第十章 微专题3 复数中参数问题的解题方法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦复数中参数问题的解题方法这一核心知识点，系统梳理利用复数概念、复数相等条件、复数几何意义等类型的解题思路，通过典型例题解析与针对性强化练习，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料特色在于分类型精准突破，结合具体例题引导学生用数学思维分析参数问题，通过规范解题步骤培养数学语言表达能力，例题与练习紧密衔接助力课中教学效率提升，课后学生可通过练习巩固方法，有效查漏补缺。

微专题3　复数中参数问题的解题方法 类型1　利用复数的概念求参数 【例1】　设z1＝3＋i，z2＝1＋mi，若z1z2为纯虚数，则实数m＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 D　[因为z1＝3＋i，z2＝1＋mi， 所以z1z2＝(3＋i)(1＋mi)＝3＋3mi＋i＋mi2＝(3－m)＋(3m＋1)i， 因为z1z2为纯虚数， 所以3－m＝0且3m＋1≠0， 解得m＝3． 故选D．] 类型2　根据复数相等的条件求参数或复数 【例2】　已知i是虚数单位，设复数a＋bi＝，其中a，b∈R，则a＋b的值为________． －　[由a＋bi＝＝＝＝i， 则a＝，b＝－，a＋b＝＝－．] 类型3　根据复数的几何意义求复数所在象限 【例3】　已知a为实数，若复数z＝i为纯虚数(i为虚数单位)，则复数a－ai在复平面内对应的点位于第________象限． 四　[因为复数z＝i为纯虚数， 所以 解得a＝2，则a－ai＝2－2i． 所以2－2i对应的点坐标为，位于第四象限．] 类型4　根据复数的几何意义求参数或模的范围 【例4】　(多选)设i为虚数单位，复数z＝(a＋i)(1＋2i)，a∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若z为纯虚数，则a的值为2 B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是 C．“实数a＝－”是“z＝为z的共轭复数)”的充分不必要条件 D．若＝5，则实数a的值为±2 AD　[z＝＝i(a∈R)， 若z为纯虚数，则 解得a＝2，故A正确； 若z在复平面内对应的点在第三象限， 则 解得a<－，故B错误； 当a＝－时，z＝－，显然z＝，即i＝i，则2a＋1＝0，解得a＝－，所以“a＝－”是“z＝”的充要条件，故C错误； 若＝5，则＋＝25，即a2＝4，解得a＝±2，故D正确． 故选AD．] 微专题强化练(三)　复数中参数问题的解题方法 一、选择题 1．已知纯虚数z＝(1＋i)m2－(4＋i)m＋3，其中i为虚数单位，则实数m的值为(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．0 B　[因为z＝(1＋i)m2－(4＋i)m＋3为纯虚数，故z＝m2－4m＋3＋(m2－m)i，则 解得m＝3．故选B．] 2．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出公式eix＝cos x＋isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，当2kπ＋<θ2kπ＋(k∈Z)时，e2θi表示的复数所对应的点在复平面中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　[因为2kπ＋<θ2kπ＋(k∈Z)，所以4kπ＋π<2θ4kπ＋(k∈Z)， 所以cos 2θ<0，sin 2θ<0，所以e2θi＝cos 2θ＋isin2θ对应点位于复平面的第三象限．故选C．] 3．已知复数z满足|z|－z＝1＋i(i为虚数单位)，则z＝(　　) A．i B．－i C．1－i D．1＋i B　[令z＝a＋bi(a，b∈R)，因为|z|－z＝1＋i，所以－(a＋bi)＝1＋i，即－a－bi＝1＋i， 所以解得所以z＝－i，故选B．] 4．若z＝i(i是虚数单位，m∈R)对应的点在复平面内位于第四象限，则(　　) A．m<－1 B．m>1 C．－1<m<1 D．m<－1或m>1 C　[复数z＝i表示的点为，由题设知 解得－1<m<1． 故选C．] 5．当x∈时，复数z＝x＋i的模的最小值是(　　) A．2 B． C．10 D． B　[由题意得，＝＝，令y＝2(x－1)2＋2，x∈[－1，2]，当x＝1时，函数y有最小值，且ymin＝2，所以＝．故选B．] 二、填空题 6．设复数z＝a＋bi，其中a，b为实数，若(2－3i)a＝2＋bi，则＝________． 　[因为(2－3i)a＝2a－3ai＝2＋bi， 所以⇒ 即z＝1－3i， 所以＝＝．] 7．已知m∈R，若复数z＝m在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m的取值范围是________． 　[z＝3m－2＋i，由于z对应点在第三象限， 所以⇒m<．] 8．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝________． 　[由题意，方程另一根为1－2i， 所以 解得故m＋n＝2＋＝．] 三、解答题 9．已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sin θ＋(2cos θ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π]． (1)若z1，z2∈R且z1>z2，求t的值； (2)若z1＝z2，求θ． [解]　(1)因为z1，z2∈R，所以 解得t＝±1，cos θ＝－， 因为θ∈[0，π]，所以z2＝sin θ＝＝． 当t＝－1时，z1<z2，不符合条件； 当t＝1时，满足z1>z2． 综上，t＝1． (2)若z1＝z2，则 所以sin2θ－1＝2cosθ＋1，即－cos2θ＝2cosθ＋1， 所以cos2θ＋2cosθ＋1＝0，即(cos θ＋1)2＝0，解得cos θ＝－1， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $