2)若事件A与B相互独立，则B与相互独立，也相互独立． (　　) (3)如果两个事件是对立事件，那么它们一定是相互独立事件． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× [提示]　(2)事件B与不是相互独立事件，是对立事件． (3)相互独立事件是指事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，是以它们能够同时发生为前提，而对立事件首先应是互斥事件，是指不可能同时发生的两个事件． 2．某人提出问题，甲先答，答对的概率是0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则该问题由乙答对的概率为________． 0.3　[由题意可知，甲答错，乙答对，故所求概率P＝(1－0.4)×0.5＝0.6×0.5＝0.3．] 3．已知A与B独立，且P()＝0.7，则P(A|B)＝________. 0.3　[∵P()＝0.7， ∴P(A)＝1－0.7＝0.3， 又A与B独立， ∴P(A|B)＝P(A)＝0.3．] 类型1　相互独立事件的判断 【例1】　判断下列各对事件是否为相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． [思路导引]　(1)、(2)利用定义法判断．(3)利用公式法判断． [解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)记事件A：出现偶数点，事件B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝. 所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立． 　判断两事件是否相互独立的方法 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B) 判断． [跟进训练] 1．(源自北师大版教材)口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同．连摸两次，每次摸一球．记事件A表示“第一次摸得黑球”，事件B表示“第二次摸得黑球”．在放回摸球和不放回摸球两种情况下，事件A与事件B是否独立？ [解]　①放回摸球： 依题意有P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝. 因此，P(B|A)＝P(B)，即放回摸球时事件A与事件B独立． ②不放回摸球： 依题意有P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝＝， 因此，P(AB)≠P(A)P(B)，即不放回摸球时事件A与事件B不独立． 类型2　相互独立事件同时发生的概率 【例2】　【链接教材P60例2】 面对某种流感病毒，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是.求： (1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． [解]　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故 P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝＝. (2)他们都失败即事件同时发生， 故P() ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝ ＝＝. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P()＝1－＝. [母题探究] (变结论)在题设条件不变的情况下，求： (1)只有一个机构研制出疫苗的概率； (2)至多有一个机构研制出疫苗的概率． [解]　(1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为()＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))P(B)(1－P(C))＋P(A)(1－P(B))(1－P(C)) ＝ ＝ ＝＝. (2)至多有一个机构研制出该疫苗，即事件(C) ＝P(C) ＝P()P(B)P()P(C) ＝＝＝. 【教材原题P60例2】 例2　已知甲、乙、丙3人参加驾照考试时，通过的概率分别为0.8，0.9，0.7，而且这3人之间的考试互不影响．求： (1)甲、乙、丙都通过的概率； (2)甲、乙通过且丙未通过的概率． [解]　用A，B，C分别表示甲、乙、丙驾照考试通过，则可知A，B，C相互独立，而且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P(C)＝0.7． (1)甲、乙、丙都通过可用ABC表示，因此所求概率为 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) ＝0.8×0.9×0.7 ＝0.504． (2)甲、乙通过且丙未通过可用AB表示，因此所求概率为 P(AB) ＝P(A)P(B)[1－P(C)] ＝0.8×0.9×(1－0.7) ＝0.216． 　求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)确定各事件之间是相互独立的． (2)确定这些事件可以同时发生． (3)求出每个事件的概率，再求积． [跟进训练] 2．从A盒子中摸出1个黑球的概率是，从B盒子摸出1个黑球的概率是，从两个盒子中各摸出1个球，则下列说法中错误的是(　　) A．2个球都不是黑球的概率为 B．2个球中恰有1个是黑球的概率为 C．2个球中至少有1个黑球的概率为 D．2个球中至多有1个黑球的概率为 C　[设从A盒子摸出1个黑球为事件A1，从B盒中摸出1个黑球为事件A2， 则P＝，P＝，且A1，A2相互独立． 在A选项中2个都不是黑球，则P＝＝＝，A正确； 在B选项中2个球中恰有1个是黑球的概率为＝，B正确； 在C选项中2个球至少有1个黑球的概率为1－＝，C错误； 在D选项中2个球至多有1个黑球的概率为1－P＝1－PP＝1－＝，D正确．故选C．] 类型3　利用事件之间的关系求概率 【例3】　【链接教材P60例3】 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖(奖金为500元)，通过前三关就可以获得二等奖(奖金为200元)，如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动． (1)求甲最后没有得奖的概率； (2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率． [思路导引]　(1)分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可． (2)若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可． [解]　(1)记第一关未通过为事件A，第一关通过第二关未通过为事件B，前两关通过第三关未通过为事件C，甲最后没有得奖为事件D， 则P＝0.3，P＝0.7×＝0.35，P＝0.7×0.5×＝0.175， 故P＝P＋P＋P＝0.825． (2)记通过了前两关时最后获得二等奖为事件E，通过了前两关时最后获得一等奖为事件F，则P＝0.5×＝0.35，P＝0.5×0.3＝0.15． 因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖， 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为0.35×0.15＋0.15×0.35＝0.105． 【教材原题P60例3】 例3　在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度．现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图4-1-6所示的系统，已知当甲正常工作且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，各部件的可靠度均为r(0<r<1)，而且甲、乙、丙互不影响．求系统的可靠度． 　 尝试与发现：例3中： (1)各个部件是否正常工作是相互独立的吗？ (2)用合适的符号把系统能正常工作表示为互斥事件的和，并尝试给出解题思路． [解]　用A，B，C分别表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系统能正常工作． 由题意知，系统能正常工作时，可分为三种互斥的情况：甲、乙、丙都正常工作，即ABC；甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即A.因此 D＝ABC∪A. 因为甲、乙、丙互不影响，所以A，B，C相互独立，而且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝r. 由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知 P(D)＝P(ABC∪A) ＝P(ABC)＋P(A) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P() ＝r3＋2r2(1－r) ＝2r2－r3． 　相互独立事件概率的求解方法 一般地，已知两个事件A，B相互独立，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么 (1)A，B中至少有一个发生为事件A∪B． (2)A，B都发生为事件A∩B． (3)A，B都不发生为事件. (4)A，B恰有一个发生为事件(A∩B)． (5)A，B中至多有一个发生为事件(A)． (6)与事件A，B有关的概率计算公式如表所示： A，B互斥 A，B相互独立 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(A∩B) 0 P(A)P(B) P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P[(A)∪(∩B)] P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) P[(A)∪(∩B)∪()] 1 1－P(A)P(B) [跟进训练] 3．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． [解]　(1)设甲连胜四场为事件M， 则P(M)＝＝， 所以甲连胜四场的概率为. (2)设甲输掉一场比赛为事件A， 乙输掉一场比赛为事件B， 丙输掉一场比赛为事件C， 进行四场比赛能结束为事件N， 则P(N)＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BABA)＋P(BCBC)＝×4＝， 所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P(N)＝1－＝. (3)丙获胜的概率为P＝P(ABAB)＋P(BABA)＋P(ABACB)＋P(BABCA)＋P(ABCAB)＋P(ABCBA)＋P(BACAB)＋P(BACBA)＋P(ACABB)＋P(ACBAB)＋P(BCABA)＋P(BCBAA)＝×2＋×10＝. 1．(多选题)已知事件A，B相互独立，则(　　) A．事件A与事件不相互独立 B．P＝P(A|B) C．事件AB与事件A互斥 D．在事件B发生的条件下，事件AB与事件B互为对立事件 BCD　[因为P＝P－P＝P－PP＝P＝PP相互独立，故A错误； 因为P(A|B)＝＝＝P，故B正确； 因为事件A，B相互独立，由A选项证得的结论知事件A与事件相互独立， 因此AB与A互斥，故C正确； P＝＝＝＝P， P(B|B)＝＝＝)， 又因为P(B互为对立事件，故D正确．故选BCD．] 2．某铅笔工厂有甲、乙两个车间，甲车间的产量是乙车间产量的1.5倍，现在客户定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两个车间负责生产，甲车间产品的次品率为10%，乙车间产品的次品率为5%，现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为(　　) A．0.08 B．0.06 C．0.04 D．0.02 A　[从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6，抽到乙的概率是0.4， 抽到甲车间次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06， 抽到乙车间次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02， 任取一件抽到次品的概率P＝P1＋P2＝0.06＋0.02＝0.08，故选A．] 3．(教材P61练习BT1改编)已知A与B相互独立，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(|B)＝________． 　[因为A与B相互独立， 所以P(AB)＝P(A)P(B)＝. 又P(B)＝，所以P(A)＝. 所以P()＝1－P(A)＝1－＝.] 4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.8，乙闹钟准时响的概率为0.9，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 0.98　[设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A， 则P(A)＝1－(1－0.8)(1－0.9)＝1－0.2×0.1＝0.98．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．判断两个事件是否独立的常用方法有哪些？ [提示]　(1)定性分析法 看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．在实际问题中，判断事件的独立性往往凭借经验或借助直观的方法，而不需要通过P(AB)＝P(A)P(B)验证． 如有放回地抽奖两次、掷五次同一枚硬币、两人射击等，由事件本身的性质就能直接判断出它们是否相互影响，从而得出它们是否相互独立． (2)定量计算法 ①利用相互独立事件的定义，即 P(AB)＝P(A)P(B)． ②利用条件概率，当P(A)>0时， 若P(B|A)＝P(B)，则事件A，B相互独立． (3)性质法 一般地，当事件A，B相互独立时，A与也都相互独立． 2．如何利用独立事件的概率公式解题？ [提示]　计算相互独立事件同时发生的概率时，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件． (1)简单计算问题：将题中所求事件转化为若干个独立事件的交事件，利用独立事件的性质和推广求解． (2)复杂计算问题：一般将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率计算公式求解． 课时分层作业(十一)　独立性与条件概率的关系 一、选择题 1．已知事件A，B相互独立，且P()＝0.5，P()＝0.3，则P(B|A)＝(　　) A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 A　[因为P()＝0.3，所以P(B)＝0.7，因为事件A，B相互独立，所以P(B|A)＝P(B)＝0.7．] 2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录每次得到的点数，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第一次点数为偶数”，丙表示事件“两次点数之和为6”，丁表示事件“两次点数之和为7”，则(　　) A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立 C　[由题可知P(甲)＝P(乙)＝，丙事件：点数之和为6的所有可能情况为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，丁事件：点数之和为7的所有可能情况为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)， 所以P(丙)＝，P(丁)＝. 因为甲和乙是对立事件，所以P(甲乙)＝0，故A错误； P(甲丙)＝≠P(甲)P(丙)，故B错误； P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，故C正确； P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，故D错误．故选C．] 3．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　) A． B． C． D． B　[设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A，B，C， 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，也相互独立， 故P()＝＝，因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P＝1－P()＝1－＝.] 4．(多选题)设A，B为两个随机事件，若P＝，P＝，下列命题中，正确的是(　　) A．若A，B为互斥事件，P＝ B．P C．若P＝，则A，B为相互独立事件 D．若A，B为相互独立事件，则P＝ AC　[若A，B为互斥事件，P＝P(A)＋P(B)＝，所以选项A正确； 若A∩B≠∅时，P＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝－P(A∩B)<，所以选项B不正确；因为P(A)P(B)＝P，所以选项C正确； 若A，B为相互独立事件，P)P(B)＝(1－)×＝，所以选项D不正确．故选AC．] 5．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　) A．P＝ B．事件A1与事件B相互独立 C．P＝ D．P(B)＝ D　[由题意得P＝，所以A错误； 因为P＝，P＝PP＋PP＋PP＝＝，所以P≠P，即 PP≠P，故事件A1与事件B不相互独立，所以B错误，D正确； P＝＝＝＝，所以C错误．故选D．] 二、填空题 6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________． 0.6　[“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B，“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)＝＝0.8，P(C)＝＝0.75， ∴P(B∩C)＝P(B)P(C)＝0.8×0.75＝0.6．] 7．甲、乙两同学进行罚球比赛，罚中得1分，罚丢不得分．已知甲、乙两同学的罚球命中率分别为80%和70%，且两人的投篮结果相互独立．现甲、乙两人各罚球一次，则两人得分相同的概率为________． 0.62　[两人得分相同的情况有两种，两人得分均为0分和1分， 当两人得分均为0分时，概率为P1＝＝0.06， 两人得分均为1分时，概率为P2＝0.8×0.7＝0.56， 所以甲、乙两同学各罚球一次，则两人得分相同的概率为P＝0.06＋0.56＝0.62．] 8．一个质地均匀的正八面体，八个面上分别标有数字1，2，…，8．任意拋掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω＝.已知事件A＝“与地面接触的面上的数字不大于4”，B＝“与地面接触的面上的数字为偶数”，C＝“与地面接触的面上的数字为质数”，有以下说法： ①A，B相互独立；②B，C相互独立；③P＝PPP；④P＝. 其中正确说法的序号是________． ①③④　[由题意可得A＝，B＝，C＝，AB＝，BC＝， 即得P＝P＝P＝，P＝， P＝，P＝，P＝， 所以P＝PP，P≠PP，P＝PPP， P(|B)＝＝＝，故①③④正确，②错误．故填①③④.] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)如图，用a，b，c三类不同的元件连接成两个系统N1，N2．当元件a，b，c都正常工作时，系统N1正常工作；当元件a正常工作且元件b，c至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件a，b，c正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90． (1)求系统N1正常工作的概率P1； (2)求系统N2正常工作的概率P2． [解]　设事件A表示“元件a正常工作”，事件B表示“元件b正常工作”，事件C表示“元件c正常工作”．由题意可知事件A，B，C相互独立． (1)依题意知P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.80×0.90×0.90＝0.648． 故系统N1正常工作的概率为0.648． (2)依题意知P2＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.80×0.90×0.10＋0.80×0.10×0.90＋0.80×0.90×0.90＝0.792． 故系统N2正常工作的概率为0.792． 10．某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部、龙吟部、鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化技术比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为.当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是(　　) A． B． C． D． D　[设事件A：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜．由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为，所以麒麟部获胜的概率是P(A)＝×(1－)×＋(1－)×(1－)×＝，故选D．] 11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 B　[事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B．] 12．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是________． 　[设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p＋2p＝3p＝1，解得p＝，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为.若青蛙在A荷叶上，则跳3次之后停在A荷叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针． ①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为＝. ②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为＝，则概率为＝＝.] 13．某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得－20分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是________；该选手闯关成功的概率是________． 　[由题设，选手仅回答正确两个问题的概率P(X＝2)＝×(1－)＋×(1－)×＋(1－)×＝. 这位参赛者闯关成功的情况分为3种： ①三个问题均回答正确，概率为＝； ②第一题回答正确，第二题回答错误，第三题回答正确，概率为＝； ③第一题回答错误，第二题回答正确，第三题回答正确，概率为＝. 所以这位参赛者闯关成功的概率为P＝＝.] 14．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率． [解]　(1)设Ai表示“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2， Bi表示“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2， 依题意有P(A1)＝2×＝， P(A2)＝＝， P(B0)＝＝， P(B1)＝2×＝， 所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝＝. (2)依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组， 所以所求事件概率P＝1－(1－)3＝. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $