精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中练习数学试题

人大附中2025~2026学年度第一学期高二年级期中练习 数学 制卷人：侯立伟 李华斌 审卷人：吴中才 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分；Ⅱ卷8道题，共50分． Ⅰ卷、Ⅱ卷共26题，合计150分，考试时间120分钟． 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． Ⅰ卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知，则直线的倾斜角不可能为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案. 【详解】当时，，直线的倾斜角为， 当时，，则直线斜率，所以直线倾斜角不可能为; 故选：A 2. 已知空间向量，，下列向量中，可以与，构成空间一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，设， 可得：，显然不成立，即与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用两圆心之间的距离与两圆半径之间的关系判断即可． 【详解】解：对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为 对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为， 所以圆心距为， 所以，两圆的位置关系为外切. 故选：C 4. 若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 5. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 6. 已知直线，平面和平面，满足，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理结合充分性必要性的判断即可求解. 【详解】已知：，且， 当时， 根据面面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于两个互相垂直 的平面中的一个平面，那么这条直线与另外一个平面平行 或在另外一个平面内，而题中说， 故只能是，所以充分性成立； 当时，直线与平面有可能平行， 相交或者在平面内，不一定有，所以必要性不成立. 综上可知 “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可. 【详解】由三角形的面积公式可得， 得，由，得， 所以为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得. 故选：C 8. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量把异面直线与直线所成的角，平面与平面所成的角，直线到平面距离，异面直线，之间的距离均求出来，看是否随着M，N的运动而变化 【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方形边长为1，则，，，，，，，因为M，N分别是线段上的动点（不含端点），故设，，所以， 会随着M，N的运动而变化，故A选项正确； 设平面的法向量为，则 ，解得： 设平面的法向量为，则，解得： 所以，故平面与平面所成的角的大小为，不随着M，N的运动而变化； 设平面的法向量为，则，解得：， 则，即与平面平行，故直线到平面距离不变，不随着M，N的运动而变化. 设异面直线，的公共法向量为，则，解得：，设异面直线，之间的距离为，夹角为，则，所以异面直线，之间的距离的不随着M，N的运动而变化. 故选：A 9. 如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令且，，应用向量数量积的运算律及已知求及其模长，再求出它们的夹角余弦值，即可得. 【详解】由题意，令，且，， 所以 ， 由四边形，均为矩形，则，且， 所以，则二面角的平面角， 所以，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 10. 集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知曲线与圆有8个交点，结合对称性可知曲线与圆在第一象限内有2个交点，联立方程结合二次函数的零点分别运算求解. 【详解】若中有8个元素，即曲线与圆有8个交点， 对于曲线， 用替换，方程不变，可得曲线关于y轴对称； 用替换，方程不变，可得曲线关于x轴对称； 圆的圆心为，半径，且关于x、y轴对称， 可知曲线与圆在第一象限内有2个交点， 若，曲线即为， 联立方程，消去y可得， 构建，则的图象开口向上，对称轴为， 可知在内有两个零点，注意到， 则，解得， 可得，， 原题意等价于在内有两个零点， 且， 可知符合题意，所以a的取值范围是. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知直线，，其中m，，若，且与的距离为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线平行求得，再结合两平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】因为直线，，且， 则，解得， 此时直线，， 又因为与的距离为，则，解得或. 故答案为：或. 12. 四面体中，点M，N分别是棱，的中点，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，连接，且点分别是棱，的中点 可得， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】. 【解析】 【分析】先判断在圆上，再结合，求出，利用点斜式写出直线方程，找到与坐标轴的交点，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】由题知：圆C的圆心，半径， 易知点满足圆的方程，故在圆上， 因为过点的直线与圆C相切， 故圆心与点所连直线与直线垂直， 故有，而，解得， 根据直线的点斜式可写直线方程为：， 写成一般式为：. 则直线与坐标轴的交点为和， 所以与坐标轴围成的三角形面积. 故答案为：. 14. 正方体的棱长为2，点M是棱的中点，点N是正方形内部或边界上一点，若点N满足，则点N到直线距离的最大值为______； 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量根据垂直关系确定的轨迹，再计算最值即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 因为，所以，即， 可知， 所以到直线距离为 ， 当时取得最大值. 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，已知一个正方形四条边所在的直线，，，分别经过点，，，，且的斜率为正数，给出下列三个结论： ①若，则该正方形的面积是； ②若，则该正方形的面积是； ③若该正方形的面积为，则的斜率为2． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据题意和条件分别设直线方程，结合正方形边长相等即为两平行线之间的距离相等，计算判断结果即可. 【详解】①若，因为正方形四条边所在的直线，，，分别经过点，，，，且的斜率为正数， 设，根据题意可知的斜率为， 所以，其中之间的距离等于之间的距离， 即，解得，故正方形的边长为， 该正方形的面积为，①正确. ②若，根据题意可知若，设， ，其中之间的距离等于之间的距离， 即，解得，故正方形的边长为， 该正方形的面积为， 若，设， ，其中之间的距离等于之间的距离， 即，解得，故正方形的边长为， 该正方形的面积为，故②不正确. ③由上分析可知若该正方形的面积为，则的斜率为，因为直线的斜率为正数，斜率等于2，③正确. 故答案为：①③. 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知直线，． （1）求经过和的交点，且与直线平行的直线方程； （2）设点关于直线的对称点为，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先联立方程求出交点坐标，然后根据直线平行的关系求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程即可； （2）首先设，然后通过直线与直线垂直且与的中点在直线上构造方程组，解方程组求解点坐标. 【小问1详解】 联立直线与的方程得：，解得：， 即直线与交点坐标为. 已知直线，其斜率为， 设所求直线斜率为，由于所求直线与直线平行，可得：. 因此可得所求直线方程为：，即： 【小问2详解】 已知，设，可得：与的中点为， 由于点与点关于直线对称，因此可得：且与的中点在直线上 可得：，整理得：. 解得：，即的坐标为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M是棱上的点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由题设可得， 所以， 所以，即， ，即， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） （3）存在，，理由如下： 假设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设与平面所成的角为，则. 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 故， 整理得，故或（舍）， 所以当时，存在点满足题意. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用线面角的向量公式可求的值，从而得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 18. 已知圆O经过，，，O为圆心， （1）求圆O的标准方程； （2）已知P，Q是圆O上不同两点，满足，问直线是否与一个定圆相切，若能入求出定圆方程，若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 存在，定圆方程为：，理由如下： 设 即， 故 因为P，Q是圆M上不同两点， 故 化简得： 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入圆O的标准方程得：， 化简得：， 故 因为， 故， 化简得：， 即， 故到直线的距离：， 故以为圆心，半径为的定圆始终和直线相切； 当直线斜率不存在时，设直线的方程为， 则，即， 故或者， 因为直线PQ和圆O ：相交， 则：，故， 此时直线的方程为， 以为圆心，半径为的定圆依旧和直线相切； 综上所述，直线与一个定圆相切，定圆方程为：. 【解析】 【分析】（1）利用圆的一般式方程，代入点的坐标求解即可； （2）设出直线的方程为，联立直线和圆的方程，将转化为有关的方程，然后利用点到直线的距离公式观察出到直线的距离为定值即可. 【小问1详解】 设圆O的一般方程为， 圆O经过，，， 故解得： 故圆O的一般方程为：， 圆O的标准方程为：. 【小问2详解】 略 Ⅱ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 已知Q为直线上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则（ ） A. E是一个与直线相切的圆 B. E是一条与垂直的直线 C. E上的点到的距离均为 D. E上点与原点距离的最小值大于3 【答案】C 【解析】 【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，将点坐标代入，得轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】设，由，则， 由在直线上，故， 化简得，即的轨迹为直线且与直线平行， 原点到的距离即为E上的点与原点距离的最小值， 由点到线的距离公式可得距离为， 上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 20. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定它们之间的条件关系. 【详解】若，则，即， 但是倾斜角，仅由不能直接得出， 也就是不能得出，所以“”不能推出“”，充分性不成立；  若，则， 那么，即， 因为，，所以， 所以“”可以推出“”，必要性成立. 故选：B. 21. 如图，已知平面，，，，，，，且，，．若，则四棱锥体积的最大值是（    ） A. B. 8 C. 24 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先证平面平面，得棱锥的高就是三角形的边上的高.再求底面，再由条件得，因此点在一个圆上，用解析法求的最大值可得体积最大值. 【详解】因为，，所以， 又，且，平面，平面， 所以平面，而，所以平面， 又平面，所以平面平面. 过P点作的垂线，交点为，设垂线的长为，则也是四棱锥的高. 由上可知四边形为直角梯形，所以. 所以要使四棱锥体积的最大值，就必须棱锥的高最大， 也就是三角形的边上的高最大. 下面用解析法求解的最大值： 因为，，所以，又， 所以相似于， 根据相似三角形的性质有，，即， 如图：在平面内建立直角坐标系，设，， 由，得， 化简整理得， 即，P点在以为圆心，以4为半径的上半圆上. 所以P点到的距离，由圆的性质可得， 所以，. 故选：C. 22. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P为正方体表面上的动点．给出下列三个结论： ①当点P为棱中点时，平面； ②当点P在棱上运动时，点P到平面的距离的最小值为； ③当点时，满足平面的点P恰有2个． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据线面位置关系的向量判断方法，点到平面距离的向量求法，线面垂直的向量判定方法，逐一判断各命题正误，求出结果. 【详解】对于①，如图所示， 由立方体性质，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，所以， 因为M，N分别为，的中点，点P为棱中点时，， 可得， 设平面的法向量， 则,即， 当时，解得，即平面的一个法向量， 此时，可知①错误； 对于②，如下图所示， 当点P在棱上运动时，设点， 可得， 设平面的法向量， 则,即， 当时，解得，即平面的一个法向量， 此时点P到平面的距离为， 因为，当时，点P到平面的距离最小，此时距离为，所以②正确； 对于③，如图所示， 设点， 则， 当满足平面时，， 即， 当点在平面上时，即， 化简得，消去得，可知，所以此时无解； 当点在平面上时，即， 化简得，消去得,解得或， 当时，，点，符合条件； 当时，，点，， 可知，不符合条件； 当点在平面上时，即， 化简得， 当时，，不符合题意； 当点在平面上时，即， 当时，，不符合题意； 当点在平面上时，即， 化简得， 当时，，代入得，可知，所以此时无解； 当点在平面上时，即， 化简得， 当时，，代入得，可知，所以此时无解； 综上所述，当点时，满足平面的点P仅有1个，所以③错误. 故选：B. 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 23. 正方体的棱长为2，则四棱锥与重合部分的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析确定四棱锥公共部分的几何体类型，再计算几何体的底面积和高，最后利用三棱锥的体积公式计算． 【详解】 正方体的棱长为2，四棱锥与均以正方形为底面，高为棱长2， 如图，重合部分为四棱锥与三棱锥，四棱锥与三棱锥高都为1， ，， ． 故答案为：． 24. 已知点，，点P为直线上的动点，则的最小值为______；当最大时，点P的横坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先设点，利用向量坐标运算表示，再利用向量数量积的坐标表示求出的表达式，最后根据二次函数性质求最小值；当最大时，以为弦的圆与直线相切，根据圆的性质和直线方程求出点的横坐标． 【详解】设点，点P为直线上的动点，， ， ， 令，函数图像开口向上，对称轴为， 当时，函数取得最小值，即取得最小值，最小值为； 当最大时，以为弦的圆与直线相切，此时圆心在的垂直平分线轴上，设圆心坐标，半径为，则， 圆与直线相切，则圆心到直线的距离， ，化简得，解得， 半径越小，圆周角越大， ，则圆心， 圆与直线相切，，设直线斜率为，则，解得， 直线的方程为：，即， 点是直线与的交点， 联立，解得， 点P的横坐标为． 故答案为：． 25. 已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，给出下列四个结论： ①若直线与圆M相切，则； ②当时，四边形的面积为； ③直线经过一定点； ④已知点，则为定值； 其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断①；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果判断②；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断③；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断④. 【详解】解：对于①，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离， 解得，所以①正确； 对于②，当时，，，， 因为为圆的两条切线，所以， 所以四边形的面积， 所以②错误； 对于③，因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得：， 所以直线经过定点，所以③正确； 对于④，因为，所以， 因为在直线上，所以 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值，所以④正确． 所以，正确结论的序号是：①③④ 故答案为：①③④ 三、解答题（本大题共1小题，共15分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 26. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点A，B相关． （1）直接写出下面各组中两点是否相关； ①，； ②，． （2）给定，，点集． （i）求集合中与点相关的点的个数； （ii）若，且对于任意的A，，点A，B相关，求S中元素个数的最大值． 【答案】（1）①两点相关，②两点不相关； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求. （2）（i）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数； （ii）由（1）可知相关点满足，即可求得S中元素个数的最大值． 【小问1详解】 若点，相关，则，，而， 由定义，知， 化简变形可得， ①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关； ②，对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关. 【小问2详解】 （i）若该点在第一象限内，由上知，得且，有个点； 若点在第二象限内，知且，有个点； 同理，当点在第三象限、第四象限也各有个点. 点在轴正半轴上，点满足条件； 点在轴负半轴上，点满足条件； 点在轴正半轴上，点满足条件； 点在轴负半轴上，点满足条件； 点为原点满足条件； 因此集合中共有个点与点相关. （ii）由上可知若两个不同的点，相关， 其中，，可知. 记，显然相关的两点不属于， 记，在中任取个点， 由抽屉原理知：必有个点属于，这两个点并不相关， 所以中至多取个点，且每个中至多取一个点，又注意到上的点在坐标轴上， 因此S中元素个数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中2025~2026学年度第一学期高二年级期中练习 数学 制卷人：侯立伟 李华斌 审卷人：吴中才 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分；Ⅱ卷8道题，共50分． Ⅰ卷、Ⅱ卷共26题，合计150分，考试时间120分钟． 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． Ⅰ卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知，则直线的倾斜角不可能为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知空间向量，，下列向量中，可以与，构成空间一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 4. 若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，平面和平面，满足，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 9. 如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A. B. C. D. 10. 集合，集合，若中有8个元素，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知直线，，其中m，，若，且与的距离为，则______． 12. 四面体中，点M，N分别是棱，的中点，若，则______． 13. 已知圆，过点作圆C的切线，则与坐标轴围成的三角形面积为______． 14. 正方体的棱长为2，点M是棱的中点，点N是正方形内部或边界上一点，若点N满足，则点N到直线距离的最大值为______； 15. 在平面直角坐标系中，已知一个正方形四条边所在的直线，，，分别经过点，，，，且的斜率为正数，给出下列三个结论： ①若，则该正方形的面积是； ②若，则该正方形的面积是； ③若该正方形的面积为，则的斜率为2． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知直线，． （1）求经过和的交点，且与直线平行的直线方程； （2）设点关于直线的对称点为，求的坐标． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M是棱上的点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知圆O经过，，，O为圆心， （1）求圆O的标准方程； （2）已知P，Q是圆O上不同两点，满足，问直线是否与一个定圆相切，若能入求出定圆方程，若不能，说明理由． Ⅱ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 已知Q为直线上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则（ ） A. E是一个与直线相切的圆 B. E是一条与垂直的直线 C. E上的点到的距离均为 D. E上点与原点距离的最小值大于3 20. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 21. 如图，已知平面，，，，，，，且，，．若，则四棱锥体积的最大值是（    ） A. B. 8 C. 24 D. 72 22. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P为正方体表面上的动点．给出下列三个结论： ①当点P为棱中点时，平面； ②当点P在棱上运动时，点P到平面的距离的最小值为； ③当点时，满足平面的点P恰有2个． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 23. 正方体的棱长为2，则四棱锥与重合部分的体积为______． 24. 已知点，，点P为直线上的动点，则的最小值为______；当最大时，点P的横坐标为______． 25. 已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，给出下列四个结论： ①若直线与圆M相切，则； ②当时，四边形的面积为； ③直线经过一定点； ④已知点，则为定值； 其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共1小题，共15分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 26. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点A，B相关． （1）直接写出下面各组中两点是否相关； ①，； ②，． （2）给定，，点集． （i）求集合中与点相关的点的个数； （ii）若，且对于任意的A，，点A，B相关，求S中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $