1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标表示、坐标运算及平行垂直关系，结合空间直角坐标系的建立与点坐标确定。通过飞机航线位置确定的情境导入，以问题链衔接平面向量知识，构建从二维到三维的学习支架。 其亮点在于以情境导学培养数学眼光，通过思考辨析与多解法例题发展数学思维，分层练习与结构化小结强化数学语言表达。例如飞机位置问题激发兴趣，坐标运算双解法深化理解，助力学生构建知识体系，也为教师提供高效教学资源。

第一章　 空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 学习任务 1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(数学抽象) 2．掌握空间向量的坐标运算．(数学运算) 3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(逻辑推理) 4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．(数学抽象) 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 天上的飞机速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 必备知识·情境导学探新知 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点1　空间向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量__________，就称这组基底为__________基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组_____________为向量p的坐标，记作p＝_____________，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 两两垂直 单位正交 (x，y，z) (x，y，z) 思考　1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点2　空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝____________________________． (2)如果u，v是两个实数，那么ua＋vb＝_______________________ ___________． (3)a·b＝__________________． (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (ux1＋vx2，uy1＋vy2， uz1＋vz2) x1x2＋y1y2＋z1z2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 (4)|a|＝＝________________． (5)当a≠0且b≠0时，cos 〈a，b〉＝＝___________________． 思考　2．若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点3　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．当a≠0时，a∥b⇔_______⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔当a的每 一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔__________________． (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. b＝λa ＝＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点4　空间直角坐标系 (1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与_________垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. (2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互相______的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为__________． (3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿________方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． xOy平面 垂直 坐标平面 逆时针 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 (4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为_________________，z轴与y轴(或x轴)______． (5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)称为点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x称为点M的___________________，y称为点M的___________________，z称为点M的___________________． 135°(或45°) 提醒　点的坐标与向量的坐标表示方法不同，如点A(x，y，z)，向量a＝(x，y，z)． 垂直 横坐标(或x坐标) 纵坐标(或y坐标) 竖坐标(或z坐标) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 (6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，如图所示，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限，在xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限．根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为______________________ ___________________． {(x，y，z)|x＞0， y＞0，z＞0} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点5　空间向量坐标的应用 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，线段AB的中点M(x，y，z) 的坐标公式 ＝____________________________ 空间中两点之 间的距离公式 AB＝||＝ 中点坐标公式 ＝(x，y，z)＝ ____________________________ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝(　　) A．(16，0，4)　　　　　　　 B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) D　[4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4)．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 2．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为(　　) A．，－6 B．－，6 C．－6， D．6，－ A　[若a⊥b，则2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝.若a∥b，则＝＝，解得x＝－6.] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 3．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于yOz平面对称的点的坐标是(　　) A．(1，3，5) B．(1，－3，5) C．(－1，3，－5) D．(－1，－3，5) C　[两点关于yOz平面对称，则纵坐标相同，竖坐标相同，横坐标互为相反数，所以点P(1，3，－5)关于yOz平面对称的点的坐标是(－1，3，－5)．故选C.] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 4．已知P1(1，－1，2)，P2(3，1，0)，P3(0，1，3)，则向量与的夹角是__________． 90°　[设向量与的夹角为θ，因为＝(3，1，0)－(1，－1，2)＝(2，2，－2)，＝(0，1，3)－(1，－1，2)＝(－1，2，1)，所以cos θ＝＝0.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.] 90° 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 类型1　空间向量的坐标表示 【例1】　如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标． 关键能力·合作探究释疑难 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [解]　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3， 以{e1，e2，e3}为单位正交基底，以A为坐标原点， e1，e2，e3的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图． ∵＝＝－＝－)＝－)＝＝e2＋e3， ∴＝. 反思领悟　用坐标表示空间向量的步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [跟进训练] 1．已知向量{a，b，c}是空间的一组基底，向量{a－b，a＋b，c}是空间的另一组基底，向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则向量p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为(　　) A．　　　　　 B． C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 A　[设p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为(x，y，z)， 则p＝x(a－b)＋y(a＋b)＋zc＝(x＋y)a＋(y－x)b＋zc＝2a＋b－c， 所以解得x＝，y＝，z＝－1， 故p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为.] 类型2　空间向量的坐标运算 【例2】　【链接教材P20例2】 已知向量a＋b＝(1，2，1)，a－2b＝(1，－1，－2)，求a·b，(a－b)·(2a－3b)． [解]　(法一)因为3a＝2(a＋b)＋(a－2b)＝(3，3，0)，所以a＝(1，1，0)．因为3b＝(a＋b)－(a－2b)＝(0，3，3)，所以b＝(0，1，1)，则a·b＝0＋1＋0＝1，(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 (法二)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝(1，2，1)，a－2b＝(x1－2x2，y1－2y2，z1－2z2)＝(1，－1，－2)，解得x1＝1，y1＝1，z1＝0，x2＝0，y2＝1，z2＝1，所以a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，所以a·b＝0＋1＋0＝1， (a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 【教材原题·P20例2】 【例2】　已知a＝(－2，3，5)，b＝(3，－3，2)，求下列向量的坐标： (1)a－b；(2)2a＋b；(3)－5b. [解]　(1)a－b＝(－2，3，5)－(3，－3，2)＝(－2－3，3＋3，5－2)＝(－5，6，3)． (2)2a＋b＝2(－2，3，5)＋(3，－3，2)＝(－4，6，10)＋(3，－3，2)＝(－1，3，12)． (3)－5b＝－5(3，－3，2)＝(－15，15，－10)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 发现规律　空间向量坐标的计算技巧 (1)直接代入公式计算 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用______________________计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量按坐标形式设出来，然后通过建立________，解方程组求出其坐标，再进行坐标运算．例题解法二便属于这一类型题目． 空间向量坐标运算公式 方程组 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 (3)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行______________再代入坐标运算，如计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，再求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算． 向量式的化简 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [跟进训练] 2．已知a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝.下列等式：①(a＋b)·c＝a·(b＋c)，②(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2，③(a·b)·c＝a·(b·c)．正确的个数是(　　) A．0　 　　B．1　 　　C．2　 　　D．3 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 D　[对于①，∵(a＋b)·c＝(4，2，2)·＝－＋2－＝0，a·(b＋c)＝(1，2，3)·＝＋2－＝0，∴(a＋b)·c＝a·(b＋c)．对于②，∵a·b＝3＋0－3＝0，a·c＝－＋2－＝0，b·c＝－＋0＋＝0，∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2.对于③，∵(a·b)·c＝(3＋0－3)·＝(0，0，0)，a·(b·c)＝(1，2，3)·＝(0，0，0)，∴(a·b)·c＝a·(b·c)．故选D.] 类型3　空间向量的平行与垂直 【例3】　【链接教材P21例4】 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [思路导引]　判断空间向量垂直或平行的步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [解]　(1)因为＝(－2，－1，2)，且c∥， 所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝＝3|λ|＝3， 解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或k＝－. 故所求k的值为2或－. [母题探究] 1．(变条件)若将本例(1)中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c. [解]　a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)． 设c＝(x，y，z)． 由题意得 解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1， 即c＝(2，－2，1)或c＝(－2，2，－1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 2．(变条件)若将本例(2)改为“若向量λa－b，a－λb平行”，求λ的值． [解]　因为a，b不共线，故λa－b，a－λb均不为零向量， 若向量λa－b，a－λb平行，则存在非零常数t，使得λa－b＝t(a－λb)， 整理得(λ－t)a＋(tλ－1)b＝0，因为a，b不共线，故故λ＝t＝－1或λ＝t＝1，故λ＝±1. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 【教材原题·P21例4】 【例4】　(1)已知a＝(1，－1，1)，b＝(x，y，z)，且a∥b，求x，y，z所要满足的关系式； (2)已知c＝(－1，－1，1)，d＝(2，－2，6)，求一个非零空间向量n，使得n⊥c且n⊥d. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [解]　(1)因为a＝(1，－1，1)的每一个坐标分量均不为零，因此a∥b⇔＝＝⇔x＝－y＝z. (2)设n＝(x，y，z)，则n⊥c且n⊥d⇔⇔ 将z看成已知数，求解方程组可得x＝－z，y＝2z.因此n＝(－z，2z，z)＝z(－1，2，1)， 取z＝1，可得满足条件的一个非零空间向量n＝(－1，2，1)． 反思领悟　解决空间向量垂直、平行问题的思路 (1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b(b≠0)，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 [跟进训练] 3．已知a＝(2，4，x)，b＝(1，y，2)． (1)若a∥b，则y＝__________； (2)若|a|＝6，且a⊥b，则y＝__________． 2 或－　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 (1)2　(2)或－　[(1)由题意得向量a，b的每一个坐标分量均不为零， 所以a∥b⇔＝＝⇔x＝4，y＝2. (2)依题意得 解得或] 1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则3a＋b为(　　) A．(－2，－3，－2)　　　 B．(2，3，2) C．(－2，3，2) D．(4，3，2) 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[3a＋b＝3(1，1，0)＋(－1，0，2)＝(3，3，0)＋(－1，0，2)＝(2，3，2)．] 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 2．(教材P26练习B T3改编)已知向量a＝(3，1，2)，b＝(－1，3，t)，且a与b夹角的余弦值为，则t的值是(　　) A．2　　　B．－2 C．4　　　D．±2 √ A　[因为向量a＝(3，1，2)，b＝(－1，3，t)，a与b夹角的余弦值为， 所以＝cos 〈a，b〉＝＝＝， 整理得t2＝4(其中t>0)，解得t＝2(负值舍去)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 3．已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 √ C　[因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 4．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为__________． 　[因为B(4，－2，－2)，C(0，5，1)， 所以BC的中点为，所以BC边上的中线长为＝.] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．怎样建立空间直角坐标系有利于解题？ [提示]　在建立空间直角坐标系时，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，也就是找“墙角”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 2．在空间直角坐标系中找对称点的坐标有何规律？ [提示]　求对称点的问题可以用“关于谁对称谁不变，其余均取相反数”的规律来记忆．例如关于x轴对称的点的坐标就是x坐标不变，y坐标，z坐标变为原来的相反数；关于xOy平面对称的点的坐标就是x坐标，y坐标不变，z坐标变为原来的相反数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 3．应用空间向量坐标时应关注哪几点？ [提示]　(1)建系，写坐标，把向量坐标化． (2)利用向量的坐标运算公式求解向量的数量积、模长等问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝(　　) A．－　 　B．　 　C．　 　D．－ 课时分层作业(三)　空间向量的坐标与空间直角坐标系 47 D　[ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4)，则＝＝，解得k＝－，故选D.] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．(多选题)对于任意非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，以下说法错误的是(　　) A．若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 B.若a∥b，则＝＝ C．cos 〈a，b〉＝ D．若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 49 BD　[对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确； 对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，若a∥b，分式无意义，B选项错误； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos 〈a，b〉＝，C选项正确； 对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，此时，a不是单位向量，D选项错误．故选BD.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A． B．2 C． D．1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 51 A　[因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝， 因为ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0， 即2k|a|2＋(2－k)a·b－|b|2＝0，即4k－(2－k)－5＝0，解得k＝.故选A.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 √ 4．(教材P26练习B T3改编)已知向量a＝(－2，1，4)，b＝(－4，2，t)的夹角为锐角，则实数t的取值范围为(　　) A．(8，＋∞) B． C． D．∪(8，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 53 D　[夹角为锐角，则a·b＝8＋2＋4t>0，得t>－， 当a∥b时，＝＝，得t＝8，所以t的取值范围为∪(8，＋∞)．故选D.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 √ 5．(多选题)在四面体P-ABC中，P(0，0，3)，A(2，2，5)，B(1，3，2)，C(3，1，2)，则以下选项正确的有(　　) A．＝(－1，1，－3) B．||＝|| C．⊥ D．＝11 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 55 AB　[因为＝(－1，1，－3)，所以A选项正确；因为＝(－1，1，－3)，＝(1，－1，－3)，所以有||＝＝，||＝＝，因此B选项正确；因为＝(2，2，2)，＝(1，－1，－3)，所以有＝2－2－6＝－6≠0，因此C选项不正确；因为＝(－1，1，－3)，＝(1， －1，－3)，所以＝－1－1＋9＝7，因此D选项不正确．故选AB.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 二、填空题 6．已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，则a－b＋2c＝_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－4，3，3)　[因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)， 所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．] (－4，3，3)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 57 7．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则A，B两点间的距离为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[由两点间距离公式得 AB＝＝2.] 2　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 58 8．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则n＝__________，向量a与b的夹角为__________. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　　[依题意a·b＝1＋n＝3，解得n＝2， 所以a＝(1，0，1)，b＝(1，1，2)， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝， 由于〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为.] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 59 三、解答题 9．已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，d＝(－1，2，4)，a·b＝－1，b与c垂直，__________． 从①b·d＝2，②b·(a＋d)＝a·c，③|b|＝3这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并完成解答． (1)求|a＋2c＋d|； (2)求向量b的坐标． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 60 [解]　(1)因为a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，d＝(－1，2，4)， 所以a＋2c＋d＝(－1，3，4)，所以|a＋2c＋d|＝. (2)选择①.设b＝(x，y，z)， 由题意得即 解得所以b＝. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 选择②.设b＝(x，y，z)， 由题意得 即 解得所以b＝. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 选择③.设b＝(x，y，z)， 由题意得 即 解得或所以b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1， －2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 √ 10．(多选题)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，E，O为坐标原点，则下列说法正确的有(　　) A．|2a＋b|＝2 B．点E在直线AB上 C．⊥b D．∥(a＋b) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 64 BC　[2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a＋b|＝＝5，A错误；＝(1，－1，－2)，＝＝，所以点E在直线AB上，B正确； ·b＝＝0， 所以⊥b，C正确； a＋b＝(－1，－2，3)与＝(1，－1，－2)不平行，D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 √ 11．已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 66 C　[∵点Q在直线OP上运动，∴存在实数λ使得＝λ＝(λ，λ，2λ)，∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－，当且仅当λ＝时，取得最小值，此时Q.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 12．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10， 又a·c＝4，所以b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12， 所以cos 〈b，c〉＝＝－， 因为〈b，c〉∈[0，π]， 所以〈b，c〉＝.] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 68 13．空间中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，则m＝__________，此时|a－b|的值为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4 2 4　2　[因为b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)，所以b，c不共线，可以取为基底．若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面， 则存在实数x，y，使得a＝xb＋yc， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 69 即 解得 故m＝4，此时a＝(5，9，4)，b＝(1，－1，2)，所以a－b＝(5，9，4)－(1，－1，2)＝(4，10，2)， 所以|a－b|＝＝2.] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 14．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c. (2)求向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 71 [解]　(1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，解得x＝2，y＝－4， 此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)． 又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2)． (2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为 cos θ＝＝＝－. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 15．(源自北师大版教材例题)如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点． (1)求||； (2)求cos 〈〉的值； (3)求证：⊥. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 阅读材料 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 73 [解]　(1)如图，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)． 则＝(1，－1，1)，||＝＝. 74 (2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)． 因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 所以||＝＝， ||＝＝， ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3， cos 〈〉＝＝＝. 故cos 〈〉的值为. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 75 (3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M. 因为＝(－1，1，－2)，＝， 所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，即⊥. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 $