江苏省连云港市灌云县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度高二第一学期期中学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2 D．4 2．两圆与的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6.设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．7 7．曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共3小题 满分18分） 9．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．焦点到渐近线的距离为1 10．已知点P在圆上，点，，，则（    ） A． B．当面积最大时， C．当最小时， D．当最大时， 11．拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则的最小值为4 B．当时， C．若，则的取值范围为 D．在直线上存在点，使得 三、填空题（共3小题 满分15分） 12．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 13．过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则 ． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 四、解答题（共5大题 满分77分） 15．（13分）已知的顶点，重心． (1)求线段BC的中点坐标； (2)记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标． 16．（15分）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)若圆与直线交于两点，_____________，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：；条件③：. 17．（15分）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 18．（17分）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. (1)求椭圆的方程； (2)记直线，的斜率分别为、，求的值； (3)证明：直线过定点，并求该定点坐标. 19．（17分）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值. 高二数学试题 第1页 共3页 高二数学试题 第1页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $20252026学年度高二第一学期期中学业水平质量监测 数学参考答案 题号 入y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B B C ACD ACD 题号 11 答案 BC 12.(3,+o0) 134v27 5 14.4v2-5 15.(1)设BC中点M(), 因为G为VABC的重心，且A(5,1),G(3,3), 所以AG=2GM,即(-2,2)=2(x。-3,-3) -3=-1.「x=2 所以 。-3=1 {=4,所以BC中点M(2,4) (2)因为BH的方程为y=-x,且H为VABC的垂心 所以kHk4c=-1即-1kc=-1,所以k4c=1 所以直线AC的方程为：y-1=x-5,即y=x-4 所以设点C(x,xc-4),又因为BC的中点M(2,4),设B(cg,yB)则 xg+xc=2×2=4 XB=4-Xc 即 g+x-4=2x4=8即y。=12- 又因为点B在直线y=-x上，即12-xc=-(4-x),所以x=8 所以C(8,4),所以=人=44=0，则BC边上的高线H为=5 8-2 而点H也在直线BH:y=-x上，所以点H的坐标即为AH与BH的交点 即H(5,-5): 16.(1)设圆心坐标为C(a,b),半径为， 因为圆心C在直线2x-y=0上，所以2a=b. 又圆C与y轴相切于点(0,2)，所以b=2,r=a-0, 所以圆C的圆心坐标为C(1,2),r=1,则圆C的方程为(x-1)?+(（y-2=1; (2)如果选择条件①，因为∠ACB=120°，CA=CB=1, 所以圆心C到直线/的距离d=Ccos60°=} 21 :-路1竖 如果选择条件②，因为AB=V5,CA=CB=1, 由垂径定理可知圆心C到直线/的距离d= 儿20=解得m±5 则d= 2， 如果选择条件③，因为C1-CB=了，所以.eos∠4CB=) 2’ 得∠ACB=120°，又CA=|CB=1, 所以圆心C到直线/的距离d=Ccos60=} 2 则d= 限1 2 17.(1)由题得抛物线C:x2=2的焦点坐标为0，)， 设直线1，的方程为y=x+ 2 由已知得圆C,(x+I)+y2=2的圆心C,(-1,0),半径r=√2， 因为直线1，与圆C相切， -1+ 所以圆心到直线：y=x+?的距离d= 2 =2, V+(-1)月 即1 2=2,解得p=6或p=-2(舍去). √2 所以p=6. (2)依题意设M(m,-3),由(1)知抛物线C方程为x2=12y, 所以=，所以-。，设A,与)，则以A为切点的切线的斜率为x= 6 所以切线的方程为y=(-x)+片 令x0三6 人+”=人×12+y=-,即L交y轴于B点坐标为0，-)， 6 所以MA=(x-m,y+3),MB=(-m,-片+3)， .'MN MA+MB=(x-2m.6), .ON =OM+MN =(x-m,3). 设N点坐标为(x,y),则y=3, 所以点N在定直线y=3上 B 18.(1)由已知得a=2,c=V3,则b2=a2-c2=1, 故椭圆的标准方程为号+产=1， ②法-设)）则圆c的方程为：-少-5〔 圆G过(0,0)，代入圆的方程得y2=-1, .2==-1 故k6=1--21(29g M 法二：设G(1,b),圆G半径为r则圆G方程为：(x-1+(0y-b)2=2, 圆G过(0,0)，1+b2=r2,由题意可设M(1,b+r),N(,b-r), 《荷高， =9=-g (3)由题意知，当圆G的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线PQ:y=x+m,P(x,),Q(x4y4), [y=kx+m 则2 →(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,需满足△=16(4k2+1-m2)>0, 4 +y2=1 则5+七=一8m 4m2-4 42+1’ 4k2+1 则(+m,+m）=kx+m(在+)+m=m4 4k2+1 结合第-问知+器 =g,即9y+x,+2s+x)+4=0, 1 即得9×m-4秋+4m2-4 2× 8k1 4k2+14k2+1 4k2+1 +4=0, 化简得13m2-16k1-20k2=0, 解符m=2水或m=} 当m=2k时，直线PQ方程为y=k+2k=k(+2),直线PQ过点A(-2,0),不合题意， 当m=得时直线四方程为=骨=(-)， 13 故直线四过定点智： 当圆G的圆心在x轴上时，M,N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为(x-1)2+y2=1, 令x=1,则y=±1，此时不妨设M(1,I),N(1,-I), 则4M的方程为=1-2+2)，即y=+2), 联立号+y=1,得13r+16x-20=0,解得x=-2或= 10 13 即P点横坐标为r= 13’ 则直线PQ此时也过点 故直线PQ过定点 10 0 13 19.(1)解。由题意设P(x,),由点到直线距离公式得 %o v3yo 4rl6n-6-5+5y3 2 -3=3,又垂足A位于第一象限， 垂足B位于第四象限，∠APB>90°， C的轨迹方程为写-少=>0)。 (2)解：由对称性，不妨设P在第一象限，设P(),则T(-,-), 设直线/的斜率为k,记a=(1,k),由1为∠MTN的角平分线， TM.a TN.a 则有7可' 其中-=1，≥5，TM=(。-2),N=(+2,), 网-2e+昏129。 TM·a_TNa 时理得.网-5+5，代入中 (-2)1,k_（+2)(1,k) ∴.23 35 }，+5，化简得：。=汤 2V3 将=3代入-疗=1，≥5中， 3 3k 1 解得：6=、 32-7,%= V3k2-1’ 3k 设直线I的方程为y=x+n,将T 1代入，解得：n=V3k1, 直线/的方程为)=+V6k1,人> 3 3k2-1+3k2-可 由点到直线距离公式得：PW=N3k 2V3k2-1. VR2+1 VR2+1 由直线吧的斜率为。 设直线PQ的方程为x=-+m, 3k 4k 将P V3w2-'3k2-1 点代入，解得：m= V3k2-1’ 4k .直线PQ的方程为x=-+ V3一将其与 3广=1(>0)联立得 (k2-3)2- 8k2 7k2+3=0, =y+ V3k2-13k2-1 8K2 7k2+3 设Q(x,), 则6+%-》N-4e-可 由y<0可知k∈ Pg=+-=+KV+y)-4y= 6(k2+1月 3-k2N3x2- 由均值不等式， PO 3+-3 PH3-k2)32-1)（k2+1) 当且仅当3-k2=3k2-1,即k2=1时，等号成立， k∈ 故k=1, PH 1 .OHPo -≤ +14,当且仅当k=1时，等号成立 PH PH :O川的最大值为4.20252026学年度高二第一学期期中学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请务必将自已的姓名、考试号等用Q.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置 3作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指 定位置作答，在其他位置作答一律无效。 一、单项选择题（共8小题满分40分） 1.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（）· B.x C.2 D.4 2.两圆C:x2+y2=1与C:(x+3)+y2=4的公切线条数为（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线4，：ax+2y=0与直线：x+(a+1)y+4=0,则“a=1”是“1,1W川”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.已知F、F,是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF,=120°，PF=3PF,则 双曲线C的离心率为() 人号 B.3 2 c.√万 D.13 5.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，与圆x2+y2-6x-91=0内切，则该动圆圆心的轨迹 是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 6.设抛物线C:x2=16y的焦点为F,斜率不为0的直线1过点4(3,4)，过F作1的垂线，垂 足为BQ是C上的一个动点，则FQ+PQ的最小值为() B.6 3 C.2 D.7 高二数学试题第1页共4页 7.曲线+少=1与直线+片=1的公共点的个数为() 169 43 A.3 B.2 C.1 D.0 8.已知5，F分别是椭圆C: 。+方=(a>b>0)的左、右焦点，点RQ是C上位于x .y2 轴上方的任意两点，且PF∥QF,.若PF+QF≥b,则C的离心率的取值范围是() C. 二、多项选择题（共3小题满分18分） 9.已知双曲线C过点6②)且渐近线方程为，=± x,则下列结论正确的是（) 3 A.双曲线C的方程为-y=1 B.双曲线C的离心率为 C.曲线y=e2-1经过双曲线C的一个焦点D.焦点到渐近线的距离为1 10.已知点P在圆x2+(y-3)}=8上，点A(0,-1),B(0,1),C(7,0),则() A.PA=V2 PB B.当△PAB面积最大时，PA=2√2 C.当∠PCA最小时，PC=5V2 D.当∠PCA最大时，PC=5V2 11.抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点，点P在抛物线C上，则 下列结论中正确的是（) A.若M(2,2),则PM+PF的最小值为4 B当带-觉时.国9 PO C.若(-1,0)，则PF 的取值范围为[1，V2] D.在直线r=上存在点N,使得∠N8=90 三、填空题（共3小题满分15分） 12.已知抛物线x2=6y的焦点为F,准线为1，点P在抛物线上，PQ11于点Q.若△PQF 是锐角三角形，则PF的取值范围是 13.过点P(4,3)作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分别为M,N则MW= 高二数学试题第2页共4页 14.已知椭圆C:女+上=1的左、右焦点分别为E,F,M为C上任意一点，N为圆 43 E(x-5)2+(y-4)2=1上任意一点，则MN-MF的最小值为 四、解答题（共5大题满分77分） 15.(13分)已知VABC的顶点A(5,1),重心G(3,3). (1)求线段BC的中点坐标， (2记VABC的垂心为H,若B、H都在直线y=-x上，求H的坐标 16.(15分)已知圆C的圆心在直线2x-y=0上，且与y轴相切于点(0,2). (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线1：x-y+1=0交于A,B两点， 求m的值 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①.∠ACB=120°；条件②， 1B=5,条件3，a.CB= 17.(15分)已知抛物线C:x2=2p(p>0)和圆C,(x+)+y2=2,倾斜角为45的直线1过C 的焦点且与C,相切. (1)求p的值： (②点M在C,的准线上，动点A在C上，C在A点处的切线1交y轴于点B,设MN=MA+MB, 求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程. 高二数学试题第3页共4页 18.(17分)已知椭圆E: 若+若-1a>b>0)的左、右顶点为4(-20)。22.0，焦距为 2√3.O为坐标原点，过点O、B的圆G交直线x=1于M、N两点，直线AM、AW分别交 椭圆E于P、Q. (1)求椭圆E的方程； (2)记直线AM,AW的斜率分别为k、k2,求k·k的值： (③)证明：直线PQ过定点，并求该定点坐标. 19.(17分)平面直角坐标系xOy中，P为动点，PA与直线x=V3y垂直，垂足A位于第一 象限，PB与直线x=-5垂直，垂足B位于第四象限，∠APB>90且4PBP=子，记动 点P的轨迹为C. (1)求C的方程， 2)已知点M(-2,0),V(2,0),设点T与点P关于原点O对称，∠MTN的角平分线为直线L, 过点P作的垂线垂足为H,交C于另一点Q,求的最大直 高二数学试题第4项共4页