精品解析：天津市河东区2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷

2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，根据一个图形绕一点旋转180度后，与自身能够完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是弦，弦是直径 B. 过圆心的线段是直径 C. 直径只有一条 D. 圆中最长的弦是直径 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，掌握直径和弦的关系是解题的关键． 根据圆的相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A由直径是过圆心的弦，且圆中最长的弦是直径； 弦是连接圆上任意两点的线段，但弦不一定是直径（如非直径弦），故A选项错误，不符合题意； B． 过圆心的线段且两端点在圆上的线段是直径，故B选项错误，不符合题意； C．直径有无数条，故C选项错误，不符合题意； D． 圆中最长的弦是直径，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：A． 6. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左加上加的原则计算即可． 【详解】因为抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 所以所得抛物线解析式为即， 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握左加上加的原则是解题的关键． 8. 某网络销售公司计划第二季度销售额达到1200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：四月份月销售额+五月份月销售额+六月份月销售额=1200，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设5、6月的销售额月平均增长率为x，则5月份的销售额为万元，6月份的销售额为万元， 根据题意，第二季度总销售额为1200万元， 即． 故选：D． 9. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：二次函数， 则，开口向下，对称轴为， 则函数图像上的点，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离分别为：1、0、， ∵ ∴， 故选：C 10. 如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，角平分线的定义，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 12. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面的距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可得出抛物线解析式，进而逐项判断即可． 【详解】①由题可知，，则①错误； ②对称轴为y轴，交y轴于点，设函数解析式为，将点代入解析式得，解得， 池底所在抛物线解析式为，则②正确； ③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面的距离为，则③错误； ④设原宽度为时最深处到水面的距离为，宽度减少为原来的一半时距离为，故④正确， 所以①、③错误，②、④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法出解析式． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．利用提公因式法因式分解即可求解． 【详解】 解： 故答案为：． 14. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答． 【详解】∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1， ∴x=﹣=1， ∴b=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键． 15. 若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与轴的交点个数由决定，当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点． 【详解】解：二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，弦半径，则的度数为____________． 【答案】100°##100度 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三角形内角和定理求出∠AOC的度数． 【详解】解：∵， ∴∠OCA=∠BOC=40°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=40°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 17. 如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作，交的延长线于点G，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，然后证明，则，得到，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交的延长线于点G，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴（舍负）， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒． （1）的长是__________； （2）连接，当的面积是时，运动时间是__________秒． 【答案】 ①. 4 ②. 或3 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长即可； （2）过点A作于H，求出点A、D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，证明是等边三角形，求出，然后分情况讨论：①当点N在上，②当点N在上，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4 （2）过点A作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴设直线的解析式为，则：， 解得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由题意，， ∴， 当点N在上时，即时，过点N作于P， 则， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得或（舍去）； 当点N在上，即时，作，如图， 则：， 同理：， ∴， 解得； 综上：或； 故答案为：或3． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 20. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围__________； （2）此二次函数的解析式是__________ （3）当时，的最大值是__________； （4）当时，的取值范围是__________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 【答案】（1）或 （2） （3）3 （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，图象法确定的取值范围即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）根据增减性，进行求解即可； （5）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 由图象可知，当时，的取值范围为或； 【小问2详解】 由（1）可知，图象经过，， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 故答案为：3； 【小问4详解】 由（2）可知，当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 当时，函数有最小值为； ∴； 【小问5详解】 ∵， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴． 21. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径是 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 22. 阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个． （1）设每个电子产品降价元，则每周可销售__________个； （2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？ （3）设商户每周盈利元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）10元 （3）每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数关系式，是解题的关键： （1）根据售价每降低1元，平均一周可多卖出10个，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 小问1详解】 解：设每个电子产品降价元，由题意，每周可销售个； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，， 解得，， 尽量减少库存， ． 答：每个电子产品降价10元． 【小问3详解】 根据题意得：， ， 当时，取得最大值，最大值为5290． 答：每个电子产品降价7元，每周的销售利润最大，最大利润为5290元． 23. 在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； （2）如图②，若，求点的坐标； （3）记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2） （3）最小值，最大值 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图②，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为； 【小问3详解】 ∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 24. 已知抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，与y轴相交于点C． （1）若， ①求该抛物线的解析式和点C的坐标； ②P为直线上方抛物线上一点（点P不与点A，C重合），过点P分别作x轴、y轴的垂线，与直线相交于点D，E，当的周长最大时，求点P的坐标； （2）若，F，G分别是线段，上的动点，且，当取得最小值时，求点G的坐标． 【答案】（1）①，点的坐标为；②点的坐标为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）①将以及，代入抛物线，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再令，即可求得点的坐标； ②由题意可知为等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，，因轴交直线于，则，轴，得，，为等腰直角三角形，则，，可知，当的周长最大时，有最大值，再根据二次函数的性质即可求解； （2）由题意可知，，则，如图，过点作，且，可知，可证，得，由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，此时可证得，得，则，，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：①将以及，代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即：点的坐标为； ②∵，，， ∴，则等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为，将，，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，，因轴交直线于，则，轴， ∴，， 同理可知，， ∴为等腰直角三角形，则，， ∴的周长为， 当的周长最大时，有最大值， 而， 即：当时，取得最大值，此时的周长最大，点的坐标为； 【小问2详解】 ∵，， ∴，，则， 如图，过点作，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，如下图， 又∵，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，画出图形利用数形结合的思想是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中考试 九年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列国产新能源汽车图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 直径是弦，弦是直径 B. 过圆心的线段是直径 C. 直径只有一条 D. 圆中最长的弦是直径 5. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数，下列说法错误是（ ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某网络销售公司计划第二季度销售额达到1200万元，已知4月的销售额为310万元，设5，6月的销售额月平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（ ） A 1 B. C. D. 3 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（ ） A B. C. 平分 D. 12. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面距离为； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 一元二次方程的根是______． 14. 二次函数y＝2x2+bx+3的图象的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____． 15. 若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是____________． 16. 如图，在中，弦半径，则的度数为____________． 17. 如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒． （1）的长是__________； （2）连接，当的面积是时，运动时间是__________秒． 三、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 20. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围__________； （2）此二次函数的解析式是__________ （3）当时，的最大值是__________； （4）当时，的取值范围是__________； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是__________． 21. 如图，交于点是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当售价每降低1元，平均一周可多卖出10个． （1）设每个电子产品降价元，则每周可销售__________个； （2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？ （3）设商户每周盈利元，当每个电子产品降价多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． （1）如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； （2）如图②，若，求点的坐标； （3）记为中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 24. 已知抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，与y轴相交于点C． （1）若， ①求该抛物线的解析式和点C的坐标； ②P为直线上方抛物线上一点（点P不与点A，C重合），过点P分别作x轴、y轴的垂线，与直线相交于点D，E，当的周长最大时，求点P的坐标； （2）若，F，G分别是线段，上的动点，且，当取得最小值时，求点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $