2.2.2 直线的方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“直线的方程”，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式的推导过程、适用条件与相互转化，通过斜拉桥桥面与斜拉索的情境导入，衔接平面直角坐标系知识，为解析几何后续学习搭建从几何要素到代数表达的思维支架。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过对比表格明晰各方程形式的局限与联系，结合“选择恰当方程形式求直线方程”“含参直线过象限问题”等例题，培养学生数学运算能力。课堂小结通过问题链梳理知识差异，分层作业满足不同学生需求，学生能提升方程选择的灵活性，教师可直接用于课堂教学与分层辅导。

第二章 平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.2　直线的方程 学习 任务 1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的方程．(数学抽象) 2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(直观想象) 3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(数学运算) 2.2.2　直线的方程 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？ 必备知识·情境导学探新知 2.2.2　直线的方程 知识点1　直线的点斜式方程与斜截式方程 (1)直线的点斜式方程 在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程． ①如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为__________． ②如果直线l的斜率存在且为k，设P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为________________________．由直线上一点和直线的斜率确定，通常称为直线的点斜式方程． x＝x0 y－y0＝k(x－x0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 (2)直线的斜截式方程 当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为__；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为__．一条直线在y轴上的截距简称为____．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为____________．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线的斜截式方程． a b 截距 y＝kx＋b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 提醒　纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 知识点2　直线的两点式方程与截距式方程 (1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则 称为直线的两点式方程． (2)若直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程称为直线的截距式方程． ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 提醒　直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距，所以利用截距式解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题非常方便． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 知识点3　直线的一般式方程 直线的一般式方程为____________________________________． 提醒 (1)对于直线方程的一般式，有如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y项的系数和常数项一般不出现分数． (2)直线的一般式方程与点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程的方程形式及局限． Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 类型 方程形式 局限 点斜式方程 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式方程 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 类型 方程形式 局限 两点式方程 (x1≠x2，y1≠y2) 不能表示斜率不存在或斜率为0的直线 截距式方程 ＝1(a≠0，b≠0) 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式方程 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 无 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程＝1表示． (　　) (2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示． (　　) (3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示． (　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝表示． (　　) (5)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化． (　　) × √ × √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [提示]　(1)若直线垂直于坐标轴，此时a或b不存在，不能用＝1表示． (2)能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示． (3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误． (4)两点式方程可变形为(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)，在此方程中，不再有x1≠x2，y1≠y2的限制，因而此方程可以表示过点(x1，y1)，(x2，y2)的直线(包含与x轴，y轴垂直的直线)． (5)当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式． 2．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0　　　　 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0　　 D．k<0，b<0 √ B　[直线过第一、三象限，故斜率k>0．当直线在y轴上的截距b为正时，直线过第一、二、三象限；当直线在y轴上的截距b为负时，直线过第一、三、四象限，故b<0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 3．直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为(　　) A．　　 B．－ C．－　　 D． √ C　[将直线方程3x＋4y＋5＝0转化为y＝－，则直线3x＋4y＋5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 4．在平面直角坐标系中，下列三个结论： ①每一条直线都有点斜式方程； ②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线； ③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0． 其中正确的结论序号为________． ③　[①斜率不存在的直线没有点斜式方程．②方程k＝表示的直线上不包含点(2，－1)．③正确．] ③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 关键能力·合作探究释疑难 类型1　选择恰当的方式求直线方程 【例1】　求满足下列条件的直线方程． (1)斜率为－2，经过点(3，4)； (2)斜率为3，在y轴上的截距是2； (3)经过两点(－2，－1)和(－1，5)； (4)经过两点(－4，0)和(0，2)． 2.2.2　直线的方程 [思路导引]　(1)已知一点坐标和直线斜率，适宜采用点斜式．(2)已知斜率及y轴上的截距，用斜截式．(3)已知两点坐标选用两点式．(4)已知两点为坐标轴上的两点，可知横、纵截距，用截距式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [解]　(1)k＝－2，过点(3，4)，由点斜式得直线方程为y－4＝ －2·(x－3)，即2x＋y－10＝0． (2)k＝3，在y轴上的截距是2，由斜截式得直线方程为y＝3x＋2，即3x－y＋2＝0． (3)直线经过两点(－2，－1)和(－1，5)，由两点式得直线方程为，即6x－y＋11＝0． (4)直线经过两点(－4，0)和(0，2)，可知直线在x轴、y轴上的截距分别为－4和2，由截距式得直线方程为＝1，即x－2y＋4＝0． 反思领悟　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [跟进训练] 1．已知直线l经过点A(2，1)，B(3，3)，求直线l的点斜式方程、斜截式和一般式，并根据方程指出直线在x轴、y轴上的截距． [解]　因为kl＝＝2，所以直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－2)，斜截式为y＝2x－3，一般式为2x－y－3＝0，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 类型2　利用直线的方程求解参数的值或范围 【例2】　设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为____________． [1，＋∞)　[把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零． 即解得a≥1．所以a的取值范围为[1，＋∞)．] [1，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [母题探究] 1．(变条件)本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？ [解]　(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合题意． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 (2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零， 即解得a＞1．由(1)(2)可知a≥1． 2．(变问法)若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？ [解]　把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即解得a≤－2．所以a的取值范围为(－∞， －2]． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 反思领悟　已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 (1)明条件(审题)：明确参数个数，x项、y项的系数及常数项； (2)列式子(依据)： (3)求值检验(结论)：解方程或不等式求值(取值范围)，检验是否符合题意，得出参数的值(取值范围)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [跟进训练] 2．(源自北师大版教材例题)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R． (1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为，求m的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [解]　(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)，所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝． 故m的值为． (2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0． 所以直线l的方程可化为斜截式y＝．由＝0，可得m＝0． 故m的值为0． (3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为，所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan ，即＝1．解得m＝． 故m的值为． 类型3　直线恒过定点问题 【例3】　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限． [思路导引]　直线恒过定点时可按照参数重新整理其直线方程，若直线斜率存在，则可把直线方程化为点斜式y－y0＝k(x－x0)的形式，故不论直线的斜率k取何值，直线恒过定点(x0，y0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [证明]　法一：将直线l的方程5ax－5y－a＋3＝0化为y－． 由直线l方程的点斜式，可知直线l的斜率为a，且过定点A． ∵定点A在第一象限， ∴直线l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0． ∵上式对任意的a总成立， ∴必有解得 即直线l过定点A，而点A在第一象限，故不论a为何值，直线l恒过第一象限． 发现规律　求直线恒过定点的两种方法 (1)将直线方程化为______，由______方程观察得到定点； (2)将x，y看成参数的____，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为关于x，y的______，然后求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”． 提醒：求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积时，要注意其面积为在两坐标轴上的截距的绝对值的积的一半，其易错点为漏掉绝对值． 点斜式 点斜式 系数 方程组 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 [跟进训练] 3．(1)不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒过一个定点，这个定点的坐标是(　　) A．(5，2)　　　　　　　 B．(2，3) C．(5，9)　　 D． (2)已知过定点的直线kx－y＋4－k＝0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为_________________ ． √ 2x＋y－6＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 (1)B　(2)2x＋y－6＝0　[(1)原方程可化为(2x－y－1)k－(x＋3y－11)＝0， 由直线恒过定点可知，解得 所以直线恒过定点(2，3)． (2)直线kx－y＋4－k＝0可变为k(x－1)－y＋4＝0，所以过定点P(1，4)， 又因为直线kx－y＋4－k＝0在两坐标轴上的截距都是正值，可知k<0， 令x＝0，y＝4－k，所以直线与y轴的交点为A(0，4－k)，令y＝0，x＝1－， 所以直线与x轴的交点为B， 所以4－k＋1－＝5＋(－k)＋＝5＋4＝9， 当且仅当－k＝－，即k＝－2时取等号， 所以此时直线的方程为2x＋y－6＝0．] 学习效果·课堂评估夯基础 1．过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为(　　) A．y＋2＝(x－3)　　　　 B．y－2＝(x＋3) C．y－2＝(x＋3)　　 D．y＋2＝(x＋3) √ C　[因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，由直线方程的点斜式，可得方程为y－2＝(x＋3)．] 2.2.2　直线的方程 2．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　) A．kb<0　　 B．k≤0，b>0 C．k<0，b>0　　 D．kb≥0 √ B　[当k≠0时，直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0． 当k＝0，b>0时，直线l也不经过第三象限，综上，kb≤0．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 3．过点A(3，0)和B(2，1)的直线方程为(　　) A．x＋y－3＝0　　 B．x－y－3＝0 C．x＋y＋3＝0　　 D．x－y＋3＝0 √ A　[由两点式方程得，整理得x＋y－3＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 4．若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是___________． (－2，1)　[直线方程可化为y－1＝m(x＋2)． 由直线的点斜式可知直线过定点(－2，1)．] (－2，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．＝k与y－y0＝k(x－x0)有什么不同？ [提示]　＝k与y－y0＝k(x－x0)的不同之处在于前者表示的直线上缺少一个点P0(x0，y0)，后者表示整条直线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 2．试比较各种不同直线方程的特点及适用范围． 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 [提示] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴的直线 截距式 ＝1(a≠0，b≠0) a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点的 直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)   所有直线 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此在应用时要注意它们各自的适用范围，避免漏解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．下列命题正确的个数是(　　) ①经过定点P的直线都可以用方程y－y0＝k表示； ②直线l过点P，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0； ③在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程＝1来表示； ④直线y＝ax－3a＋2必过定点． A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 课时分层作业(十一)　直线的方程 √ 45 B　[当直线过点P且与x轴垂直时，直线方程不能用y－y0＝k表示，故①错误；直线l过点P，倾斜角为90°，则直线方程可表示为x＝x0，故②正确；在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所以不一定能用＝1表示，故③错误；直线y＝ax－3a＋2可化为y＝a(x－3)＋2，故恒过定点(3，2)，故④正确． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(多选题)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　　) A．过点　　 B．斜率为 C．倾斜角为60°　　 D．在y轴上的截距为1 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 47 BC　[对于直线l：x－y－1＝0，当x＝时，y＝2，故A错误；当x＝0时，y＝－1，即直线在y轴上的截距为－1，故D错误； 化直线方程为斜截式：y＝x－1，可得直线的斜率为，故B正确； 设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)， 则tan θ＝，θ＝60°，故C正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 3．在直线l的方程y＝－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[由y＝－，ab>0，ac<0，知直线斜率k＝－<0，在y轴上截距为－>0， 所以此直线必不经过第三象限，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 49 4．直线l经过点A，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是(　　) A．　　 B．(－∞，－1) C．　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 50 B　[设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝，直线在x轴上的截距为1－， 令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 5．(多选题)直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　 　　　 B　　　　　C　　　　 　　　　D √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 52 BC　[直线l1：ax－y＋b＝0的斜率为a，在y轴上的截距为b，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的斜率为－b，在y轴上的截距为a． A中，直线l1的斜率a大于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，矛盾，故排除A； B中，直线l1的斜率a大于零，直线l2在y轴上的截距a大于零， 直线l1在y轴上的截距b大于零，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的斜率为－b，小于零，故B满足题意； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 C中，直线l1在y轴上的截距为b，大于零，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的斜率为－b，小于零，直线l1的斜率a小于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，故C满足题意； D中，直线l1的斜率为a大于零，直线l2在y轴上的截距为a 小于零，矛盾，故排除D．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 二、填空题 6．把直线l：＝0绕着l与x轴的交点逆时针旋转30°得到直线m，则直线m的一般式方程为____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＝0　[直线l：＝0的斜率为，故直线l的倾斜角为30°，且与x轴的交点坐标为，故直线m的倾斜角为60°，且经过，其方程为y＝，即＝0．] ＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 55 7．直线l过点P(4，1)，直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为___________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x－4y＝0或2x＋y－9＝0　[设直线l的方程为y－1＝k(x－4)(k≠0)，直线l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，故1－4k＝，得k＝或k＝－2，故直线l的方程为y＝x或y＝－2x＋9，即x－4y＝0或2x＋y－9＝0．] x－4y＝0或2x＋y－9＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 56 8．直线l过点P(－1，2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为__________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2x－y＋4＝0　[设A(a，0)，B(0，b)． 由P(－1，2)为AB的中点， 所以所以 由截距式得l的方程为＝1，即2x－y＋4＝0．] 2x－y＋4＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 57 三、解答题 9．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 58 [解]　(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)． (2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是[0，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 (3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，所以A，B(0，1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，所以k>0．故S＝＝×(1＋2k)＝ ≥＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 10．已知A(－3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最小，那么点M的坐标为(　　) A．(－1，0)　　 B．(1，0) C．　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 61 B　[找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴交于M点，连接BM，此时|AM|＋|BM|为最小，由B与B′关于x轴对称，B(2，2)，所以B′(2，－2)，又A(－3，8)，则直线AB′的方程为y＋2＝(x－2)，化简得y＝－2x＋2，令y＝0，解得x＝1，所以M(1，0)．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 11．(多选题)已知直线l过点P，且与直线l1：x＋3y－9＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　) A．直线l的方程为x－3y＋3＝0 B．直线l与直线l1的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为2 D．这样的直线l有两条 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 63 AB　[因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，因为直线l过点P，所以直线l的方程为y－2＝(x－3)，即l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；将x＝0代入l：x－3y＋3＝0得y＝1，所以l在y轴上的截距为1，故C错误；过点且斜率为的直线只有一条，故D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 12．已知光线从点A射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D，则CD所在直线的方程为_____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x－2y＋4＝0　[如图，由题设知点B在原点O的右侧，直线BC一定过A关于x轴的对称点(6，－1)，且一定过D关于y轴的对称点(－4，4)， x－2y＋4＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 65 所以BC的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0， 令x＝0，则y＝2，所以C， 所以CD的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 13．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是_______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2x＋y＋1＝0　[把A(2，1)的坐标分别代入直线方程a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，所以2(a1－a2)＝b2－b1．过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是，所以y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0．因为2a1＋b1＋1＝0，所以2a1＋b1＝－1，所以所求直线方程为2x＋y＋1＝0．] 2x＋y＋1＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 67 14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由题意知直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0．若l在两坐标轴上的截距相等，设为a(a≠0)，则直线方程为＝1，即x＋y－a＝0．因为＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x＋y±6＝0．若l在两坐标轴上的截距互为相反数，设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，故直线方程为＝1，即x－y－a＝0．因为＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x－y±6＝0． 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 68 15．已知直线l过定点P(－2，1)，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点． (1)若△AOB的面积为4，求直线l的方程； (2)求|OA|＋|OB|的最小值，并求此时直线l的方程； (3)求|PA|·|PB|的最小值，并求此时直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.2.2　直线的方程 69 [解]　(1)设直线l：＝1，由直线过P(－2，1)可得＝1， 又S△AOB＝＝4， 由解得 所以直线l的方程为＝1，即x－2y＋4＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 (2)设直线l：＝1，则A(a，0)，B(b，0)， |OA|＋|OB|＝b－a＝(b－a)， 当且仅当时，即a＝－时取等号， 此时直线方程为x－＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 (3)设直线l：＝1，因为A，P，B三点共线，且A(a，0)，B(0，b)，P(－2，1)， 即＝(－2－a，1)，＝(2，b－1)， 所以|AP|·|PB|＝＝(－2－a，1)·(2，b－1)＝－2a＋b－5＝(－2a＋b)≥4， 当且仅当－时，即a＝－3，b＝3时取等号，此时直线方程为x－y＋3＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 $