精品解析：广东省深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

2025-2026上学期高一年级月考考试（数学）学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高一数学组 审题人：高一数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 2. 下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用元素与集合关系及实数集､有理数集､自然数集的性质直接求解. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 3. 设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意， 对比选项可知不等式成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 4. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 5. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 6. 下列结论不正确的有（ ）个 ①若，则 ②若，则 ③若，，则 ④若，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依据不等式的性质结合特值验证法，依次判断即可. 详解】. ①当时，在不等式两边同除以,得，故①错误； ②令，，满足，不成立，故②错误； ③若，不等式两边同乘以负数，不等号方向改变，成立，故③正确； ④由，则，故不成立，故④错误. 故选：C. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对因式分解，最后分类讨论即可求解. 【详解】由， 所以， 所以或， 解得：或， 解得：或或. 故选：A. 8. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为，最小值为 B. 的最大值为，无最小值 C. 的最大值为，无最小值 D. 的最大值为，最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值. 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象， 然后根据定义画出的图象（图中实线部分） 由图象可知，当时，取得最大值， 由得或（舍去）， 此时函数有最大值，无最小值． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 已知函数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可判断A，求出和的定义域即可判断B，根据二次函数的图像即可判断C，利用分段函数求即可判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为 由函数图象得到值域为，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，故D正确． 故选：AD． 10. 已知，且关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“，”为假命题 D. 若的解集为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由的解集为得，又和2是的两根，即，进而判断A，先求，进而判断B，解不等式即可判断C，由是由向上平移一个单位，进而判断D. 【详解】因为，且关于x的不等式的解集为， 所以，且的根为和2， 所以，得，，因为，所以，故A错误； 由，所以，， 因为，，所以，故B正确； 即为，即，无解， 故命题“，”为假命题，故C正确； 因为是由向上平移一个单位， 所以是集合的真子集，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D； 【详解】，且，， 对于A，利用基本不等式得，化简得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D， 利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， ，，故D错误； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意有，解出即可. 【详解】由题可得，解得且； ∴的定义域为：. 故答案为：. 13. 已知，，，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据基本不等式列出与的关系，结合，得到关于的不等式，即可求得答案. 【详解】由题知，，由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立． 令，，则，整理得，解得（舍去）或， 即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合，根据集合交集和并集运算即可求解； （2）由得，分和两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 所以， 由， 所以， 所以，； 【小问2详解】 ∵，∴ 又，， ①当时，，∴， ②当时，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 16. 已知集合，非空集合． （1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可. 【小问1详解】 是的必要不充分条件， 是的真子集，可得，解得，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 由，可得或，解得或， 实数的取值范围为，，． 17. 已知命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意，若真，则，解得. 【小问2详解】 解：若为真，，方程两根为和， 则由题意得，所以， 当、均为假命题时，有，可得. 因此，如果、中至少有一个为真时，或. 18. 某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)． （1）当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数a的取值范围． 【答案】（1）当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为元； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设可得甲工程队报价元且，利用基本不等式求其最小值并指出取值条件即可； （2）由题意及（1）有且在上恒成立，进而转化为在上恒成立，利用二次函数性质求a的范围. 【小问1详解】 由题设，屋子前面新建墙体的长为米，则甲工程队报价元且， 故，当且仅当，时等号成立， 所以当左、右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低为元. 【小问2详解】 由题设及（1）知：且在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，对称轴为，， 当，即时，恒成立； 当，即时，对称轴， 若，即时，只需，故不成立； 若，即时，在上递减，只需，故不成立， 综上， 19. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上学期高一年级月考考试（数学）学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高一数学组 审题人：高一数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论不正确的有（ ）个 ①若，则 ②若，则 ③若，，则 ④若，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为，最小值为 B. 的最大值为，无最小值 C. 的最大值为，无最小值 D. 的最大值为，最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 已知函数，则 10. 已知，且关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“，”为假命题 D. 若的解集为，则 11. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数定义域为______. 13. 已知，，，则的最小值为______． 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 16. 已知集合，非空集合． （1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 18. 某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左、右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左、右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)． （1）当左、右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左、右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求实数a的取值范围． 19. 设函数 （1）若，求解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $