1.2.5 空间中的距离-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间中的距离，涵盖两点间、点到直线、点到平面等距离概念及向量法应用。以立交桥情境导入，联系实际问题，通过知识点定义、思考提示、例题解析搭建学习支架，衔接空间向量基础与距离计算应用。 其特色是情境导学结合数学抽象与逻辑推理，如通过向量法推导距离公式培养推理能力，例题与跟进训练强化数学运算。采用合作探究与规律总结，学生能系统掌握方法，教师可提升教学效率，助力核心素养培养。

第一章　 空间向量与立体几何 1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.5　空间中的距离 学习任务 1．理解图形与图形的距离的概念．(数学抽象) 2．理解空间中两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线与平面之间的距离以及两平面之间的距离的概念，会求它们之间的距离．(数学抽象、逻辑推理) 3．会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离．(逻辑推理、数学运算) 1.2.5　空间中的距离 立交桥是伴随高速公路而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了保障车流畅通，使车辆安全通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些 城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始 从平地走向立体． 必备知识·情境导学探新知 1.2.5　空间中的距离 问题：在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师如何计算出来？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 知识点1　空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离指的是这____________________． 知识点2　点到直线的距离 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定__________，所以过A可以作直线l的一条________，这条____________称为点A到直线l的距离． 两个点连线的线段长 一个平面 垂线段 垂线段的长 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 思考　1．如何用向量法求点到直线的距离？ [提示]　如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点． 作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 提醒　是s同方向的单位向量，点A到直线l的距离公式也可以写成d＝. 知识点3　点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，____________称为点A到平面α的距离． (2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个 法向量，则点A到平面α的距离为d＝____________. 垂线段的长 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 知识点4　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上______________________称为这条直线与这个平面之间的距离．如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝. 任意一点到平面的距离 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 (2)当平面与平面平行时，一个平面内__________到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为_________． (3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的________．公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的__________． 任意一点 d＝ 公垂线 公垂线段 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 思考　2．线面距、面面距与点面距有什么关系？ [提示] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 1．在平面直角坐标系中，A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长为(　　) A．　　　B．2　　C．3　　　D．4 B　[过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，B′(图略)，则||＝3，||＝2，||＝5，又＝，所以||2＝32＋52＋22＋2×3×2×＝44，即||＝2.] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为(　　) A． B． C． D． √ A　[＝(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d＝＝＝.] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 3．(教材P61练习B T5改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，则点C到平面AEF的距离为(　　) A． B． C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 A　[如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，易知A(0，0，0)，E(1，1，2)，F(1，2，1)，C(2，2，0)， 所以＝(1，1，2)，＝(1，2，1)，＝(2，2，0)， 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则令y＝－1， 解得n＝(3，－1，－1)为平面AEF的一个法向量， 故点C到平面AEF的距离为 ＝＝.] 4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 (　　) A． B． C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 C　[由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离． 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则易得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，A(，0，0)，B(，0)，＝(0，－，0)，则两平面间的距离为d＝＝＝.] 类型1　空间中两点间的距离 【例1】　【链接教材P55例1】 (1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　) A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D． 关键能力·合作探究释疑难 √ 1.2.5　空间中的距离 (2)如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点M，N分别是边AB，CD的中点，则MN的长为__________. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 (1)C　(2)　[(1)以点A为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F， 所以|EF|＝＝，故选C. (2)设＝p，＝q，＝r， 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝1， 且p，q，r三个向量两两夹角均为60°， ＝＝)－＝(q＋r－p)， 所以||2＝＝(q＋r－p)·(q＋r－p)＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]＝×2＝，所以||＝， 即MN的长为.] 【教材原题·P55例1】 【例1】　如图1-2-41所示，已知ABCD-A′B′C′D′是平行六面体，AD＝3，AB＝4，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，求AC′的长． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [解]　由已知可得不共面，而且||＝3，||＝4，||＝5， 从而＝0， ＝3×5×cos 60°＝7.5， ＝4×5×cos 60°＝10. 又因为＝＝， 所以||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝32＋52＋42＋2×7.5＋2×10＝85，因此||＝， 即所求长为. 发现规律　计算两点间的距离的两种方法 (1)把线段用向量表示，利用______________，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|AB|＝____________求解． (2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时，用坐标法求向量的长度(或两点间距离)． |a|2＝a·a 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [跟进训练] 1．如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为(　　) A．1 B． C． D．2 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 B　[因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， 底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2， ∠A1AB＝∠A1AD＝120°， 所以＝， 所以＝()2 ＝＋2＋2＋2＝1＋1＋4＋2×1×2×cos 120°＋2×1×2×cos 120°＋0＝2.所以线段AC1的长为.] 类型2　点到直线的距离 【例2】　【链接教材P56例2】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [解]　法一：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，所以＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)． 所以||＝＝， ＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， 所以在上的投影的长为＝. 所以点A到直线EF的距离d＝＝＝. 法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，所以＝(1，－2，1)， 设点G(x，y，z)，且满足＝λ⊥， 则＝(x，y－2，z－1)＝λ(1，－2，1)＝(λ，－2λ，λ)， 即x＝λ，y－2＝－2λ，z－1＝λ，所以x＝λ，y＝2－2λ，z＝1＋λ， 即G(λ，2－2λ，1＋λ)，所以＝(λ－2，2－2λ，1＋λ)， 由＝0得λ＝＝， ||＝＝， 即点A到直线EF的距离为. 【教材原题·P56例2】 【例2】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点C1到直线BD1的距离． [解]　以D为原点，的方向分别为x轴、y轴，z轴正方向，建立如图1-2-43所示的空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，因此＝(－1，－1，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 设E满足＝λ且C1E⊥BD1，则＝＋λ＝(1，1，0)＋λ(－1，－1，1)＝(1－λ，1－λ，λ)，即E(1－λ，1－λ，λ)，所以＝(1－λ，－λ，λ－1)． 又因为C1E⊥BD1，所以＝0，即(－1)×(1－λ)＋(－1)×(－λ)＋1×(λ－1)＝0，解得λ＝，因此＝，从而可知点C1到直线BD1的距离为||＝＝. 反思领悟　利用向量法求点到直线的距离的常用方法 (1)利用空间向量找垂线段，再求模即可． (2)①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影的数量； ④利用勾股定理求点到直线的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [跟进训练] 2．(源自湘教版教材例题)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求点E到直线AF的距离． [解]　如图，以D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E，F， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 于是＝＝. 因此||＝. 过点E作FA的垂线交FA于H，则是在上的投影向量． 所以||＝＝＝. 所以，点E到直线AF的距离 ||＝＝＝. 类型3　点到平面的距离 【例3】　【链接教材P58例3】 图中的多面体是底面为矩形ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求： (1)BF的长； (2)点C到平面AEC1F的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [解]　(1)以D为坐标原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)． 设点F的坐标为(0，0，z)，易知截面AEC1F为平行四边形， ∴由＝，得(－2，0，z)＝(－2，0，2)， ∴z＝2，∴F(0，0，2)， ∴＝(－2，－4，2)． 于是||＝2，即BF的长为2. (2)设n1＝(x1，y1，z1)为平面AEC1F的一个法向量． 易知＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)． 由 得 令z1＝1，则n1＝为平面AEC1F的一个法向量． 又∵＝(0，0，3)， ∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝＝. 【教材原题·P58例3】 【例3】　如图1-2-45所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝1.求点D到平面PBC的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [解]　依题意，AB，AD，AP是两两互相垂直的．以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1-2-45所示的空间直角坐标系．则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 所以＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)． 设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 令z＝1，则得x＝1，y＝0，此时n＝(1，0，1)． 因为＝＝， 所以点D到平面PBC的距离为. 反思领悟　用向量法求点面距的方法与步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 提醒：由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，进而用等积转化法求点到平面的距离也是计算点面距离的常用方法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [跟进训练] 3．如图所示，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [解]　设点A到平面A1BD的距离为h，则 ＝×a××a×a＝a3， ＝×h××(a)2＝a2h， 因为＝， 所以h＝a，所以点A到平面A1BD的距离为a. 类型4　线面、面面间的距离 【例4】　(源自人教A版教材例题)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [思路导引]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [解]　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F，所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝＝＝＝. (1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝. 所以，点B到直线AC1的距离为 ＝＝. (2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1，所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 所以所以 取z＝1，则x＝1，y＝2. 所以n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量． 又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝. 即直线FC到平面AEC1的距离为. 反思领悟　线面距离与面面距离的求解思路 (1)求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 [跟进训练] 4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD之间的距离为__________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 　[以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， ∴＝＝， ∴EF∥MN，AM∥BF.又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M， ∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则， 取z＝1，得n＝(2，－2，1)为平面AMN的一个法向量． ∵＝(0，4，0)， ∴＝＝， 即平面AMN与平面EFBD之间的距离为.] 1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A．　　　B．1　　　C．　　　D．2 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1.2.5　空间中的距离 A　[因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)， 所以点A到直线BC的距离 d＝||＝|| ＝1×＝.] 2．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A． B．1 C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 D　[如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，因为AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1，所以BB1＝.即点A1到平面ABCD的距离为.] 3．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(　　) A． B． C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 A　[如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)， D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，∴＝(－2，2，0)，＝ (－2，0，4)，＝(－2，－2，0)．设平面AD1C的一 个法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2，2，1)为平面AD1C的一个法向量，所以点B1到平面AD1C的距离为＝，故选A.] 4．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是__________． 2　[设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2.] 2　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何正确理解点A到平面α的距离d＝？ [提示]　(1)点B是平面α内的任意一点，可视题目的情况灵活选择． (2)表示向量在法向量n方向上的投影的大小，因此，点A到平面α的距离也可以表示成或. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 (3)由于＝n0是平面α的单位法向量，所以点A到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的平面α的任意一条斜线段AB对应的向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 2．求点到平面的距离的常用方法有哪些？ [提示]　(1)定义法，先过点作已知平面的垂面，再过点作两平面交线的垂线段，则该垂线段垂直于已知平面，求出垂线段的长即得点到平面的距离． (2)等体积法，把点到平面的距离视为一个棱锥的高，利用体积相等求得点到平面的距离． (3)向量法，这是我们常用的方法，利用向量求点到平面的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 3．求直线到平面、平面到平面的距离的前提条件是什么？如何求解？ [提示]　求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行，求解方法通常有两种： (1)过直线(或平面)上一点作平面的垂面，再过该点作两平面交线的垂线段，则该垂线段垂直于已知平面，根据题意在直角三角形中求解线段长度，或者根据图形的性质转化为利用向量法求相应向量的模． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 (2)转化为求直线(或平面)上任意一点(该点一般为已知点，易求出坐标的点)到平面的距离，求出连接该点和平面上一点所得斜线段对应的向量在平面法向量上的投影的大小即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 异面直线间的距离 设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？ 如图(1)，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β.由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直 阅读材料·拓展数学大视野 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β.于是，异面直线a，b的距离就转化为平行平面α，β的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可． 图(1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 如何求这两个平行平面的法向量呢？ 设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b.因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可． 如图(2)，设点A，B分别是异面直线a，b上 任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量， 向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线 a，b的距离为d＝. 图(2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　) A．2　 　　　　　　 B． C． D． 课时分层作业(八)　空间中的距离 72 C　[取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E，F(0，0，2)，所以＝， EF＝||＝＝.] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则C到直线AB1的距离为(　　) A． B． C． D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 74 D　[由题意知，AC＝AB＝2，BB1＝， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 75 取AC的中点O，则BO⊥AC，BO＝， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A(0，－1，0)，B1(，0，)，C(0，1，0)， 所以＝(，1，)，＝(0，－2，0)， 所以在上的投影的长度为＝＝， 故点C到直线AB1的距离为 d＝＝，故选D.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 3．如图，正四棱锥P-ABCD的高为2，且底面边长也为2，则点A到平面PBC的距离为(　　) A． B． C． D． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 77 A　[由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD为正方形，底面对角线的长度为＝2，侧棱长度为＝， 所以S△PBC＝×2×＝， V三棱锥P-ABC＝×2×2×2＝， 又V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC，设点A到平面PBC的距离为h，所以h＝，所以h＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 √ 4．(教材P61练习B T5改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 (　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 79 C　[如图，以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 80 则D1，E(1，1，0)，A，C. 从而＝＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)． 设平面ACD1的一个法向量为n＝， 则即 得 令a＝2，则n＝为平面ACD1的一个法向量， 所以点E到平面ACD1的距离为h＝＝. 故选C.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 81 √ 5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E＝A1B，B1F＝，则EF与平面ABC1D1的距离为 (　　) A．a B．a C．a D．a 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 82 B　[如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，易得 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 E， F， 故＝， ＝(a，0，0)，＝(0，a，a)． 83 设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由⇒ 令z＝1，得n＝(0，－1，1)为平面ABC1D1的一个法向量． 因为·n＝·(0，－1，1)＝0， 所以⊥n，故EF∥平面ABC1D1. 又＝， 所以·n＝·(0，－1，1)＝a， 所以d＝＝a.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 84 二、填空题 6．直角三角形ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 85 3　[法一：以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 86 则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P， 所以＝(－4，3，0)，＝， 所以在上的投影为＝， 所以点P到斜边AB的距离d＝＝＝3. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 87 法二：因为PC⊥平面ABC，过C作CD⊥AB于D，连接PD(图略)，由三垂线定理可知PD⊥AB，即PD为P到AB的距离． 因为在Rt△ABC中，CD＝， 所以PD＝＝＝3.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 88 7．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的可能取值为_______________________________．(填一个即可，不必考虑所有可能的取值 )． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 或3或或2(填一个即可)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 89 或3或或2(填一个即可)　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以＝(－3，－3，3)，因为＝＝(－1，－1，1)，所以＝＝(2，2，1)．所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝.|PD|＝|PA1|＝|PC1| ＝＝3，|PB|＝ ＝，|PD1|＝＝2.故P到各顶点的 距离的不同取值有，3，，2.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 90 8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为___________；点D到平面EFD1B1的距离为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 91 　[建立如图所示的空间直角坐标系． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 92 则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F，E. 所以||＝||＝||＝， 即△DA1C1为等边三角形， 所以点D到A1C1的距离为三角形的高h＝sin 60°＝. 又＝＝(1，1，0)， 则可求得平面EFD1B1的一个法向量为n＝. 又＝(0，0，1)，故d＝＝.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 93 三、解答题 9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D. (1)求BP的长； (2)求点P到平面EC1D的距离． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 94 [解]　(1)以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 95 则B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)， 设P(a，b，1)，＝λ，λ∈[0，1]，＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)， 则＝(a－1，b，0)＝(－λ，2λ，0)， 所以P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0)． 设平面DEC1的一个法向量n＝(x，y，z)， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 96 则取x＝1，得n＝(1，－1，1)为平面DEC1的一个法向量， 因为PF∥平面EC1D， 所以·n＝λ－1＋2λ＝0， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 97 解得λ＝，所以P， 所以||＝＝. (2)由(1)得平面EC1D的一个法向量n＝(1，－1，1)，＝， 所以点P到平面EC1D的距离d＝＝＝. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 98 √ 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为(　　) A．1 　　　　 B． C． 　　　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 99 D　[以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E，D1，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 所以＝(－1，－2，2)，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 100 因点P在线段D1E上，则λ∈[0，1]，＝λ＝(－λ，－2λ，2λ)， ＝＝(1－λ，－2λ，2λ)， 所以向量在向量上的投影长为d＝＝＝2λ， 而＝， 则点P到直线CC1的距离h＝＝＝， 当且仅当λ＝时取等号，所以点Р到直线CC1的距离的最小值为，故选D.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 101 √ 11．(多选题)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则(　　) A．BD1⊥AP B．AP＋PB的最小值为a C．异面直线AP与A1D的距离是定值a D．∠APB＝∠C1PD1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 102 ABD　[建立如图所示的空间直角坐标系： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，D1(0，0，a)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)， 103 所以＝(－a，－a，a)，＝(－a，0，－a)，＝(0，a，a)，＝(0，0，－a)， 设＝λ＝(－aλ，0，－aλ)， 则＝＝(－λa，a，(1－λ)a)， ＝＝(aλ，0，(λ－1)a)， 因为＝λa2－a2＋(1－λ)a2＝0， 故BD1⊥AP，故A正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 104 ||＝a＝a， ||＝a＝a， 当λ＝时，AP＋PB取得最小值为a，故B正确； 因为A1D∥B1C，A1D⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，则A1D∥平面AB1C， 所以点A1到平面AB1C的距离为异面直线AP与A1D的距离， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 105 设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即取n＝(－1，－1，1)为平面AB1C的一个法向量，所以d＝＝a，故C错误； 因为＝(λa，0，(λ－1)a)，＝(λa，－a，(λ－1)·a)，＝((λ－1)a，0，λa)，＝((λ－1)a，－a，λa)， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 106 所以cos ∠APB＝＝， cos ∠C1PD1＝＝， 则cos ∠APB＝cos ∠C1PD1， 因为∠APB，∠C1PD1∈(0，π)， 则∠APB＝∠C1PD1，故D正确．故选ABD.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 107 12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，BC＝1，E，F，H分别是AB，CD，A1B1的中点，则直线EC到平面AFH的距离为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 108 　[以D为原点，DC，DA，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题知A，C， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 109 因为E，F，H分别是AB，CD，A1B1的中点， 所以E，F(1，0，0)，H， 则＝＝(1，－1，0)，所以EC∥AF，所以EC∥平面AFH，所以点E到平面AFH的距离即为直线EC到平面AFH的距离，设平面AFH的一个法向量为n＝，则 因为＝，所以取x＝2，则y＝2，z＝－1， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 110 所以n＝是平面AFH的一个法向量， 又向量＝，所以点E到平面AFH的距离为＝， 即直线EC到平面AFH的距离为.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 111 13．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C1的中点，F为线段BC上的动点，则|AF|＋|FE|的最小值为__________；点F到直线DE距离的最小值为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 112 　[建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(2，0，0)，E(1，2，2)，D(0，0，0)，F(x，2，0)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 113 |AF|＋|FE|＝， 代数式可以表示横轴上一点M(x，0)到点N(2，2)和点P(1，2)的距离之和，如图所示： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 114 设N(2，2)关于横轴的对称点为Q(2，－2)，当线段PQ与横轴的交点为M点时，|AF|＋|FE|有最小值，最小值为|PQ|＝＝. 设FO⊥DE，O为垂足，则有O(λ，2λ，2λ)，＝(1，2，2)，＝(λ－x，2λ－2，2λ)， 因为⊥，所以＝0⇒λ－x＋2(2λ－2)＋2·2λ＝0⇒x＝9λ－4， 因此||＝ ＝， 化简得||＝，当6λ－3＝0时，即λ＝时，x＝，||有最小值，即最小值为.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 115 14．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图(1)，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”(如图(2))． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 116 (1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF； (2)若二面角A-EF-B是直二面角，求点B到平面GCF的距离． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 117 [解]　(1)证明：取线段CF中点H，连接OH，GH， 由题图(1)可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB， ∴O是线段BF与CE的中点，∴OH∥BC且OH＝BC， 在题图(1)中知AG∥BC且AG＝BC，EF∥BC且EF＝BC， ∴在题图(2)中，AG∥BC且AG＝BC，AG∥OH且AG＝OH， ∴四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG， 由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，∴AO∥平面GCF. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 118 (2)由题图(1)，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在题图(2)中仍有EF⊥EA，EF⊥BE， ∴∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角， ∴∠AEB＝90°. 以E为坐标原点，分别为x轴、 y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 119 则B，C，F，A，G， ∴＝＝＝(0，－2，2)． 设平面GCF的一个法向量为n＝， 由得取y＝1，则z＝1， 于是平面GCF的一个法向量为n＝， ∴点B到平面GCF的距离为d＝＝＝2. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 120 15．在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝，EF∥平面ABCD，AB＝2EF＝2，点M为BC中点． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 121 (1)在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG∥平面BDF？请说明理由． (2)请在下列两个条件中任选一个，求点A与平面BEC的距离． ①cos ∠BDF＝； ②EM＝2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.2.5　空间中的距离 122 [解]　(1)存在．如图，连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB. 123 又点O与点M分别为AC与BC的中点，所以OM∥AB，OM＝AB＝EF， 所以四边形OMEF是平行四边形，则OF∥EM. 因为EM⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，故EM∥平面BDF. 因为点G与点M分别为CD与BC的中点，则GM∥BD. 又GM⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，所以GM∥平面BDF. 而GM∩EM＝M，且GM，EM⊂平面EMG， 故平面EMG∥平面BDF. 故存在CD的中点G，使得平面EMG∥平面BDF. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 124 (2)若选①， 在△BDF中，BD＝DF＝2，cos ∠BDF＝，由余弦定理得BF＝. 如图，取AD中点N，连接FN，BN. 在△BNF中，BN＝FN＝，BF＝，所以BN⊥FN，因为△ABD与△ADF是正三角形，所以BN⊥AD，FN⊥AD，即NA，NB，NF两两垂直． 以点N为坐标原点，NA，NB，NF所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 125 则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－2，，0)，E，所以＝(2，0，0)，＝＝(－1，，0)． 设平面BEC的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，则y＝2，故m＝(0，2，1)为平面BEC的一个法向量． 因为＝，所以点A与平面BEC的距离为. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 126 若选②， 由(1)可知，OF＝EM＝2，如图，取AD中点N，连接FN，ON，BN. 在△ONF中，FN＝，ON＝1，OF＝2，所以ON⊥FN，因为△ADF是正三角形，所以AD⊥FN，又AD∩ON＝N，AD，ON⊂平面ABCD，则FN⊥平面ABCD. 因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD，即NA，NB，NF两两垂直． 下同选①过程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 127 $