精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度高二年级第一学期数学期中考试 班级：______姓名：______考号：______ 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. A､C均有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，判断两个向量共线或垂直即可. 【详解】已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 所以 所以 所以l∥α或l⊂α 故选：D 【点睛】本题主要考查空间向量法判断直线与平面的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为. 故选：B 3. 直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分过直线原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解. 【详解】若直线过坐标原点,则,此时横纵截距都等于0,满足题意; 若直线不过坐标原点,设直线的方程为, 因为直线过点,所以,解得, 所以直线方程为,此时, 故选:D. 4. 设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 5. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 6. 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】 求出公共弦所在直线，再求与两坐标轴的交点，即可得出面积表达式，根据面积关系求解. 【详解】圆的标准方程为 两圆相交，必有，且， 将两圆方程相减可得， 当时，，当时，，所以直线与坐标轴的交点为与，所围图形面积，解得或，经检验，符合条件. 故选：D 【点睛】此题考查通过两圆的公共弦所在直线与坐标轴围成的面积问题求参数的值，需要注意考虑公共弦所在直线不是简单地将两圆方程相减，还需考虑两圆的位置关系. 7. 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 9. 设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有 所以，所以 又因为，所以，，所以 所以答案选C. 考点：椭圆的简单几何性质. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是（ ） ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点，的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面平面判断①；证明平面判断②；求出点到的距离最小值判断③；求出的表达式判断④作答. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接，，连，如图， 对于①，正方体的对角面是矩形，则， 而平面，平面，则有平面， 同理平面， 又平面，于是平面平面， 当为直线与平面的交点时，有平面平面，①正确； 对于②，平面，平面，则， 而，平面， 因此平面，平面， 则，同理， 又平面，于是平面， 当为直线与平面的交点时，平面，②正确； 对于③，由于平面，平面，则， 令，而， 则，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以对任意点，的面积都不等于，③正确； 对于④，由于平面平面， 则在平面上的正投影图形的面积与在平面上的正投影图形面积相等， 显然点在平面上的投影在线段，投影长为， 于是投影图形面积为， 点到平面的距离为， 于是， 由，，解得， 所以存在点，使得，④错误. 故选：A 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】由空间向量基本定理即可求解. 【详解】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为： 12. 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】设CE＝x，DF＝y，进而建立空间直角坐标系，然后根据B1E⊥平面ABF得到B1E⊥FB，通过空间向量数量积的运算得到答案. 【详解】设CE＝x，DF＝y，以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)， ∴，， ∵B1E⊥平面ABF，∴B1E⊥FB， ∴. 故答案为：1. 13. 已知点在曲线上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】 曲线，即，且，故曲线是一个半圆． 式子表示点与点连线的斜率． 易知半圆上的点与点连线的斜率最小且为0， 半圆上的点与点连线的斜率最大且为2， 故的取值范围是． 即答案为. 【点睛】本题主要考查曲线表示的图形，斜率公式的应用，注意数形结合，联系曲线形状，及式子表示的几何意义，属于中档题． 14. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，根据题意求出的坐标，利用中点坐标公式列式计算得的关系，进而可得渐近线方程. 【详解】设双曲线的右焦点，如图所示： 过第一象限的渐近线方程为， 所以直线与直线交于点， 联立，解得：， 由是线段的中点， 所以’ 所以双曲线的渐近线方程为：， 故答案为：. 15. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是__________；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式即可求出点的轨迹方程；根据三角函数得到临界值时点的横坐标，即可得到的取值范围. 【详解】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ， 设成功点，则，即， 化简得，因为点在矩形场地内，所以， 所以点的轨迹方程是. 当与圆相切时，则有， 所以，所以，又， 若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 三、解答题（共85分） 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切，直线与圆相交于，两点. （1）求圆的方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解圆半径，进而求得方程即可； （2）根据直线过定点，再令点到直线的距离为，进而可得的面积表达式，进而利用二次函数的最值求解即可. 【小问1详解】 由题意知到直线的距离为圆的半径， ， 圆方程为. 【小问2详解】 直线过定点且点在圆内， 令点到直线的距离为，则 当且仅当时，取到最大值.此时 ，，直线 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，且AE=AB． （1）记平面ADE与平面PBC的交线为l，证明：直线l∥平面ABCD； （2）求直线PC与面ADE所成角的正弦． 【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形， 所以BC∥AD． 又因为ADC平面PBC，BC平面PBC， 所以AD∥平面PBC． 又因为AD平面ADE，平面ADE∩平面PBC=l， 所以AD∥l． 又因为AD平面4BCD，l平面ABCD， 所以l∥平面ABCD． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质先证明AD∥l，再利用线面平行的判定定理证明l∥平面ABCD即可； （2）建立空间直角坐标系A-xyz，找出面ADE的法向量，再利用线面角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD， AB，AD平面ABCD， 所以AB，AD，AP两两垂直，． 建立空间直角坐标系A-xyz，如图． 不妨设正方形ABCD的边长为1，设AP=a>0， 则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)， 因为点E是线段PC的中点，所以E(，，) 所以，，． 因为AE=BC=1，所以，所以， 所以，． 设平面ADE的法向量为，则 即 令z=1，则x=- 于是 所以． 所以直线PC与平面ADE所成角的正弦为． 【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18. 在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： （1）求角的大小； （2）求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）选①，不符合题意；选②或者选③， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知条件，选择条件①、条件②、条件③后，根据所选条件进行分析，由此求得正确答案. （2）利用三角形的面积公式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，，由正弦定理得. 选①，，则，三角形不存在，不符合题意. 选②，，则， ，则为锐角，且. 且由得， 三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意. 选③，，由正弦定理得， 由于，所以，则，则为锐角，且. 由余弦定理得，即， 得， 所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意. 【小问2详解】 由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）证明平面，建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案； （2）假设存在，设，..，确定，再利用距离的向量公式计算即可. 【小问1详解】 ，，故， 平面平面，平面平面，平面， 故平面， 又平面，故，，又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，为棱的中点，， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，故； 平面的一个法向量为， ， 二面角的平面角为钝角，故其余弦值为； 【小问2详解】 假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，， 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离是，解得， 故线段上存在点满足条件，. 20. 已知圆与圆关于直线对称,且点在圆上． (1)求圆的方程; （2）设为圆上任意一点, ,,与不共线,  为的平分线,且交于.求证: 与的面积之比为定值． 【答案】（1）； （2）因为为的角平分线上一点,所以到与的距离相等,所以 设,则 , 所以,所以,所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意，求出圆的圆心关于直线的对称点为和圆的半径，利用圆的标准方程，即可求解. （2）因为为的角平分线上一点,推得，设，求得的值，进而可进行判断. 【详解】（1）因为圆的圆心关于直线的对称点为, 所以 所以圆的方程为 （2）略 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意求得N点关于直线的对称点，利用圆的标准方程求解，以及合理、准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21. 已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） （2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； （3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 【答案】（1）是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” （2） 先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； （3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解. 【小问1详解】 因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最小值为，理由如下： 一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”； 当时，对于集合， 从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③， 若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于， 故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”； 所以. 另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”： （I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为， 当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件， 当三个数都属于，因为数组满足条件， 所以此时集合必是集合的“期待子集”， 所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”. （II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集， 分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立； ②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立； 当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立， 根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级第一学期数学期中考试 班级：______姓名：______考号：______ 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 A. l∥α B. l⊥α C. l⊂α D. A､C均有可能 2. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 3. 直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 4. 设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 5. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 3或 7. 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 9. 设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是（ ） ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点，的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 12. 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________． 13. 已知点在曲线上，则的取值范围是______． 14. 已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为______. 15. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是__________；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是__________. 三、解答题（共85分） 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切，直线与圆相交于，两点. （1）求圆的方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，且AE=AB． （1）记平面ADE与平面PBC的交线为l，证明：直线l∥平面ABCD； （2）求直线PC与面ADE所成角的正弦． 18. 在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题： （1）求角的大小； （2）求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20. 已知圆与圆关于直线对称,且点在圆上． (1)求圆的方程; （2）设为圆上任意一点, ,,与不共线,  为的平分线,且交于.求证: 与的面积之比为定值． 21. 已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） （2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； （3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $