第九章 微专题2 三角形形状的判断方法-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦三角形形状的判断方法，系统梳理从边（利用边长关系判断直角、锐角、钝角及等腰等边三角形）和角（通过三角函数值判断角的类型）两个转化方向，结合例题与练习构建从理论到应用的学习支架。 资料亮点在于分类清晰的判断思路与梯度化例题练习设计，通过边与角的转化训练数学思维的逻辑性，如例1转化角用正弦定理推理、例2转化边用余弦定理计算，培养数学语言表达能力，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固不同类型问题解法，查漏补缺。

微专题2　三角形形状的判断方法 判断三角形形状的思路 1．转化为三角形的边来判断 (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2． (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2． (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2． (4)按等腰或等边三角形的定义判断． 2．转化为角的三角函数(值)来判断 (1)若cos A＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形． (2)若cos A<0，则△ABC为钝角三角形． (3)若cos A>0且cos B>0且cos C>0，则△ABC为锐角三角形． (4)若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形． (5)若sinA＝sin B或sin (A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形． (6)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形． 在具体判断的过程中，应注意灵活应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定． 类型1　转化为角判断 【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a－b＝2a sin2，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 B　[a－b＝2a sin2＝2a×＝a－a cos C，故b＝a cos C， 由正弦定理得sin B＝sin A cos C， 其中sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 即sin A cos C＋cos A sin C＝sin A cos C， 故cos A sin C＝0， 因为C∈(0，π)， 所以sin C≠0， 故cos A＝0， 因为A∈(0，π)，所以A＝， 所以△ABC的形状为直角三角形．故选B．] 类型2　转化为边判断 【例2】　一个三角形的三条高的长度分别是，则该三角形(　　) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 C　[设这个三角形面积为S，三边长分别为a，b，c，依题意，S＝a·＝b·＝c·， 所以a＝12S，b＝20S，c＝28S，显然a<b<c，即边c所对角α是最大角， 由余弦定理得cos α＝ ＝＝－<0，则α是钝角， 所以该三角形一定是钝角三角形． 故选C．] 类型3　根据三角形的形状求参数范围 【例3】　已知三角形的三边长分别为3，4，x，若该三角形是钝角三角形，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[由题意可得，当4是最大边时，4所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零， 则解得1<x<； 当x是最大边时，x所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零， 则解得5<x<7． 综上可得，x的取值范围是，故选D．] 微专题强化练(二)　三角形形状的判断方法 一、选择题 1．在△ABC中，若sin2A＝sin2C－sin2B，AB＝2(BC－AC cosC)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．有一个内角为60°的直角三角形 D　[由sin2A＝sin2C－sin2B以及正弦定理得BC2＝AB2－AC2，即BC2＋AC2＝AB2，则BC⊥AC，C＝90°，cosC＝0，又AB＝2(BC－AC cos C)， 所以AB＝2BC，cos B＝＝，B＝60°，即△ABC的形状为有一个内角为60°的直角三角形．故选D．] 2．在△ABC中，若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2＝，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 B　[在△ABC中，由已知cos2＝， 得＝，所以cos A＝， 所以＝， 所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2， 因此△ABC是直角三角形．] 3．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B　[由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sinA＝，sin B＝，sin C＝， 所以－＝，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2． 所以△ABC是直角三角形．] 4．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a＋b－c)(b＋c＋a)＝3ab，且sin C＝2sin B cos A，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 C　[由(a＋b－c)(b＋c＋a)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，整理得a2＋b2－c2＝ab， 则cos C＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝， 又由sin C＝2sin B cos A及正弦定理得， c＝2b·，化简得a＝b，所以△ABC为等边三角形．故选C．] 5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2－a2＋b2＝(4ac－2bc)cos A，则(　　) A．△ABC一定为直角三角形 B．△ABC可能为等腰三角形 C．角A可能为直角 D．角A可能为钝角 BC　[由余弦定理可得2bc cos A＝(4ac－2bc)cos A， 化简可得b cos A＝(2a－b)cos A． 当cos A＝0时，A＝90°，此时△ABC为直角三角形；当cos A≠0时，可得b＝2a－b，即a＝b，此时△ABC为等腰三角形． 故选BC．] 二、填空题 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状是________． 等腰三角形　[根据正弦定理，边化角，得到sin A cos B＝sin B cos A，整理为sin ＝0，得到A－B＝0，即A＝B， 所以△ABC是等腰三角形．] 7．在△ABC中，若b cos B－a cos A＝0，且b cos A－a cos B≠0，则△ABC的形状是________． 直角三角形　[∵b cos B－a cos A＝0， ∴sin B cos B－sin A cos A＝0， ∴sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或A＋B＝． ∵b cos A－a cos B≠0， ∴sin B cos A－cos B sin A≠0， ∴sin ≠0， ∴A≠B，∴A＋B＝， ∴△ABC为直角三角形．] 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a cos B＋b cos A＝2c cos C，且sin A＝sin B，则△ABC的形状是 ________． 等边三角形　[根据条件a cos B＋b cos A＝2c cos C，利用正弦定理可得sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C，整理得sin (A＋B)＝sin C＝2sin C cos C，又0<C<π，则sin C≠0，化简得cos C＝，故C＝． 在△ABC中，由于sin A＝sin B，所以A＝B(不可能A＋B＝π)，故A＝B＝C＝． 所以△ABC为等边三角形．] 三、解答题 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝． (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． [解]　(1)由＝整理可得bc＝b2＋c2－a2， 由余弦定理可得cos A＝＝＝，又0<A<π，∴A＝． (2)证明：由b－c＝a及正弦定理，可得sin B－sin C＝sin A＝， ∴sin B－sin ＝sin B－cos B－sin B＝sin B－cos B＝sin ＝， ∵B∈， ∴B－∈， ∴B－＝， ∴B＝，即△ABC是直角三角形． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $