精品解析：山东省聊城市临清市多校联合体2025-2026学年高三上学期11月期中考前考试数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级期中考前考数学试题 （本试题考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集和补集运算即可求解. 【详解】由可得， 所以， 故选：B 2. 已知平面向量和满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义即可求解. 【详解】由在上的投影向量为，可得， 因为，所以， 又因为，所以， 故选：C. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换求解即可. 【详解】， ，所以， 所以， 所以. 故选：D. 4. 已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期和振幅，进而可得函数的一个对称中心. 详解】由，得，，所以， 所以，令，得， 所以当时，，所以是函数的一个对称中心. 故选：B. 5. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质可得结论. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 6. 已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（ ） A. B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用双对称函数可推导出周期性，然后即可赋值求解. 【详解】由可得：， 又因为，所以， 则有，即函数的周期为2， 则， 故选：A. 7. 已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第二象限 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数概念，几何意义，模长公式，除法运算一一判定选项即可. 【详解】由可知，则逆时针旋转后相应点为， 所以，即，其虚部为，故A错误； ，其对应的点在第三象限，故B错误； ，故C正确； ， 则，故D错误. 故选：C 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可. 【详解】，， ， 令，则， ，即， ， ， ， 解得， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 在区间内的值域为 B. 函数的图象为中心对称图形 C. 过点且与图象相切的直线共有三条 D. 有三个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三次函数在该区间的单调性来求值域可判断A，利用中心对称恒等式可判断B，利用导数来表示切线，然后用经过点得到参数方程，通过解的个数来判断切线的条数即可判断C，通过三次函数的单调性与极值点可判断D． 【详解】求导得：, 递增 递减 递增 由上可知在区间内的值域为，故A错误； 由，根据定义域为， 则 ， 所以有，则函数的图象关于点对称，故B正确； 设函数在点处的切线方程为：， 由切线经过点，则， 整理得：， 令，则， 可得以下函数关系： 递增 递减 递增 通过上表可判断：的零点只有个， 即方程的解只有个， 所以满足函数在点处的切线方程仅有条满足题意，故C错误； 函数的关系如下表： 递增 递减 递增 根据上表结合三次函数图象可知：有个零点，故D正确； 故选：BD 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 分析】根据基本不等式及柯西不等式直接可得. 【详解】对于A：正实数满足，得， 即，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由，得，因， 所以，且.同理可得，且. 所以，所以B错误； 对于C：， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D：，由C可知， 所以，所以存在，使得，所以D错误. 故选：AC. 11. 已知中，，则下列结论正确的有（ ） A. 平分 B. 的面积的最大值为3 C. 内角可以为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角结合几何法来证明角平分线，利用余弦定理来求角的余弦值，从而可利用基本不等式来求得最小值，从而可得角最大值，再利用面积公式可得函数求出最小值，最后利用余弦定理可证明，从而可判断各选项. 【详解】在中，设角所对的边分别为， 则由正弦定理得 , 又因，所以， 过点作平行于交延长线于点， 根据平行可得，即， 所以，又因为，所以， 即，根据平行可知， 所以，即平分，故A正确； 由余弦定理得：， 因为，所以，故C错误； 由三角形面积公式可得： 取等号条件为，此时满足三角形的两边之和大于第三边，即，故B正确； 再由余弦定理得： 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理，列式求实数的值. 【详解】由条件可知，，， 所以，解得：（舍）或. 故答案为： 13. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，根据题干中已知条件凑出问题中的不等式即可求解. 【详解】构造函数，则，且， 因为对于任意的，都有， 所以，故函数在R上单调递减， 所以解不等式即，即解，所以， 故不等式的解集为. 故答案为： 14. 设A，B，C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简变换得到，在同一坐标系中作出两个函数图像，设为的中点，由，，然后根据为钝角三角形，只须，由求解， 【详解】由题意得，，作出两个函数图像，如图： 为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点， 由对称性，则是以为顶角的等腰三角形，， 由，整理得， 解得，则， 即， 所以， 因为为钝角三角形， 则， 所以， 解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将为钝角三角形，转化为则，利用以而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； 【小问2详解】 由中线向量可得：， 则， 所以. 16. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，进而结合周期公式求得，进而可得的解析式，再根据三角函数的性质求解单调递减区间； （2）转化问题为恰有3个不相等的实数根，进而结合正弦函数的图象求解即可. 【小问1详解】 由， 则最小正周期，即. 令， 解得， 则单调减区间. 【小问2详解】 因为，则， 当时，， 若恰有3个不相等的实数根， 则，解得， 则实数的取值范围为. 17. 已知函数，其中． （1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）答案详见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数单调性即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． 【小问2详解】 已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 18. 已知正项数列满足：． （1）证明是等比数列，并求通项； （2）若，求数列的前项和的表达式． 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【小问1详解】 证明：由，得， 因为是正项数列，所以，即， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以.故 【小问2详解】 由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 故. 19. 已知函数． （1）试判断在区间内零点的个数并说明理由； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合； （3）证明：对任意都有不等式成立． 【答案】（1）恰有一个零点； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，分析其单调性，再结合零点存在性定理即可得到其零点个数； （2）设，求导后分，和讨论即可； （3）等价转化为证明，再设新函数求导得其最小值即可证明. 【小问1详解】 ，， 又，，函数在内单调递增， 又， 由函数零点存在性定理知函数在内恰有一个零点. 【小问2详解】 设，则， 设，则， 当时，此时，则， 当时，此时，则， 显然对成立，在内单调递增， 若，则，必存在使得时，， 则此时在内单调递增，从而有，与已知矛盾. 若，则，必存在使得时，， 此时在内单调递减，从而有，与已知矛盾. 当时，， 显然当，，，则，在内单调递减， 当时，，则恒成立（不恒为零）， 则即在上单调递增，且，则在上恒成立， 在内单调递增， ，即，亦即对任意恒成立. 综上所述，实数的取值集合为． 【小问3详解】 要证对任意都有， 只需证明， 由（2）知，所以有， 即（当且仅当时等号成立），所以只需证明， 即证 记，则, 当时，，当时，， ，即， 对任意都有（当且仅当时等号成立）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三年级期中考前考数学试题 （本试题考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量和满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 或 C. D. 6 已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（ ） A. B. C. -1 D. 1 7. 已知复数，在复平面上对应点分别为A，B，且O为复平面原点，若（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ） A. 的虚部为 B. 对应的点在第二象限 C. D. 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 在区间内的值域为 B. 函数的图象为中心对称图形 C. 过点且与图象相切的直线共有三条 D. 有三个零点 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C D. 11. 已知中，，则下列结论正确的有（ ） A. 平分 B. 的面积的最大值为3 C. 内角可以为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 13. 已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为__________. 14. 设A，B，C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 16. 已知函数（）最小正周期为. （1）求的解析式并求其单调递减区间； （2）若方程在上恰有3个不相等的实数根，求实数的取值范围. 17. 已知函数，其中． （1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）讨论的单调性； 18. 已知正项数列满足：． （1）证明是等比数列，并求通项； （2）若，求数列的前项和的表达式． 19. 已知函数． （1）试判断在区间内零点的个数并说明理由； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合； （3）证明：对任意都有不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $