第十章 复数 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

该高中数学复数单元复习讲义按“概念-运算-几何意义-思想方法”逻辑构建知识体系，通过“类型+例题”形式梳理脉络，明确复数概念的实虚部辨析、四则运算的法则应用、几何意义的坐标对应等重难点，体现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与思想方法渗透，如例1通过复数分类问题培养数学思维，章末测评含单选、多选等题型适配不同学生。强调“复数问题实数化”等方法，助力学生提升运算能力与转化意识，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

类型1　复数的概念 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 【例1】　设复数z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i．试求当实数m取何值时： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； (3)z对应的点在直线x＋y＝0上； (4)|z|＝0； (5)＝－3＋i． [解]　z＝(1＋i)m2－(2＋4i)m－3＋3i＝(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)i． (1)因为z是实数，所以m2－4m＋3＝0， 解得m＝1或m＝3． (2)因为z是纯虚数， 所以 解得m＝－1． (3)由于z对应的点在直线x＋y＝0上， 所以(m2－2m－3)＋(m2－4m＋3)＝0， 解得m＝0或m＝3． (4)因为|z|＝0，所以z＝0，因此 解得m＝3． (5)因为＝－3＋i，所以z＝－3－i， 因此 解得m＝2． 类型2　复数的四则运算 进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． ①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)． ②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2． (2)复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 【例2】　(1)已知是z的共轭复数，若z×i＋2＝2z，则z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i (2)(多选)已知复数z的共轭复数是，(1－i)z＝1＋i，i是虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A．z2 024＝4 B．z×的虚部是0 C．＝ D．z×＋2z在复平面内对应的点在第四象限 (1)A　(2)BC　[(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z×i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)， 即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi， 由复数相等的条件得 所以 所以z＝1＋i． (2)由题意z＝＝i，＝－i，z2 024＝i2 024＝1，A错误；z×＝1，虚部是0，B正确；＝|1＋2i|＝，C正确；z×＋2z＝1＋2i，在复平面内的对应点为(1，2)，在第一象限，D错误．] 类型3　复数的几何意义 【例3】　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　) A．(0，－1) B．(0，1) C． D． (1)B　(2)A　[(1)复数i， 所以复数对应点的坐标是， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B． (2)因为＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．] 类型4　函数与方程思想 一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法． 【例4】　设关于x的方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0． (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意的θ≠2kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根． [解]　(1)设实数根是a， 则a2－(tan θ＋i)a－(2＋i)＝0， 即a2－a tan θ－2－(a＋1)i＝0． ∵a，tan θ∈R， ∴a2－a tan θ－2＝0，且a＋1＝0， ∴a＝－1，且tan θ＝1， ∵θ∈， ∴θ＝． ∴锐角θ为，实数根为－1． (2)证明：设方程存在纯虚数根为bi(b∈R，且b≠0)， 则(bi)2－(tan θ＋i)bi－(2＋i)＝0， 即此方程组无实数解， ∴对任意的θ≠2kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根． 章末综合测评(二)　复数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a，b∈R，若z1＝与z2＝b－3i是共轭复数，则a＝(　　) A．－7 B．－4 C．2 D．5 A　[z1＝＝＝， 又z1与z2＝b－3i是共轭复数， 所以＝－3，所以a＝－7． 故选A．] 2．已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 C　[若z＝－1－i，则|z|＝＝．故选C．] 3．已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　) A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i C　[∵z＝2－i，∴＋i＝2＋2i． ∴z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋2i－2i2＝6＋2i．] 4．已知复数z＝的模为2，则实数m＝(　　) A．－2 B．－4 C．－2或2 D．－4或4 D　[复数z＝＝＝i， 因为复数z的模为2，可得＝2，解得m＝±4．故选D．] 5．已知复数z满足z(2＋i7)＝3i27＋4i28，则在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[由z(2＋i7)＝3i27＋4i28，得z(2－i)＝4－3i， 所以z＝＝＝i， 所以＝i， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选A．] 6．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0，2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故“a＝1，b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．故选A．] 7．已知复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，－1) B．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－2) A　[因为复数z＝(m＋2)＋(m＋1)i在复平面内对应的点在第四象限， 所以解得－2<m<－1， 所以实数m的取值范围为(－2，－1)．故选A．] 8．若复数z满足|z＋3－4i|＝2，则z的最大值为(　　) A．9 B．81 C．7 D．49 D　[由|z＋3－4i|＝2，得复数z在复平面内对应点的集合图形如图，∴|z|max＝7，则z＝|z|2的最大值为49．故选D． ] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知z＝i，则以下关系成立的是(　　) A．z3＝－1 B．z2＝－ C．＝ D．z2－z＋1＝0 ABD　[因为z＝i，所以z2＝＝＋2×i＋i2＝－i， 所以z3＝＝－＝－1，A正确； 因为，B正确； ＝＝i，C不正确； z2－z＋1＝－i－＋1＝0，D正确．故选ABD．] 10．已知z为复数，设z，iz，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则(　　) A．||＝|| B．⊥ C．||＝|| D．∥ AB　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则iz＝－b＋ai，＝a－bi，则A(a，b)，B(－b，a)，C(a，－b)． 选项A，＝(a，b)，＝(－b，a)，则||＝||＝，故A正确； 选项B，·＝a×(－b)＋ab＝0，则⊥，故B正确； 选项C，＝(－b－a，a－b)，＝(0，－2b)， 则||＝＝， ||＝2|b|，则||＝||不一定成立，故C错误； 选项D，＝(－b－a，a－b)，＝(a，－b)， 又(－b－a)(－b)－a(a－b)＝b(b＋2a)－a2， 则∥不一定成立，故D错误． 故选AB．] 11．若z1，z2∈C，则下列结论正确的是(　　) A．|z1z2|＝|z1||z2| B．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2或z1＝－z2 C．＝ D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 ACD　[对于A，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i， 所以|z1z2|＝ ＝， 又|z1||z2|＝ ＝， 所以|z1z2|＝|z1||z2|，故A正确； 对于B，设z1＝1＋i，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，此时z1≠z2且z1＋z2≠0，故B错误； 对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i， 所以＝，故C正确； 对于D，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，故D正确．故选ACD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知z＝，则z＋＝________． 0　[由题意可得z＝＝＝i，则＝－i， 所以z＋＝i－i＝0．] 13．若＝x＋yi(a，x，y∈R)，且xy>1，则实数a的取值范围是________． (－∞，－2)∪(2，＋∞)　[因为＝x＋yi(a，x，y∈R)，所以2＋ai＝x－y＋(x＋y)i， 所以解得x＝，y＝， 因为xy>1，所以>1， 解得a<－2或a>2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．] 14．已知复数2－i在复平面内对应的点为P，复数z满足|z－i|＝1，则P与z对应的点Z间的距离的最大值为________． 2＋1　[由题意，复数z在复平面内的对应点是以i在复平面内的对应点为圆心，1为半径的圆，又|2－i－i|＝|2－2i|＝＝2，所以＝2＋1．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在①|z|＝，且z2的虚部是2；②z＝；③＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作出解答． 已知i为虚数单位，复数z满足________，设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解]　选①：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2，且2ab＝2，解得a＝b＝1，或a＝b＝－1，所以z＝1＋i，或z＝－1－i． 当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1． 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1． 综上，△ABC的面积为1． 选②：z＝＝＝1＋i，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1． 选③：＝＝＝1－i， 故z＝1＋i，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1． 16．(15分)已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i． (1)求z1＋； (2)在复平面内，O为原点，复数z1，z2，z分别对应向量，且与共线，|z|＝2|z1－z2|，求z． [解]　(1)z1＋＝1＋2i＋＝1＋2i＋＝i． (2)由题可得，A(1，2)，B(2，－1)，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则C(a，b)， 所以＝(a，b)，＝(1，－3)，因为与共线，所以3a＋b＝0，① 又因为z1－z2＝－1＋3i，且|z|＝2|z1－z2|， 所以＝2，即a2＋b2＝40，② 联立①②解得或 所以z＝2－6i或z＝－2＋6i． 17．(15分)已知复数z＝2－ai(a∈R，i为虚数单位)． (1)若(1－2i)z为纯虚数，求复数z； (2)若ω＝，且复数ω在复平面内所对应的点位于第一象限，求a的取值范围． [解]　(1)因为复数z＝2－ai(a∈R)， 所以(1－2i)z＝(1－2i)(2－ai)＝2－2a－(a＋4)i， 因为(1－2i)z为纯虚数， 所以解得a＝1，所以z＝2－i． (2)因为ω＝＝＝＝＝i，所以复数ω在复平面内所对应的点的坐标为， 因为复数ω在复平面内所对应的点位于第一象限， 所以解得a<－， 所以a的取值范围为． 18．(17分)已知复数z＝是关于x的实系数一元二次方程mx2＋nx＋1＝0(m，n∈R)的一个根． (1)求m和n的值； (2)若z1＝(a－2i)z，a∈R，z1为纯虚数，求|a＋2i|的值． [解]　(1)∵z＝＝i＝i是一元二次方程mx2＋nx＋1＝0的一个根，∴－i是一元二次方程mx2＋nx＋1＝0的另一个根， ∴＝＝1，则m＝1； ＝－，得n＝1． ∴m＝n＝1． (2)z1＝(a－2i)z＝(a－2i)＝i为纯虚数， 则即a＝－2． ∴|a＋2i|＝|－2＋2i|＝＝4． 19．(17分)已知复数z1＝2sin θ－i，z2＝1＋(2cos θ)i，θ∈． (1)若z1z2为实数，求θ的值； (2)设复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为a，b，若(2a－b)⊥(a－2b)，求cos 的值． [解]　(1)因为z1＝2sin θ－i，z2＝1＋(2cos θ)i， 所以z1z2＝(2sin θ－i)[1＋(2cos θ)i]＝(2sin θ＋2cos θ)＋(4sin θcos θ－)i， 又z1z2为实数， 所以4sin θcos θ－＝0，即sin 2θ＝， 又因为θ∈， 所以2θ∈， 所以2θ＝，则θ＝． (2)由题意可得，a＝(2sin θ，－)，b＝(1，2cos θ)， 因为(2a－b)⊥(a－2b)， 所以(2a－b)·(a－2b)＝2a2＋2b2－5a·b＝0， 即2(4sin2θ＋3)＋2(1＋4cos2θ)－5(2sinθ－2cos θ)＝0， 化简可得sin θ－cos θ＝， 所以sin ＝， 又因为θ∈，则θ－∈， 所以cos ＝＝． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 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