2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

本讲义聚焦直线的点斜式方程与斜截式方程核心知识点，前承直线倾斜角和斜率概念，后续为其他直线方程形式学习奠定基础，通过思考问题、知识梳理、即时练构建从概念理解到初步应用的学习支架。 以射击瞄准情境导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过“过点与斜率确定直线”的推理过程发展数学思维，结合三角形面积等实际问题强化数学语言表达，课中互动思考助教师高效授课，课后练习题与总结帮学生查漏补缺。

2．2.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 新课导入 学习目标 射击运动员在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且运动员达到了上述的两个动作要求，试从数学角度分析子弹是否会命中目标． 1.掌握直线点斜式方程的形式、特点及适用范围． 2.了解斜截式方程与点斜式方程的关系． 3.掌握直线的斜截式方程，并会利用斜截式方程解决有关问题． 4.理解截距的含义． 思考1　在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？ [提示]　无数条． 思考2　在平面内，斜率为k的直线有多少条？ [提示]　无数条． 思考3　在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ [提示]　有且只有一条． [知识梳理] 1．一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线． 2．定义：如图1所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)称为直线l的点斜式方程． 如图2所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式方程，其方程为x－x0＝0或x＝x0. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)经过点P(1，1)的直线都可以用y－1＝k(x－1)表示．(　　) (2)y轴所在直线的方程为x＝0.(　　) (3)y轴所在直线的方程为y＝0.(　　) (4)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．过点P(5，2)且斜率为－1的直线的点斜式方程为(　　) A．y＝－x＋7 B．y－2＝－(x－5) C．y＋2＝－(x＋5) D．y－5＝－(x－2) 解析：选B.过点P(5，2)且斜率为－1的直线的点斜式方程为y－2＝－(x－5).故选B. 3．将直线y＝x绕点(1，1)顺时针旋转75°得到的直线的点斜式方程是________________． 解析：因为直线y＝x的斜率为1，所以其倾斜角为45°.将其顺时针旋转75°，所得直线的倾斜角为45°－75°＋180°＝150°，所以所求直线的斜率为tan 150°＝－.所以所求直线的点斜式方程为y－1＝－(x－1). 答案：y－1＝－(x－1) 4.已知直线过点A(－2，3)，且倾斜角的正弦值为，则此直线的点斜式方程为_____________________________． 解析：记直线倾斜角为α，由题知sin α＝，α∈[0，π)， 所以cos α＝±＝±，所以k＝tan α＝＝±，则直线的点斜式方程为y－3＝±(x＋2). 答案：y－3＝±(x＋2) (1)用点斜式方程求直线的方程，首先要确定直线的斜率和直线上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程． (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式方程求直线的方程． 思考　在平面内，过点P0(0，b)且斜率为k的直线方程如何表示？ [提示]　y－b＝kx. [知识梳理] 1．一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．一条直线在y轴上的截距简称为截距． 2．定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b称为直线l的斜截式方程． [例1] 求满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 【解】　(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线方程为y＝2x－1. (2)因为直线y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°，所以k＝tan 30°＝.又b＝－2，所以直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又b＝3，所以所求直线方程为y＝x＋3. (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程． [跟踪训练1] (1)(2026·哈尔滨期中)直线y＝－x＋2的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题知，直线y＝－x＋2的斜率为－，记倾斜角为α，则tan α＝－， 因为α∈[0，π)，所以α＝. (2)已知直线l在y轴上的截距为2，且直线l的一个方向向量为a＝(1，2)，则直线l的方程是________． 解析： 因为直线l的一个方向向量为a＝(1，2)，则该直线的斜率为k＝＝2， 又因为直线l在y轴上的截距为2，故该直线的方程为y＝2x＋2. 答案：y＝2x＋2 应用点　直线点斜式和斜截式方程的应用 [例2] 已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，则直线l的点斜式方程为________. 【解析】　设所求直线l的点斜式方程为y－1＝k(x－4)(k<0)， 当x＝0时，y＝1－4k； 当y＝0时，x＝4－. 由题意，得×(1－4k)×＝8. 解得k＝－. 所以直线l的点斜式方程为 y－1＝－(x－4). 【答案】　y－1＝－(x－4) 母题探究　本例中将条件“且与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为8”改为“且过第一、二、三象限”，则该直线斜率k的取值范围为________. 解析：由题设直线l的点斜式方程为y－1＝k(x－4)(k>0). 当x＝0时，y＝1－4k； 当y＝0时，x＝4－， 由题意知解得0<k<， 故斜率k的取值范围是. 答案： (1)由直线方程可以确定直线的位置，计算与坐标轴交点的坐标，求解多边形的面积以及解决夹角和距离等问题． (2)采用“待定系数法”求直线方程，先设出参数，再利用条件求参数． [跟踪训练2] 直线l过P(3，4)，与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点．则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为________. 解析：根据题意，直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k(k＜0)， 因为直线l过点P(3，4)，则直线l的方程为y－4＝k(x－3)， 令x＝0，可得y＝4－3k； 令y＝0，可得x＝3－， 直线l在x轴和y轴上的截距分别为3－和4－3k，且k＜0， 则3－＋4－3k＝7＋(－3k)＋≥7＋2　＝7＋4， 当且仅当－3k＝－，即k＝－时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为7＋4. 答案：7＋4 1．(教材P89 T4改编)若直线l的斜率为－，在y轴上的截距为－1，则l的方程为(　　) A．y＝－(x＋1) B．y＝－(x－1) C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1 解析：选C. 斜率为－，在y轴上的截距为－1的直线l的方程为y＝－x－1. 2．经过点(－1，1)，且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A.x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 解析：选C.由题意知所求直线斜率为，故由点斜式知所求直线方程为y－1＝(x＋1). 3．(教材P90练习BT5改编)已知直线l过点P(2，1)，且直线l的法向量为v＝(1，－4)，则直线l的点斜式方程为________________． 解析：因为直线l的法向量为v＝(1，－4)，所以直线l的方向向量为a＝(4，1)，即直线l的斜率为，又直线l过点P(2，1)，所以直线l的点斜式方程为y－1＝(x－2). 答案：y－1＝(x－2) 4．直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3.则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析：因为直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3， 由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3. 在y＝3x－3中，令y＝0，即3x－3＝0，解得x＝1，即直线l与x轴的交点坐标为(1，0)， 则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×1×|－3|＝. 答案： 1．已学习：直线的点斜式方程及直线的斜截式方程． 2．须贯通：点斜式方程表示直线的前提条件是该直线的斜率存在，且过已知点；斜截式方程表示直线时，必须已知斜率及在y轴上的截距． 3．应注意：截距与距离的区别． 学科网（北京）股份有限公司 $