精品解析：新疆乌鲁木齐市第十一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

乌鲁木齐市第十一中学 2025-2026学年第一学期 月考考试 高二年级数学学科问卷 试卷分值：150分 答题时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2. 已知空间中两点,则长为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的距离公式，准确计算，即可求解，得到答案． 【详解】由空间中距离公式，可得，故选C． 【点睛】本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. B，C为对立事件 B. A，C为互斥事件 C. C，D为对立事件 D. A，D为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 5. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值. 【详解】若共面，则， 即， 所以，解得：. 故选：B 【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型. 6. 在三棱锥中，点M是中点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】表达出和，得出，，的值，即可求出的值. 【详解】由题意， 在三棱锥中，点M是中点， 连接，， 在中， ， 在中， ， ∴, ∴，， ∴， 故选：A. 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 8. 如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，设，求出点P的轨迹结合二次函数最值运算求解即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，则，即， 所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知是两个不共线的向量，若则共面； B. 若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底； C. 若，则与向量共线的一个单位向量为； D. 在三棱锥中，若侧棱两两垂直，则是钝角三角形． 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量共面的意义判断A；利用空间向量基底的定义判断B；利用共线向量与单位向量的定义判断C；利用线面垂直的判断、性质推理判断D作答. 【详解】不共线，由知，， 则有共面，A正确； 因空间任意两个向量共面，而，因此空间任何向量与共面，即与任何向量都不能构成空间的一个基底，B正确； 因，则，与共线的单位向量为或，C正确； 在三棱锥中，过O作于点D，连AD，如图， 因，则点D在斜边BC上（除端点B，C外），又， 平面，则平面，而平面， 于得，平面，因此平面，平面， 从而得，则有都是锐角，同理可证是锐角， 所以是锐角三角形，D不正确. 故选：ABC 10. 对于一个古典概型的样本空间和事件，若，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件计算，判断B选项，再根据判断C选项，通过计算D选项，通过判断C选项. 【详解】因为，，， 所以，又，则，所以，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，C正确； 所以，D正确； 因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误. 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确； 对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______ 【答案】 【解析】 【分析】由空间点到直线距离公式计算即可. 【详解】轴的方向向量为， 因为， 所以向量在向量上投影向量的长度为， 又， 所以点到轴的距离为． 故答案为：. 13. 从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于　_________　． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合知识求出基本事件总数以及符合条件的基本事件，再由古典概型可得结果. 【详解】从3男3女共6名同学中任选2名,有15种基本事件， 2名都是女同学有种基本事件， 故其概率为. 【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率. 14. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过已知点的坐标，求出底面的面积，高的数值，然后求出三棱锥的体积． 【详解】由题意得，所以 所以的面积为， 点都在平面上，点到平面的距离3， 所以三棱锥的体积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点、、，设，． （1）若向量与互相垂直，求实数的值； （2）若向量与共线，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程，解之即可； （2）求出向量与的坐标，设，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【小问1详解】 解：由已知可得，， 所以，， ， 由题意可知， 即，解得或. 【小问2详解】 解：， ， 由题意，设，所以，，解得或. 因此，. 16. 假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D， E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率； （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 列举出5个人中2人被录用的所有基本事件，分别找出对应事件的基本事件的个数，利用古典概型的公式计算概率. 【详解】解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为，共有10个样本点. （1）A得到一个职位包含4个样本点，故其概率为； （2）A.B各得到一个职位包含1个样本点，故其概率为； （3）A或B得到一个职位包含7个样本点，故其概率为. 【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中等题. 17. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 18. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. （1）求比赛三局结束的概率； （2）求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. 【小问2详解】 记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 19. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在点，使得满足要求，此时 【解析】 【分析】（1）由平面，，得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过计算即可得证； （2）利用空间向量求直线与平面的所成角的方法计算，即可得到结果； （3）由空间向量坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面， 所以，， 又，所以，，两两垂直， 以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，所以. 【小问2详解】 设平面的一个法向量， 因为，， 所以，即， 令，则，，所以， 又，设直线BD与平面BEF所成角， 则. 【小问3详解】 假设存在，设，则， 所以， 设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，， 所以， 由（2）问可知：平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第十一中学 2025-2026学年第一学期 月考考试 高二年级数学学科问卷 试卷分值：150分 答题时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 2. 已知空间中两点,则长 A. B. C. D. 3. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ） A. B，C为对立事件 B. A，C为互斥事件 C. C，D为对立事件 D. A，D为互斥事件 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，点M是中点，若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 8. 如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知是两个不共线的向量，若则共面； B. 若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底； C. 若，则与向量共线的一个单位向量为； D. 在三棱锥中，若侧棱两两垂直，则是钝角三角形． 10. 对于一个古典概型的样本空间和事件，若，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. 事件与事件相互独立 D. 11. 如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（ ） A B. 点E到直线的距离为 C. 直线AE与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______ 13. 从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于　_________　． 14. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点、、，设，． （1）若向量与互相垂直，求实数的值； （2）若向量与共线，求实数的值． 16. 假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D， E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率； （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 17. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 18. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. （1）求比赛三局结束的概率； （2）求乙取胜，比赛结束的概率. 19. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $