第十章 微专题4 复数的模的最值问题的求解策略-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦复数的模的最值问题求解策略这一核心知识点，系统梳理了单点最值（如利用中垂线距离求最小值）、和差最值（如圆上点到两定点距离和的范围）、范围问题（如线段轨迹上点到定点距离范围）三类题型。通过例题解析与强化练习，构建从几何意义理解到综合应用的学习支架，帮助学生掌握复数模与复平面轨迹的关联。 该资料以数学眼光突出复数模的几何直观，通过复平面上点的轨迹（圆、中垂线、线段）分析最值，培养学生空间观念与抽象能力。例题设计注重数学思维的推理过程，如例2结合圆的性质推导距离和的范围，强化题融合代数运算与几何意义。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型题查漏补缺，提升用数学语言表达代数问题的能力。

微专题4　复数的模的最值问题的求解策略 类型1　复数的模的最值问题 【例1】　已知复数z满足＝，则的最小值是(　　) A．1 B． C． D．2 B　[由复数的模的几何意义知满足＝|z－(2＋2i)|的z对应的点Z在以点O(0，0)和A(2，2)为端点的线段的中垂线l上，OA的中点为B(1，1)，的最小值就是原点到直线l的距离， 即为＝，故选B．] 类型2　复数的模的和差最值问题 【例2】　已知复数z满足|z|＝3，则|z＋4|＋|z－4|的取值范围是________． [8，10]　[复数z满足|z|＝3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆， 则|z＋4|＋|z－4|表示圆上的点到(－4，0)与(4，0)的距离之和， 由图象可知，当点在E，G处最小，最小值为4＋4＝8． 当点在D，F处最大，最大值为2＝10， 则|z＋4|＋|z－4|的取值范围是[8，10]．] 类型3　复数的模的范围问题 【例3】　设复数z满足＝4，则的取值范围是________． 　[设复数z在复平面上的对应点为Z，复数1＋i在复平面上的对应点为P(1，1)，由＝4，可知点Z的轨迹为以A，B(0，－2)为端点的一条线段，又表示点Z到点的距离，观察图象可知当z＝i时，|z－1－i|取最小值，最小值为1，当z＝－2i时，|z－1－i|取最大值，最大值为， 所以的取值范围为．] 微专题强化练(四)　复数的模的最值问题的求解策略 一、选择题 1．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R，i为虚数单位)满足＝2，则的最小值为(　　) A．2 B．1 C． D．4 A　[因为＝2，所以复数z对应的点的轨迹是以(0，4)为圆心，2为半径的圆，所以|z|min＝4－2＝2．故选A．] 2．已知z为复数，且|z|＝1，则|z－3i|的取值范围是(　　) A．[2，3] B．[3，4] C．[2，4] D．[2，4] C　[(法一)在复平面内，复数z对应的点Z(a，b)的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，|z－3i|表示复平面内的点Z(a，b)与点M(0，3)之间的距离．因为点M(0，3)与原点O的距离|OM|＝3，所以|z－3i|的最小值是|ME|＝2，最大值是|MF|＝4，故|z－3i|的取值范围是[2，4]．故选C． (法二)因为复数z满足|z|＝1，不妨设z＝cos θ＋isinθ，θ∈R，则|z－3i|＝|cos θ＋i(sin θ－3)|＝＝．因为sin θ∈[－1，1]，所以∈[2，4]，所以|z－3i|的取值范围是[2，4]．故选C．] 3．已知z∈C且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是(　　) A．2－1 B．2＋1 C． D．2 A　[ 因为|z|＝1且z∈C，作图如图， 因为|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1．] 4．复数z满足|z－i|＝|z－1|，则|z＋1|的最小值为(　　) A． B．1 C． D． A　[设复数z在复平面上的对应点为P(a，b)，则|z－i|可表示为复平面上点P(a，b)到A(0，1)的距离，|z－1|可表示为复平面上点P(a，b)到B(1，0)的距离， 由题意可知，点P在线段AB的垂直平分线上，如图所示， 线段AB的中点为，直线AB的斜率kAB＝－1，则P的轨迹方程为y－＝x－， 整理可得x－y＝0，由|z＋1|可表示为点P(a，b)到C(－1，0)的距离d， 所以dmin＝＝．故选A．] 5．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　) A．3－2 B．－1 C．3＋2 D．＋1 D　[|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝ ＝ ＝＝＋1．] 二、填空题 6．若＝1，则的最大值与最小值的和为________． 2　[由几何意义可得，复数z表示以(－1，1)为圆心、半径为1的圆， 则∈，所以＋＝2．] 7．设a，b为实数，且ab≠0，虚数z为方程ax2＋bx＋a＝0的一个根，则|z－1－i|的最大值为________． ＋1　[因为虚数z为实系数方程ax2＋bx＋a＝0的一个根，所以也是方程的一个根． 所以z×＝＝1，设z＝x＋yi(x，y∈R)，在复平面内对应的点P的坐标为(x，y)， 由z×＝＝1，得(x＋yi)(x－yi)＝1，即x2＋y2＝1， 因此点P(x，y)在圆O：x2＋y2＝1上运动，圆心O的坐标为(0，0)，半径r＝1， 又|z－1－i|＝|(x－1)＋(y－1)i| ＝， 于是|z－1－i|可以看成是点P(x，y)到点A(1，1)的距离，显然点A(1，1)在圆O外， 所以|z－1－i|max＝|PA|max＝|AO|＋r＝＋1＝＋1．] 8．已知复数z满足2，则的取值范围是________． 　[由2，则z在复平面内对应的点Z是以为圆心，2为半径的圆及圆内部，所以表示Z到的距离，故其范围为．] 三、解答题 9．已知复数z＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位． (1)当|z|＝5，且a2＋2a－3＋(a2＋a－2)i是纯虚数，求a，b的值； (2)当|z|＝5时，求|z－1|的取值范围． [解]　(1)∵＝5，a2＋2a－3＋(a2＋a－2)i是纯虚数，∴∴a＝－3，b＝±4． (2)∵，∴a2＋b2＝25，如图，根据几何意义，可知46． ∴|z－1|的取值范围为[4，6]． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $