11.1.4 棱锥与棱台-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦棱锥与棱台的概念、基本特征及表面积计算，从多面体知识出发，通过定义解析、性质辨析、例题精讲构建知识体系，提供概念表格、思考辨析题、典型例题等学习支架。 资料以生活实例引入培养直观想象，结合教材原题设计例题提升数学运算能力，母题探究与分层作业助力课中教学实施，课后学生可通过练习查漏补缺，强化知识应用。

11.1.4　棱锥与棱台 1．了解棱锥、棱台的概念和基本特征．(直观想象) 2．了解棱锥与棱台的表面积公式和计算方法．(数学运算) 3．能够选择合理的方法，求解棱锥、棱台的表面积．(数学运算) 在日常生活中，我们会见到很多呈棱锥形的物体． 思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？ 知识点1　棱锥的有关概念 1．棱锥 定义 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥 图示及相关概念 底面：是多边形的那个面 侧面：有公共顶点的各三角形 顶点：各侧面的公共顶点 侧棱：相邻两侧面的公共边 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度) 侧面积：所有侧面的面积之和 棱锥的分类 依据底面的形状分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 2．正棱锥及有关概念 (1)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥． (2)侧面性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形． (3)正棱锥的斜高：侧面等腰三角形底边上的高． 知识点2　棱台的有关概念 1．棱台 定义 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 图示及相关概念 下底面：原棱锥的底面 上底面：截面 侧面：其余各面 侧棱：相邻两侧面的公共边 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 侧面积：所有侧面的面积之和 棱台的分类 依据底面的形状分类：三棱台、四棱台、五棱台…… (1)棱台的各侧棱的延长线交于一点． (2)棱台的各侧面均为梯形． (3)棱台的上、下底面互相平行，且是两个相似的多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方． 2．正棱台及有关概念 (1)正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台． (2)正棱台的高：上、下底面中心的连线． (3)侧面性质：正棱台的侧面都全等，而且都是等腰梯形． (4)正棱台的斜高：侧面等腰梯形的高． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱锥的各侧棱长都相等． (　　) (2)用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台． (　　) (3)有两个面平行，且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)棱锥的各侧棱长可以相等，也可以不相等． (2)只有用一平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，才能一个是棱锥，一个是棱台． (3)未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体，截面与底面之间的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台． 2．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[每个面都可作为底面，有4个．] 3．下面各图形所表示的几何体中，不是棱锥的为(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D A　[A不符合棱锥定义，不是棱锥，B为四棱锥，C，D均为五棱锥．] 类型1　棱锥及其有关概念 【例1】　(1)已知正三棱锥P-ABC，底面ABC的中心为点O，给出下列结论： ①PO⊥底面ABC； ②棱长都相等； ③侧面是全等的等腰三角形． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ (2)一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是(　　) A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 (1)B　(2)D　[(1)根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等，且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，故①PO⊥底面ABC正确； 侧棱长和底面边长不一定相等，故②错误； 侧面是全等的等腰三角形，故③正确． (2)因为正六边形的中心到底面顶点的距离等于边长，所以正六棱锥的侧棱必大于底面边长．] 　判断棱锥形状的两种方法 (1)直接法：利用棱锥的定义，看是否只有一个多边形，此面为底面，再看其他面是不是有一个公共顶点的三角形． (2)举反例：结合棱锥的定义，举反例直接判断关于棱锥结构特征的某些说法不正确． [跟进训练] 1．有下列几个命题： ①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；③正棱锥的棱都相等；④侧棱长相等，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥，一定是正棱锥． 其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[由正棱锥的定义可知：①缺少“棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面”这个条件，故不能得到正棱锥，所以①是假命题；侧棱都相等时，底面可以不是正多边形，比如一个三棱锥，侧棱都相等，但侧棱的夹角不相等，因此底面边长不相等，不是正三棱锥，所以②是假命题；棱锥的棱包括侧棱和底棱，正棱锥的侧棱都相等，底棱也相等，但侧棱和底棱可能不相等，所以③是假命题；④符合正棱锥的定义，所以④是真命题．] 类型2　棱台的结构特征 【例2】　(多选)如图，若ABCDEF-A1B1C1D1E1F1为正六棱台，则下列说法正确的是(　　) A．直线AB与C1D1是异面直线 B．直线AB与D1E1平行 C．线段BB1与FF1的延长线相交于一点 D．点F1到底面ABCDEF的距离大于点B1到底面ABCDEF的距离 ABC　[当ABCDEF-A1B1C1D1E1F1为正六棱台时， 对于A，由不共线的三点A，B，C1共面，D1不在这个面内，直线AB与C1D1是异面直线，故A正确； 对于B，因为直线AB与DE平行，直线DE与D1E1平行，则直线AB与D1E1平行，故B正确； 对于C，因为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1为正六棱台，则侧棱BB1与FF1的延长线相交于一点，故C正确； 对于D，点F1到底面ABCDEF的距离和点B1到底面ABCDEF的距离都等于棱台的高，故应该相等，故D错误．] 　棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法 棱台 定底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 延长后相交于一点 [跟进训练] 2．(1)下列几何体是棱台的是__________ (写出所有满足题意的序号)．　 (2)(源自人教A版教材)将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来： 多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体． (1)④　[①③都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意；②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意；④符合棱台的定义．] (2)[解]　如图所示． 类型3　几何体的计算问题 【例3】　【链接教材P73例1】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高． [思路引导]　正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解． [解]　作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点． 在Rt△ADO中，AD＝，∠OAD＝30°， 故AO＝＝． 在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝， 故SO＝＝3，其高为3． [母题探究] 1．(变条件)将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？ [解]　连接SD(图略)，则SD＝2．在Rt△SDO中，由本例解析知AO＝，所以DO＝AO＝，故SO＝＝＝． 2．(变条件)将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？ [解]　如图，正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC， 则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝．又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝． 故其高为． 【教材原题·P73例1】 例1如图11-1-33是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥P-ABCDEF． (1)写出直线PA与直线CD，直线PA与平面ABCDEF之间的关系； (2)求棱锥的高与斜高； (3)求棱锥的侧面积． [解]　(1)直线PA与直线CD异面，直线PA∩平面ABCDEF＝A． (2)作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC＝1． 在Rt△POC中，可知 PO＝＝1． 设BC的中点为M，由△PBC是等腰三角形可知，PM⊥MC，因此PM是斜高，从而 PM＝． (3)因为△PBC的面积为 ， 所以棱锥的侧面积为． 　正棱锥、正棱台中的计算技巧 (1)正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高为PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高． ①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC． ②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE． ③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC． (2)正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高． ①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1． ②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO． ③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1． [跟进训练] 3．【链接教材P74例2】 若正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高． [解]　如图，正三棱台ABC-A1B1C1中，两底面中心分别为O和O1，AB和A1B1的中点分别是E，E1，连接OO1，EE1，O1A1，OA，O1E1，OE，则四边形OAA1O1，OEE1O1都是直角梯形． 在等边三角形ABC中，AB＝4，则OA＝． 在等边三角形A1B1C1中，A1B1＝2，则O1A1＝．在直角梯形OAA1O1中，OO1＝3， 所以AA1＝ ＝， 即棱台的侧棱长为． 在直角梯形OEE1O1中，EE1＝ ＝， 即棱台的斜高为． 所以棱台的侧棱长为，斜高为． 【教材原题·P74例2】例2　如图11-1-36所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1．O与O′分别是下底面与上底面的中心． (1)求棱台的斜高； (2)求棱台的高． [解]　(1)因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形． 如图11-1-37所示，在梯形ACC′A′中，分别过A′，C′作A′E⊥AC于E，C′F⊥AC于F，则由AC＝2，AA′＝A′C′＝C′C＝1可知AE＝FC＝，从而 A′E＝C′F＝， 即斜高为． (2)根据O与O′分别是下底面与上底面的中心，以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出 BO＝2B′O′＝． 假设正三棱台A′B′C′-ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V-A′B′C′得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO′是棱锥V-A′B′C′的高，O′O是所求棱台的高． 因此△VBO是一个直角三角形，画出这个三角形，如图11-1-38所示，则B′O′是△VBO的中位线． 因为棱台的侧棱长为1，所以BB′＝1，VB＝2，从而 VO＝ ＝， 因此 O′O＝． 因此棱台的高为． 1．在四面体ABCD中，已知底面ABC为正三角形，则“三棱锥D-ABC为正三棱锥”是“△ABD与△BCD均为等腰三角形”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[若三棱锥D-ABC为正三棱锥，则AD＝BD＝CD， 所以△ABD与△BCD均为等腰三角形，充分性成立； 若△ABD与△BCD均为等腰三角形，满足AB＝BC＝AC＝CD＝2，AD＝BD＝3，此时三棱锥D-ABC不是正三棱锥，必要性不成立， 所以“三棱锥D-ABC为正三棱锥”是“△ABD与△BCD均为等腰三角形”的充分不必要条件．故选C．] 2．下列几种说法中，正确的有(　　) ①侧棱长都相等的四棱台一定是正四棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B　[取一个四条侧棱都相同的四棱锥，其底面可以是正方形，也可以是菱形，将棱锥截成棱台，从而棱台的侧棱都相等，但该棱台可能是正四棱台，也可能不是正四棱台，故①不正确；棱台的侧面一定是梯形，故②正确；③不一定是棱台，因为各条侧棱延长后不一定相交于一点，故③不正确．] 3．如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 B　[剩余几何体为四棱锥A′-BCC′B′．] 4．(教材P76练习BT3改编)已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，侧棱长为4，则这个棱锥的斜高为________，高为________． 2　2　[如图所示：G为CD中点，正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，则底面边长为4． 在等边三角形VCD中，VG＝，即棱锥的斜高为2． V在平面ABCD的投影为正方形ABCD的中心O， DO＝，即棱锥的高为2． 　] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．棱柱、棱台、棱锥之间有怎样的形成关系？ [提示]　 2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？ [提示]　不一定是棱锥．如图所示的几何体，满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥，因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”． 3．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？ [提示]　棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形． 课时分层作业(十二)　棱锥与棱台 一、选择题 1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 B　[②显然是棱锥．] 2．下列说法中正确的个数为(　　) ①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥； ②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥； ③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥； ④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥． A．4 B．3 C．2 D．1 D　[对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，错误； 对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，错误； 对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，错误； 对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，正确．] 3．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 A　[如图，在正三棱锥S-ABC中，AB＝a，SO＝a， 于是OD＝·AB·sin 60°＝从而SD＝，故三棱锥的侧面积为S＝3×a2．] 4．已知一个正六棱台的两底面边长分别为2 m，4 m，高是2 m，则该棱台的斜高为(　　) A．2 m B．2 m C． m D．4 m C　[由题意，正棱台侧面为上、下底边长分别为2 m，4 m的等腰梯形， 所以棱台的斜高为 (m)． 故选C．] 5．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是　(　　) 注：一丈＝10尺． A．9尺 B．20尺 C．21尺 D．30尺 A　[如图所示，正四棱锥P-ABCD的下底边长为二丈，即AB＝20尺，高三丈，即PO＝30尺；截去一段后，得正四棱台ABCD-A′B′C′D′，且上底边长为A′B′＝6尺，所以， 解得OO′＝21，所以该正四棱台的高是21尺，截去的正四棱锥的高是9尺．] 二、填空题 6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台． 七　[设上底面边数为x，由棱台的概念可知，棱台的上、下底面为相似多边形，边数相同，则底面的边数共有2x．侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，侧棱为x，棱数共有3x，即3x＝21，x＝7，所以该棱台为七棱台．] 7．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为2，则该正四棱台的高为________． 2　[如图，在正四棱台ABCD-EFGH中，EQ，EN分别为侧面上的高以及棱台的高， 设棱台的上、下底面的边长分别为a，b，则4b－4a＝16，所以b－a＝4， 在等腰梯形ABFE中，EA＝＝ ＝4， 所以OM＝EN＝ ＝， 故棱台的高为2．] 8．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分之比为________． 2∶1　[设棱锥为S-ABCD，截面为A′B′C′D′，则， 所以． 所以．] 三、解答题 9．已知正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． [解]　(1)如图，设O1，O分别为上、下底面的中心， 分别取BC，B1C1的中点E，F，连接OE，EF，O1F，则EF为正四棱台的斜高， EF＝， 则棱台的表面积S＝×(2＋4)×＋20． (2)连接OO1．因为两底面面积之和为22＋42＝20， 所以正四棱台的侧面积为4××(2＋4)×EF＝20，解得EF＝， 所以正四棱台的高O1O＝． 10．(多选)对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是(　　) A．可能是棱锥 B．可能是棱台 C．一定不是棱锥 D．一定不是棱柱 BCD　[有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，故选BCD．] 11．若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的(　　) A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍 B　[设正三棱锥的高为h，底面正三角形的边长为a，则斜高为h，由条件知h2＋，所以h＝，所以S侧＝a2．S底＝a2，所以S侧＝2S底．] 12．正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面的面积为________． a2　[取AC的中点O，连接SO，则SO⊥AC，如图所示． 因为正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a， 所以AC＝a，则截面△SAC的面积为a2．] 13．建筑学上，建筑师利用各种弯曲空间可以建造出很多外型美观的建筑物．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．在几何学中可用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，大小用弧度制表示)，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－3×＝π，故其总曲率为4π．则正方体的总曲率为________；正四棱锥的总曲率为________． 4π　4π　[正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是， 所以在各顶点处的曲率为2π－，故其总曲率为×8＝4π； 正四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形， 所以四棱锥的表面内角和由4个三角形内角和，1个四边形内角和组成， 所以面角和为4π＋2π＝6π，故总曲率为5×2π－6π＝4π．] 14．如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是BC的中点，O为底面中心，∠SHO＝60°，求： (1)正六棱锥的高； (2)正六棱锥的斜高； (3)正六棱锥的侧棱长． [解]　因为正六棱锥的底面周长为24， 所以正六棱锥的底面边长为4． 在正六棱锥S-ABCDEF中，SB＝SC，H为BC中点，所以SH⊥BC． 因为O是正六边形ABCDEF的中心， 所以SO为正六棱锥的高． (1)在Rt△SOH中，OH＝，又∠SHO＝60°，所以SO＝OH·tan 60°＝6． (2)在Rt△SOH中，SH＝． (3)在Rt△SHB中，SH＝4，BH＝2， 所以SB＝． 故该正六棱锥的高为6，斜高为4，侧棱长为2． 15．如图所示，在侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面AEF分别交VB，VC于点E，F，求截面△AEF周长的最小值． [解]　将三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示， 则△AEF的周长＝AE＋EF＋FA1． 因为AE＋EF＋FA1AA1， 所以线段AA1(即A，E，F，A1四点共线时)的长即所求△AEF周长的最小值． 作VD⊥AA1，垂足为点D． 由VA＝VA1，知D为AA1的中点． 由已知∠AVB＝∠BVC＝∠CVA1＝40°， 得∠AVD＝60°． 在Rt△AVD中，AD＝VA·sin 60°＝2＝3，即AA1＝2AD＝6． 所以截面△AEF周长的最小值是6 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $