2.5.2 椭圆的几何性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，涵盖标准方程、对称性、范围、顶点、离心率等核心知识点。以维也纳金色大厅顶棚设计为情境导入，通过椭圆焦点声音反射的实际应用，衔接椭圆定义与标准方程，构建学习支架。 其亮点在于情境导学结合直观想象，表格对比焦点位置性质培养数学眼光，例题变式与分层练习发展逻辑推理和数学运算能力。课堂小结通过问题回顾梳理知识，学生提升探究能力，教师可借助丰富实例优化教学。

第二章 平面解析几何 2.5　椭圆及其方程 2.5.2　椭圆的几何性质 学习任务 1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确画出它的图形．(直观想象) 2．根据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆的方程研究它的性质、图形．(数学运算、逻辑推理) 2.5.2　椭圆的几何性质 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)，所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？ 必备知识·情境导学探新知 2.5.2　椭圆的几何性质 知识点1　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形     对称性 对称轴为_________，对称中心为_________ x轴和y轴 (0，0) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 范围 x∈__________，y∈__________ x∈__________，y∈__________ 顶点 ____________________________________________ ______________________________________________ 轴长 短轴|B1B2|＝____，长轴|A1A2|＝____ [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点 ______________________ ______________________ 焦距 |F1F2|＝___ 离心率 e＝(0<e<1) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 思考1．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？ [提示]　最大距离：a＋c；最小距离：a－c． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 知识点2　椭圆离心率e的几何意义 椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度． 当e越趋近于1时，c越趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁； 当e越趋近于0时，c越趋近于0，从而b＝越趋近于a，因此椭圆越接近于圆； 当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为x2＋y2＝a2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 思考2．或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ [提示]　或的大小能刻画椭圆的扁平程度． (1)当→1时，b→a，椭圆越圆；当→0时，b→0，椭圆越扁． (2)当→0时，c→0，此时b→a，椭圆越圆；当→＋∞时，b→0，此时c→a，椭圆越扁． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 1．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　) A．　 　　B．　　　C．　 　　D． A　[化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1， 所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3． 所以e＝．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 2．椭圆＝1的焦点坐标是_________________，顶点坐标是_____________________． 　(±3，0)，(0，±4)　[由方程＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7． 因此焦点坐标为，顶点坐标为(±3，0)，(0，±4)．] (±3，0)，(0，±4) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 3．经过点P(－3，0)，Q(0，－2)的椭圆的标准方程为__________． ＝1　[由题意知点P(－3，0)，Q(0，－2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点， 故椭圆的焦点在x轴上，且a＝3，b＝2， 故椭圆的标准方程为＝1．] ＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＝1的形状，则________更扁(填序号)． ①　[x2＋9y2＝36化为标准方程得＝1，故离心率e1＝；椭圆＝1的离心率e2＝．因为e1＞e2，所以①更扁．] ① 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用椭圆的标准方程研究其几何性质 【例1】　【链接教材P138例1】 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 2.5.2　椭圆的几何性质 [解]　把已知方程化成标准方程为＝1，所以a＝4，b＝3，c＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝， 两个焦点坐标分别是， 四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 【教材原题·P138例1】 【例1】　求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)＝1； (2)8x2＋3y2＝24． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 [解]　(1)由36>24可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2＝36，b2＝24，因此长轴长2a＝12，半短轴长b＝2． 又因为c2＝a2－b2＝36－24＝12，即c＝2．因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率e＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 (2)已知椭圆的方程可化为＝1， 由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝3，因此长轴长2a＝4，半短轴长b＝． 又因为c2＝a2－b2＝8－3＝5，即c＝．因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率e＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 反思领悟　(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 [跟进训练] 1．已知椭圆E：＝1(m＞10)的离心率为，则椭圆E的长轴长为(　　) A．　 　B．2　 　C．2　 　D．4 √ C　[因为椭圆E的方程为＝1(m＞10)， 所以a2＝m，b2＝10，c2＝a2－b2＝m－10， 又椭圆E的离心率为，所以，解得m＝15，所以a＝，所以椭圆E的长轴长为2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 类型2　利用几何性质求椭圆的标准方程 【例2】　在①离心率e＝，②椭圆C过点③△PF1F2面积的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并作答． 问题：设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知椭圆C的短轴长为2，_____________，求椭圆C的标准方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 [解]　由题设，2b＝2，即b＝． 若选①离心率e＝，则可得a＝2，则椭圆C的标准方程为＝1． 若选②椭圆C过点，则＝1，可得a2＝4，则椭圆C的标准方程为＝1． 若选③△PF1F2面积的最大值为，则可得a2＝4，则椭圆C的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 反思领悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： 提醒：在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 [跟进训练] 2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＋x2＝1 　 D．＋y2＝1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 C　[设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)． 因为短轴长为2， 所以2b＝2，解得b＝1． 因为离心率e＝，又a2＝b2＋c2＝1＋c2，所以a2＝5， 所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 类型3　求椭圆的离心率 【例3】　已知F1，F2是椭圆在x轴上的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率． [解]　设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)． 依题意设A点坐标为， 则B点坐标为，所以|AB|＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 由△ABF2是正三角形得2c＝， 即b2＝2ac． 又因为b2＝a2－c2，所以c2－2ac＝0， 两边同除以a2得＝0， 又0<e<1， 解得e＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 [母题探究] 1．(变条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”，如何求椭圆的离心率？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 [解]　设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)， 设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)， 则B点坐标为，因为B点在椭圆上，所以＝1， 解得，由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2， 即c4－8a2c2＋4a4＝0， 两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 2．(变条件)将“若△ABF2是正三角形”换成“且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率． [解]　设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)， F1(－c，0)，F2(c，0)， 由题意知A在椭圆上， 所以＝1，解得e＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 发现规律　求椭圆离心率及范围的方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝___求解．若已知a，b或b，c可借助a2＝______求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的________或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． b2＋c2 齐次方程 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 [跟进训练] 3．一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近(远)的一点称作近(远)地点，近(远)地点与地球表面的距离称为近(远)地点高度．已知某航天舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约是351 km，远地点高度大约是385 km，地球半径约6 400 km，则该轨道的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 A　[设椭圆的半长轴为a，半焦距为c． 则根据题意得a＋c＝385＋6 400，a－c＝351＋6 400， 解得a＝6 768，c＝17， 故该轨道即椭圆的离心率e＝，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．椭圆x2＋2y2＝1的焦点坐标是(　　) A．(±1，0)　　B．(0，±1) 　C． 　D． C　[因为椭圆x2＋2y2＝1的标准方程为x2＋＝1，所以a2＝1，b2＝， 所以c2＝a2－b2＝，所以c＝． 又椭圆x2＋2y2＝1的焦点在x轴上， 所以椭圆x2＋2y2＝1的焦点坐标是．] 2.5.2　椭圆的几何性质 2．与椭圆＝1有相同焦点，且满足半短轴长为 的椭圆方程是(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 A　[因为椭圆＝1的焦点坐标为， 所以所求椭圆的焦点坐标为，即c＝， 因为所求椭圆的半短轴长为2，所以b＝2， 所以a2＝b2＋c2＝20＋5＝25，所以所求椭圆的方程为＝1，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 3．已知椭圆C：＝1的焦距是2，则离心率e的值是(　　) A． 　 B．或 C．或 　 D．或 √ B　[因为椭圆C：＝1的焦距是2，所以c＝1． 当椭圆焦点在x轴上，m＝4＋1＝5，所以e＝； 当椭圆焦点在y轴上，4＝m＋1，所以e＝．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 4．已知以坐标原点为中心的椭圆，其右焦点为F(2，0)，给出下列四个条件：①半短轴长为2；②半长轴长为2；③离心率为；④一个顶点坐标为(3，0)，选择其中一个条件，可求得椭圆的标准方程为＝1的有________________________________(填序号)． ①(①或②或③其中一个都满足条件)　[只需保证a＝2，b＝2，c＝2即可，且椭圆的顶点坐标为(0，±2)，，故①或②或③可求得椭圆的标准方程为＝1．] ①(①或②或③其中一个都满足条件) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？ [提示]　椭圆的对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率等与位置无关；顶点坐标、焦点坐标等与位置有关． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 2．a，b，c对椭圆形状有何影响？ [提示]　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(二十)　椭圆的几何性质 一、选择题 1．已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆的标准方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 41 D　[直线2x＋y＋10＝0与x轴的交点为(－5，0)，直线2x＋y＋10＝0过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(－5，0)． 所以椭圆中a＝5，由椭圆的离心率为， 则c＝3，所以b＝4， 所以椭圆的标准方程为＝1．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(多选题)已知点(3，2)在椭圆＝1上，则下列各点一定在该椭圆上的点为(　　) A．(－3，－2) 　 B．(3，－2) C．(－3，2) 　 D．(2，3) √ ABC　[由椭圆的对称性可知，只有(2，3)不一定在椭圆上．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在y轴上，椭圆C的面积为2π，且短轴长为2，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋y2＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[因为椭圆C的焦点在y轴上，故可设其方程为＝1， 根据题意可得2，故可得a＝2，b＝，故所求椭圆的标准方程为＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a， 又|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝＝， ∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， ∴． 又e<1， ∴椭圆离心率的取值范围是 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的标准方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＋y2＝1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为离心率e＝，解得a2， A1，A2分别为C的左右顶点，则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b)． 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为＝－1， 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆的标准方程为＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，a＋b＝3，则椭圆C的标准方程为______________． ＋y2＝1　[因为e＝，b2＝a2－c2，所以a＝c，代入a＋b＝3，解得c＝，则a＝2，b＝1．故椭圆C的标准方程为＋y2＝1．] ＋y2＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________cm，离心率为________． 8　[由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为(cm)，则c2＝2－62＝12，所以c＝2，所以离心率e＝．] 8 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．若椭圆＝1(a＞b＞0)上存在一点P，使得∠F1PF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________． 　[由∠F1PF2＝90°，知点P在以线段F1F2(|F1F2|＝2c)为直径的圆上，又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有c≥b，即c2≥b2＝a2－c2，由此可得e2≥，故e∈ 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B． (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若，求椭圆的标准方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c． 所以a＝． (2)由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)． 其中，c＝，设B(x，y)． 由得，(c，－b)＝2(x－c，y)， 解得x＝，即B． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 将B点坐标代入＝1，得＝1， 即＝1， 解得a2＝3c2．① 又由＝(－c，－b)·，所以b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1．② 由①②解得c2＝1，a2＝3， 从而有b2＝2． 所以椭圆的标准方程为＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 10．(多选题)如图所示，假设某卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，结合图中的 轨道Ⅰ和轨道Ⅱ，下列式子正确的是(　　) A．a1＋c2＝a2＋c1 　 B．a1＋c1＝a2＋c2 C．a2c1>a1c2 　 D．a2c1<a1c2 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 56 AC　[由题图可知|PF|＝a1－c1＝a2－c2，所以a1＋c2＝a2＋c1； 又得a1－a2＝c1－c2，设a1－a2＝c1－c2＝t>0，则a1＝a2＋t，c1＝c2＋t，所以>， 所以>，即a2c1>a1c2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选题)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　　) A．C的离心率为 　 B．△PF1F2的周长为5 C．∠F1PF2＜90° 　 D．1≤|PF1|≤3 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 CD　[对于A，由椭圆方程知：a＝2，c＝＝1，∴离心率e＝A错误；对于B，由椭圆定义知：＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2， ∴△PF1F2的周长为4＋2＝6，B错误； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 对于C，当P为椭圆短轴端点时，tan ， ∴tan ∠F1PF2＝，∴∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°， ∴∠F1PF2＜90°，C正确； 对于D，∵|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，∴1≤|PF1|≤3，D正确．故选CD．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________． 　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，由消去y，得3x2－4x＝0． 所以A(0，－1)，B．所以|AB|＝＝4a－|AB|＝4．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知椭圆C：＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝________． 90°　[由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋a(k>0)， 与椭圆方程联立得消去y，整理得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0， 90°　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)·(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a． 因为直线交x轴的负半轴于点A，所以A．又F(c，0)， 所以＝(c，－a)，则＝0，故∠ABF＝90°．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点． (1)当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2是定值； (2)设点C满足的最大值为7，求λ的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由椭圆方程可得A(－4，0)，B(4，0)， 设P(x0，y0)． (1)证明：k1＝， 所以k1·k2＝－为定值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为，所以A，B，C三点共线，故设C(m，0)(－4＜m＜4)， 则|PC|＝ ＝ ＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 若m≥0，则|PC|max＝＝7，解得m＝3． 此时＝(7，0)，＝(1，0)，，由，得λ＝7； 同理，若m<0，可得m＝－3，此时求得λ＝． 故λ的值为7或． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 68 [解]　由＝1，得F1，F2， 设P(x0，y0)，则＝＝．所以．① 又＝1，所以，代入①， 所以－1，因为0≤≤9，所以0≤≤5，所以 －1≤≤4，所以∈[－1，4]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 2.5.2　椭圆的几何性质 $