精品解析：四川省绵阳第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

四川省绵阳一中2025-2026学年度高三上期中考试 数学学科 试题说明： 1.考试时间120分钟，试卷满分150分. 2.开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用2B铅笔在答题卡的规定区域填写，用0.5mm黑色签字笔在答题卡的指定区域书写. 3.考试结束后，只交回答题卡即可. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系列方程求解即可. 【详解】因为，所以或， 而无实数解，所以. 故选：C. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解. 【详解】, 所以. 故选：B. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【详解】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 4. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据具有奇偶性的定义域关于原点对称，求得的值，把不等式转化为，根据单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，定义在上的偶函数，可得，解得， 即函数的定义域为， 又由函数当时，单调递减， 则不等式可化为， 可得不等式组，解得，即不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】求解函数不等式的方法： 1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解. 2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 5. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过定点，根据曲线C的方程曲线C表示半圆，然后结合图形求k的范围即可. 【详解】直线l恒过定点， 曲线C的方程可整理为， 所以曲线C表示以为圆心，半径为2的半圆，图象如下所示： ，为两种临界情况，由题意得，则， 令圆心到直线l的距离，解得，则， 所以当时，直线l与曲线C有两个不同的交点. 故选：D. 7. 已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定定义域，根据存在极大值，确定其导函数存在零点且零点处由正变负，对其二次求导通过的正负确定的单调性从而确定的取值范围进而可解不等式. 【详解】因为存在，所以要求，故函数的定义域为， 因为函数存在极大值，所以其导数需存在零点，且零点处由正变负， 求导得：， 令，即.二阶导数， 当时，在定义域上恒成立，所以在上单调递增， 此时函数可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意； 当时，时，即，时，即； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增；故的极小值为， 若函数存在极大值，则，故，所以， 又因为，所以，故化简为，所以. 故选：D 8. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，独立事件的概率公式即可求解. 【详解】, 即，解得. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 10. 已知向量，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有最小值 B. 若，则有最小值 C. 若，则的值为-1 D. 若，则的值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A项，运用数量积公式、基本不等式及“1”的代换可得结果，对于B项，运用数量积公式及基本不等式计算可得结果，对于C项，运用向量共线、数量积公式及对数运算可得结果，对于D项，运用向量垂直计算即可. 【详解】因为，， 对于A项，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，故A项正确； 对于B项，若，，，，当且仅当，时取等号，故B项正确； 对于C项，若，则，则，又因为，， 所以当且仅当，时取等号， 所以，故C项错误； 对于D项，因为，所以，又因为，， 所以这样的a，b不存在，故D项错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象在点处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 在区间上的最大值为 D. 若方程有两个不同的实数解，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性和极值，并画出大致图象，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当时，恒成立，且时，极小值，无极大值， 所以函数大致图象如下， 由上分析，，，则点处的切线为，即，A对； 在上单调递减，B错； 在区间上的最小值为，C错； 要使方程有两个不同的实数解，只需，即，D对. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在区间上的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值. 【详解】由题意，， 所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增. 又，， 所以，函数在区间上的最大值为. 故答案为：. 13. 已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，可得坐标，根据题意，列出等式，化简计算，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为， 所以，即， 则，即，且， 整理得，即. 故答案为： 14. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得， ， 四棱锥O−EFGH的高3cm， ∴． 又长方体的体积为， 所以该模型体积为， 其质量为． 【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积来求和向量的模即可； （2）利用数量积为0来求参数值. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 由，得0， 解得. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 【答案】（1） 因为，M为BC的中点， 所以， 因为四棱锥的底面是矩形， 所以， 所以，所以， 而，即， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以，而平面PBD， 所以平面PBD； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为因为四棱锥的底面是矩形， 所以，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量为， 设平面APM的法向量为， ，， 于是有， 平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知平面APM的法向量为，， 所以D到平面APM的距离为 17. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 交付金额(元) 支付方式 (0,1000] (1000,2000] 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)X的分布列为： X 0 1 2 其数学期望：. (Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率． 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”. （答案不唯一，小概率事件发生也可认为是人数发生了变化） 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值； (Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可. (Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可. 【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则： 该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率. (Ⅱ)由题意可知， 仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占， 仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占， 且X可能的取值为0,1,2. ，，， X的分布列为： X 0 1 2 其数学期望：. (Ⅲ)略 【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关. 18. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】（1） 右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. 【小问3详解】 ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的值； （3）已知数列满足，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由（2）知，当时， 在上单调递增， 又，所以当时，， 由，又，易知 可得：， 所以，即 累加求和可得：， 即， 即，又， 所以，又， 所以. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）由恒成立，通过，两类情况讨论即可； （3）由（2）得到，再结合，得到，累加求和即可求证； 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程：； 即； 【小问2详解】 在上单调递增， 等价于恒成立， 令， 当时，易知在上单调递增， 当时，，故时，， 不符合题意，舍去； 当时，，由，可得， 易知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 由题意得最小值， 即， 构造函数， ，易知时，，，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，取得最大值， 也即要使得成立，需满足，即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳一中2025-2026学年度高三上期中考试 数学学科 试题说明： 1.考试时间120分钟，试卷满分150分. 2.开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用2B铅笔在答题卡的规定区域填写，用0.5mm黑色签字笔在答题卡的指定区域书写. 3.考试结束后，只交回答题卡即可. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 3 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 10. 已知向量，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有最小值 B. 若，则有最小值 C. 若，则的值为-1 D. 若，则的值为1 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象在点处的切线方程为 B. 的单调递增区间为 C. 在区间上的最大值为 D. 若方程有两个不同的实数解，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在区间上的最大值为____________． 13. 已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为__________. 14. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角. （1）求； （2）若，求的值. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点. （1）求证：平面PBD； （2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值； （3）求D到平面APM的距离. 17. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 交付金额(元) 支付方式 (0,1000] (1000,2000] 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 18. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的值； （3）已知数列满足，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $