第九章 解三角形 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

该高中数学讲义以正弦、余弦定理的应用为核心，通过知识框架图系统梳理解三角形的三类问题，即利用定理求解、判断形状、实际应用，明确各类问题的一般方法和注意事项，突出画图标注、避免增解漏解等重难点。 讲义亮点在于“条件开放型例题”设计，如例1提供两个条件选做求角C，引导学生用数学思维分析不同解法的逻辑，结合海上拦截实际应用题培养数学眼光和建模能力。综合测评分层设题，基础题巩固方法，难题提升探究能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可明确薄弱点。

类型1　利用正弦、余弦定理解三角形 1．利用正弦、余弦定理解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b． (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．也可由a2＝b2＋c2－2bc cos A求出c，再结合正弦定理或余弦定理求另外的角． (4)已知三边a，b，c可应用余弦定理求A，B，C． 2．解三角形的注意事项 (1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求． (2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用． (3)注意对三角形内角和定理、大边对大角等性质的应用，避免增解或漏解． (4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中，利用正、余弦定理求解． 【例1】　在①a2＋b2－ab＝3，②2c cos C＝a cos B＋b cos A这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，且________． (1)求角C； (2)求△ABC面积的取值范围． [解]　(1)若选①，∵a2＋b2－ab＝3，c＝， ∴a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝＝， ∵C∈，∴C＝． 若选②，∵2c cos C＝a cos B＋b cos A， ∴2sin C cos C＝sin A cos B＋sin B cos A， ∴2sin C cos C＝sin (A＋B)＝sin C， 又sin C≠0， ∴cos C＝，∵C∈，∴C＝． (2)由正弦定理知＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B， ∴S＝ab sin C＝sin A sin B， ∵A＋B＋C＝π， ∴sin B＝sin (A＋C)＝sin ， ∴△ABC的面积S＝sin A sin ＝sin A ＝sin2A＋sinA cos A ＝sin 2A－cos 2A＋ ＝sin ， ∵0<A<，0<B＝－A<， ∴<A<， ∴<2A－<， ∴sin ∈， ∴S∈． ∴△ABC面积的取值范围为． 类型2　利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 判断三角形形状的常用方法及思考方向 (1)方法：①化边为角；②化角为边．如：在△ABC中，已知＝，判断其形状，可利用余弦定理将cos A，cos B转化为边，也可利用正弦定理将转化为来解． (2)思考方向：①是否两边(或两角)相等；②是否三边(或三角)相等；③是否有直角、钝角． 【例2】　已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，AD是BC边上的中线，设∠BAD＝α，且α＋C＝90°． (1)试判断△ABC的形状； (2)若b＝8，c＝6，试求∠ADC的余弦值． [思路引导]　(1)由正弦定理、三角恒等变换化简即可得到sin 2B＝sin 2C，结合B，C∈，从而可知B，C相等或互余，由此即可得解． (2)首先判断△ABC的形状是直角三角形，然后结合勾股定理、余弦定理计算即可求解． [解]　(1)设∠CAD＝β，因为α＋C＝90°，所以β＋B＝90°， 在△ABC中，AD是BC边上的中线，所以BD＝DC， 在△ABD中，由正弦定理及诱导公式可得＝＝， 在△ACD中，由正弦定理及诱导公式可得＝＝， 所以＝，即sin 2B＝sin 2C， 在△ABC中，0<B<90°，0<C<90°，所以B＝C或B＋C＝90°， 因此△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形． (2)因为b＝8，c＝6，所以B≠C， 由(1)可知△ABC的形状是直角三角形，且A＝90°， 所以a2＝b2＋c2＝100， 所以AD＝BD＝DC＝5， 在△ADC中，由余弦定理可得， cos ∠ADC＝＝＝－． 所以∠ADC的余弦值为－． 类型3　正弦、余弦定理在实际问题中的应用 应用解三角形知识解决实际问题的“四部曲” (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语． (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图中标出． (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解． (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【例3】　如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进．红方侦察艇以每小 时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截成功，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． [思路引导]　假设经过x小时后红方侦察艇在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解． [解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°．根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x cos 120°， 解得x＝2． 故AC＝28海里，BC＝20海里． 根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝． 故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为． 章末综合测评(一)　解三角形 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，B＝，a＝4，则b＝　(　　) A． B． C．2 D．2 C　[因为＝，所以b＝＝＝2．] 2．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝(　　) A．± B． C．－ D． A　[因为＝，所以＝，解得sin B＝．因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cos B＝±．] 3．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形 C　[由题知B为最大角， 设边BC，AC，AB分别为a，b，c． cos B＝＝－<0， 所以B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．] 4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则A的对边的长为(　　) A． B． C． D． D　[因为S△ABC＝bc sin A＝，A＝60°，b＝1，所以c＝4．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝13， 所以a＝．] 5．在△ABC中，A＝，AB边上的高等于AB，则sin C＝(　　) A． B． C． D． D　[如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE＝AB， 因为A＝，所以AE＝ ＝AB，AC＝＝AB， BE＝AB－AE＝AB， BC＝ ＝＝AB， 在△ABC中，由正弦定理可得＝， 即sin ∠BCA＝＝＝． 故选D．] 6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． C　[因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得 sin A sin C＝sin2B＝． 由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－ac＝ac， 即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝， 所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝， 因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0， 则sin A＋sin C＝． 故选C．] 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a cos B sin C＋2b cos A sin C＝c2，则△ABC外接圆的面积是(　　) A． B． C． D．π D　[因为2a cos B sin C＋2b cos A sin C＝c2， 所以2sin A cos B sin C＋2sin B cos A sin C＝c sin C， 因为sin C≠0，且A＋B＋C＝π， 所以2sin (A＋B)＝2sin C＝c， 所以＝2＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，解得R＝1，所以△ABC外接圆的面积是πR2＝π． 故选D．] 8．如图是《易经》中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为10 m，阴阳太极图的半径为4 m，则每块八卦田的面积约为(　　) A．114 m2 B．57 m2 C．54 m2 D．48 m2 C　[如图所示，设OA＝OB＝a m． 由题意可知∠AOB＝＝， 由余弦定理得100＝a2＋a2－2×a×a×， 解得a2＝50(2＋)． 所以S△AOB＝a2sin ＝25(＋1)(m2)，所以每块八卦田的面积S＝25(＋1)－π×42＝25(＋1)－2π≈54(m2)．故选C．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b－2a＋4a sin2＝0，则下列结论正确的是(　　) A．角C一定为锐角 B．a2＋2b2－c2＝0 C．3tanA＋tan C＝0 D．tan B的最大值为 BCD　[b－2a＋4a sin2＝0可化为b－2a cos(A＋B)＝0，即b＋2a cos C＝0，则cos C<0，故C为钝角，故A错误； 又b＋2a×＝0，整理得到a2＋2b2－c2＝0，故B正确； 又b＋2a cos C＝0可化为sin (A＋C)＋2sin A cos C＝0， 所以3sin A cos C＋cos A sin C＝0， 即3tan A＋tan C＝0，故C正确； 又tan B＝－tan (A＋C)＝ ＝， 因为C为钝角，故A为锐角，故tanB＝＝，当且仅当tan A＝时，等号成立，故D正确．故选BCD．] 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　) A．cos C＝ B．sin B＝ C．a＝3 D．S△ABC＝ AD　[因为A＋3C＝π，所以B＝2C，根据正弦定理可得＝，即2sin C＝6sin C cos C，因为sin C≠0，故cos C＝，sin C＝，sin B＝sin 2C＝2sin C cos C＝． c2＝a2＋b2－2ab cos C，化简得a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1．若a＝3，此时A＝C＝，B＝，不满足题意，故a＝1． 所以S△ABC＝ab sin C＝×1×2＝．故选AD．] 11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝．现有△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且S△ABC＝6，请运用上述公式判断下列命题正确的是(　　) A．△ABC周长为5＋ B．C＝ C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC中线CD的长为 BCD　[A选项，由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝2∶3∶，设a＝2k(k>0)，则b＝3k，c＝k， 所以6＝， 解得k＝2，则a＝4，b＝6，c＝2， 所以△ABC的周长为10＋2，A错误； B选项，由三角形面积公式得ab sin C＝12sin C＝6，解得sin C＝， 因为b>c，所以B>C，故角C为锐角，所以C＝，B正确； C选项，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理得2R＝＝＝， 所以R＝，C正确； D选项，由题意得AD＝BD＝，由余弦定理得cos ∠ADC＝＝， cos ∠BDC＝＝， 因为∠ADC＋∠BDC＝π， 所以cos ∠ADC＋cos ∠BDC＝0， 故＝0， 解得CD＝， 所以△ABC中线CD的长为，D正确． 故选BCD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是边BC上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB＝________． 5　[在△ADC中，cos C＝＝＝， 所以sin C＝＝， 在△ABC中，＝，即＝， 所以AB＝5．] 13．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里写道：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里、14里、15里，假设1里按0.5 km计算，则该沙田的面积为________km2． 21　[设在△ABC中，BC＝13里，AC＝14里，AB＝15里， 所以cos C＝＝，所以sin C＝，故△ABC的面积为×13×14××0.52＝21(km2)．] 14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知条件：①a＝7，b＝8，A＝30°；②a＝13，b＝26，A＝60°．由条件①与条件②分别计算得到角B的解的个数为m，n，且正数x，y满足mx＋ny＝3，则的最小值为________． 　[①由正弦定理＝，得sin B＝＝>，故满足条件的角B有两个，一个钝角一个锐角，角B有两个解；②由正弦定理＝，得sin B＝＝1，所以B＝，只有一个解，故m＝2，n＝1，2x＋y＝3． ＝(2x＋y)＝(4＋4)＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取到等号，所以的最小值为．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2． (1)求bc； (2)若＝1，求△ABC的面积． [解]　(1)因为a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1． (2)由正弦定理可得 ＝ ＝＝＝1， 变形可得sin (A－B)－sin (A＋B)＝sin B， 即－2cos A sin B＝sin B， 而0＜sin B1，所以cos A＝－， 又0＜A＜π，所以sin A＝， 故S△ABC＝bc sin A＝×1×＝． 所以△ABC的面积为． 16．(15分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin B＋a sin A＝b sin A＋c sin C． (1)求角C； (2)若c＝2，求a＋b的取值范围． [解]　(1)因为b sin B＋a sin A＝b sin A＋c sin C， 又由正弦定理＝＝，得b2＋a2＝ab＋c2， 所以由余弦定理得cos C＝＝， 又C∈(0，π)，所以C＝． (2)因为c＝2，C＝，由余弦定理可得cos C＝＝， 可得(a＋b)2－2ab－12＝ab，所以(a＋b)2－12＝3ab312， 可得0<a＋b4，当且仅当a＝b时取等号， 又由三角形三边关系得a＋b>c＝2， 所以a＋b的取值范围是(2，4]． 17．(15分)已知在△ABC中，c＝2b cos B，C＝． (1)求B的大小； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度． ①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝ ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解]　(1)由正弦定理及题意，得sin C＝2sin B cos B＝sin 2B，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π．故B＝A＝． (2)由(1)知，c＝b，故不能选①． 选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1． 从而BC＝AC＝2，AB＝2，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得 cos B＝＝＝， 解得AD＝． 所以BC边上的中线的长度为． 选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故 S△ABC＝·(2x)·(2x)·sin ＝x2＝， 解得x＝，即BC＝AC＝，AB＝3，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得 cos B＝＝＝，解得AD＝． 所以BC边上的中线的长度为． 18．(17分)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＋B＝C，a＋c＝2b． (1)求sin A； (2)若△ABC的面积为，求AB边上的高． [解]　(1)因为A＋B＝C，在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C＝， 因为a＋c＝2b，由正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B，即sin A＋＝2sin ， 化简得2sin A－cos A＝－，① 又因为sin2A＋cos2A＝1，② 由①可得cosA＝sin A＋， 代入②式得sin2A＋sinA－＝0， 解得sin A＝或sin A＝－，因为A∈(0，π)，所以sin A＝． (2)因为△ABC的面积为， 所以S△ABC＝bc sin A＝，得bc＝35，③ 由余弦定理知cos C＝＝－， 因为a＋c＝2b，所以a＝2b－c， 所以＝－，④ 所以由③④解得，b＝5，c＝7． 设AB边上的高为h，所以S△ABC＝ch＝， 即×7h＝，解得h＝． 所以AB边上的高为． 19．(17分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c sin2＋b cos＝c． (1)求角C的大小； (2)若B＝，BC＝2，点O为线段BC的中点，点M，N分别在线段AB和AC上，满足OM⊥ON，求△OMN面积的最小值． [解]　(1)因为2c sin2＋b cos＝c， 所以b cos ＝c， 即b cos＝cos ·c＝c sin B， 由正弦定理，可得sin B cos ＝sin C sin B， 因为B，C∈(0，π)， 可得0<<且sin B>0，cos >0， 所以cos ＝sin C，则cos ＝2sin cos ， 所以sin ＝， 因为∈，所以＝，则C＝． (2)依题意，AB＝2，设∠BOM＝α， 在Rt△BOM中，cos α＝＝， ∴OM＝， 在△NOC中，∠NOC＝－α， ∠ONC＝π－＝α＋， 由＝，得ON＝， 所以S△OMN＝OM·ON＝， 令t＝4cos α·sin ，则t＝2sin αcos α＋2cos2α＝sin2α＋cos 2α＋1＝2sin ＋1， 其中0α∠AOB<，tan ∠AOB＝2， 所以当2α＋＝，即α＝时，tmax＝3， 所以△OMN面积的最小值为． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $