9.2-9.3 正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理与余弦定理的应用，系统梳理测量距离、高度、角度等实际问题的解决方法。先通过基线、仰角、方位角等术语搭建基础，再以解三角形流程为框架，结合滑冰相遇、山高测量等例题及跟进训练形成学习支架。 资料以实际情境（如货轮航行、电视塔高度测量）驱动教学，通过数学建模将现实问题转化为解三角形问题，培养数学抽象与运算能力。课中例题链接教材便于教师授课，课后分层作业和回顾问题助力学生查漏补缺，提升应用意识。

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 1．了解并掌握实际测量中的有关名称和术语．(数学抽象) 2．能够运用正弦、余弦定理解决距离、高度和角度问题．(数学运算) 3．能借助正弦、余弦定理将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模) 滑冰是一项集力量、耐力和速度于一身的运动项目．在某次比赛上，有两个滑冰运动员甲和乙分别位于冰面上A，B两点，A与B相距100 m．如果甲从A出发，以8 m/s的速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7 m/s的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行． 思考：两人相遇时，甲滑行了多远？ 知识点1　实际测量中的有关名词、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 α为坡角 坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比 坡比：i＝ 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角 知识点2　方位角与方向角 (1)方位角 从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)． 方位角的取值范围：0°～360°． (2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°． 知识点3　解三角形实际问题的流程 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°． (　　) (2)如图所示，该角可以说成北偏东110°． (　　) [答案]　(1)×　(2)× [提示]　(1)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°． (2)题图中所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°． 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° B　[根据题意和仰角、俯角的概念，得α＝β，故选B．] 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km A　[在△ABC中，AC＝BC＝a km，∠ACB＝90°，所以AB＝a km．] 4．甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________． a，　[甲楼的高为a tan 60°＝a， 乙楼的高为a－a tan 30°＝a－a＝a．] 类型1　测量距离问题 【例1】　【链接教材P14例1】 (1)如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为________ m． (2)A，B两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________ km． (3)如图所示，为了测量湖中A，B两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100 m的甲、乙两位测量人员，甲测量员在D处测量发现A亭子位于北偏西15°方向，B亭子位于东北方向，乙测量员在C处测量发现B亭子位于正北方向，A亭子位于北偏西60°方向，则A，B两亭子间的距离为________m． (1)60()　(2)　(3)50　[(1)由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，由正弦定理，BC＝·sin ∠CAB＝·sin 30°＝＝60()(m)． (2)由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39， 所以AB＝(m)． (3)连接AB，在△ADC中，由条件可得∠ADC＝105°， ∠ACD＝30°， 则∠DAC＝45°， ∵CD＝100(m)，∴在△ADC中，由正弦定理得＝， ∴AD＝50(m)． 在△BDC中，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°， 由条件得BD＝100(m)， 且∠ADB＝∠ADC－∠BDC＝60°， ∴在△ADB中，由余弦定理得 AB2＝(50)2＋(100)2－2×50×100＝15 000，∴AB＝50(m)．] 【教材原题·P14例1】 例1　如图9-2-4所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 4点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长． [解]　因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°， 因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°， 所以在Rt△BCD中， BC＝100cos 30°＝50(m)． 在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知 ＝， 因此AC＝ m． 在△ABC中，由余弦定理可知 AB2＝＋(50)2－2×× 50cos 45°＝， 从而有AB＝ m． 　测量距离的基本类型及方案 类型 图形 方案 两点间不可通或不可视的距离 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 两点间可视不可到达的距离 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 两个不可到达的点之间的距离 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB的度数，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB [跟进训练] 1．(源自湘教版教材)如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着南偏东40°的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65°的方向上．求C点与灯塔A的距离． [解]　在△ABC中，BC＝40×＝20， ∠ABC＝70°－40°＝30°，∠ACB＝40°＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－＝45°， 由正弦定理得AC＝＝＝ 10． 因此，C点与灯塔A的距离是10 km． 类型2　测量高度问题 【例2】　(1) 如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100 m，则山高MN＝(　　) A．150 m B．180 m C．120 m D．160 m (2)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β．该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值． (1)A　[由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，三角形ABC为直角三角形，可得AC＝100(m)，在△MCA中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°． 由正弦定理，得＝，故AM＝100(m)． 在Rt△MNA中，∠MAN＝60°， 可得MN＝100·sin 60°＝150(m)．] (2)[解]　由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD， 得＝， 解得H＝＝＝124(m)． 因此电视塔的高度H是124 m． 　测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a及C的度数，AB＝a·tan C 底 部 不 可 达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值 点B与 C，D 不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数，在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值 [跟进训练] 2．(源自人教A版教材)如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度． [解]　如图，选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高是h． 那么，在△ACD中，由正弦定理，得 AC＝． 所以，这座建筑物的高度为 AB＝AE＋h ＝AC sin α＋h ＝＋h． 类型3　角度问题 【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向且距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶．若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问甲船用多少小时能追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值) [思路引导]　根据已知条件求出AC与BC的大小，利用正弦定理可求得角的正弦值． [解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇， 则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9， ∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得， (28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×， 即128t2－60t－27＝0， 解得t＝或t＝－(舍去)， ∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理， 得sin ∠BAC＝＝， 则cos ∠BAC＝＝． 又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角， ∴θ＝45°－∠BAC， sin θ＝sin (45°－∠BAC) ＝sin 45°cos ∠BAC－cos 45°sin ∠BAC ＝． ∴甲船用小时追上乙船，此时sin θ＝． [母题探究] (变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度． [解]　设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°． 由正弦定理得 ＝， 即＝． 所以x＝＝14(海里每小时)． 故乙船的速度为14海里每小时． 　测量角度问题画示意图的基本步骤 [跟进训练] 3．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 n mile 的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船．现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________． 　[在△ABC中，AC＝20，AB＝40，∠CAB＝120°，由余弦定理，得BC2＝202＋402－2×20×40×cos 120°＝2 800，所以BC＝20，所以cos ∠ACB＝＝，所以sin ∠ACB＝．由题意，得θ＝30°＋∠ACB，所以cos θ＝cos(30°＋∠ACB)＝＝．] 类型4　求解速度问题 【例4】　如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50 km/h的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O的距离为5 km、距离公路线的垂直距离为3 km的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问：骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶，才能达到他的目的？此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？ [思路引导]　根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解． [解]　作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3， 因为OM＝5，所以OI＝4， 所以cos ∠MOI＝． 设骑摩托车的人的速度为v km/h，追上汽车的时间为t小时， 由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×， 即v2＝＋2 500＝＋900900， 所以当t＝时，v取得最小值为30(km/h)， 所以其行驶距离为vt＝＝ km． 故骑摩托车的人至少以30 km/h的速度匀速行驶才能达到他的目的，此时他驾驶摩托车行驶了 km． 　解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题． [跟进训练] 4．如图，一座垂直于地面的信号发射塔CD的高度为20 m，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为45°，沿直线步行1 min 后在B点观察塔顶，仰角为30°，若∠ADB＝150°，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为________m/s． 　[在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，CD＝20(m)，则AD＝20(m)． 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝20(m)，则BD＝20(m)． 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝202＋(20)2－2×20×20＝2 800，可得AB＝20(m)， 所以步行速度为＝(m/s)．] 1．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30 km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是(　　) A．10 km B．20 km C．10 km D．5 km C　[根据题意，可得∠PAB＝∠PBA＝30°， AB＝30 km，∠APB＝120°， 在△ABP中，利用正弦定理得 ＝， 得PB＝＝10(km)， 则这时船与灯塔的距离是10 km．故选C．] 2．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为(　　) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h B　[设台风中心移动t h，城市B处在危险区，则(20t)2＋402－2×20 t×40×cos 45°900， 解得t， 所以B城市处在危险区的时间为1 h．] 3．(教材P16习题9-2BT3改编) 甲同学为测量某塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________ m． 20　[因为∠BCD＝15°，∠BDC＝135°， 所以∠DBC＝30°， 在△BDC中，由正弦定理可得＝， 所以CB＝sin ∠BDC＝20(m)， 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°， 所以AB＝CB tan 60°＝20＝20 (m)．] 4．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h．若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________ km/h． 60°　20　[如图，OA表示水的流向，OB表示风向，OC表示救生艇漂行的速度方向，OA＝OB＝20，∠AOB＝60°， 由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200， 故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．测量距离问题包括哪两种情况？ [提示]　(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离． (2)测量两个不可到达点之间的距离． 第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)． 图1　　　　　　图2 2．如何解测量底部不可到达的建筑物的高度问题？ [提示]　由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 3．如何解测量角度的问题？ [提示]　解测量角度问题的步骤是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 课时分层作业(三)　正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 一、选择题 1．(教材P15习题9-2AT1改编) 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在河岸边选定一点C，测出A，C之间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A，B两点间的距离为(　　) A．100 m B．50 m C．100 m D．200 m A　[在△ABC中，AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，即∠ABC＝30°， 由正弦定理得＝，所以＝，解得AB＝100(m)．故选A．] 2．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°．若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C．－1 D．＋1 C　[在△ABC中，由正弦定理得BC＝＝＝50()(m)， 在△BCD中，sin ∠BDC＝＝＝－1，又因为cos θ＝sin ∠BDC，所以cos θ＝－1．故选C．] 3．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60 m，BC＝60 m，CD＝40 m，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)(　　) A．53 m B．55 m C．57 m D．60 m A　[连接AC(图略)，在△ABC中，AB＝BC＝60(m)，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形，AC＝60(m)，∠ACB＝60°，由∠BCD＝120°，得∠ACD＝60°，而CD＝40(m)，在△ACD中，由余弦定理得 AD＝ ＝＝20≈53(m)． 故选A．] 二、填空题 4．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是________km． 10　[由题设可得∠ABC＝30°，BC＝40×＝20(km)，而∠ACB＝40°＋65°＝105°， 故A＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理可得＝，故AC＝10(km)．] 5．如图，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，则P，C间的距离为________海里． 40　[由题意，AB＝40(海里)，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°，所以AP＝40(海里)， 所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°＝402＋402－2×40×40×＝402×3． 所以BP＝40(海里)．又∠PBC＝90°，BC＝80， 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200， 所以PC＝40(海里)．] 6．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A处和最后一个座位B处测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的之间距离为10 m，则AN＝______m；旗杆的高度为________ m． 20　30　[依题意可知∠NBA＝45°，∠BAN＝180°－60°－15°＝105°，所以∠BNA＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理可知＝，所以AN＝·sin ∠NBA＝20 m．在Rt△AMN中，MN＝AN·sin ∠NAM＝20＝30 m，所以旗杆的高度为30 m．] 三、解答题 7．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度(结果精确到0.1 m，取 sin 55°＝0.82)． [解]　由题知，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°， 在△BCD中，由正弦定理得＝， 则BD＝＝＝≈70.73(m)， 在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°， 所以AB＝BD tan ∠ADB＝BD≈70.73(m)， 故黄河楼的实际高度约为70.7 m． 8．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度是(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．30(＋1) m D．120(－1) m D　[由题意可知∠ABC＝105°，∠BAC＝45°，C＝30°，所以AC＝＝＝120(m)．由正弦定理＝，得BC＝＝＝120(－1)(m)， 即河流的宽度为120(－1)m．故选D．] 9．如图，某同学为测楼高AB，选取了与楼基B在同一水平面内的两个测量基点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，∠ACB＝45°，再通过计算得楼高AB为138 m，则两个测量基点之间的距离CD约为(≈1.414)(　　) A．159 m B．195 m C．207 m D．239 m B　[因为∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，在△BCD中，由正弦定理可知＝， 所以CD＝， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB， 所以CD＝＝ ＝138≈195(m)．故选B．] 10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，公路北侧有一座山，山脚C与公路处于同一高度，当汽车行驶到A处时测得山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300 m后到达B处，测得此山顶D在北偏西15°的方向上，仰角为β．若β＝45°，则仰角α的正切值为________． －1　[由题意可得∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，AB＝300 m，∠CBD＝45°． 在△ABC中，可得∠ACB＝180°－45°－105°＝30°， 利用正弦定理可得＝＝， 解得CB＝300 m，AC＝150()m． 在Rt△BCD中，由∠CBD＝45°可得CD＝CB＝300m，在Rt△ACD中，可得tan α＝＝＝－1．] 11．如图，我方炮兵阵地位于A处，两移动观察所分别设在C，D两处．已知△ACD为正三角形．当目标出现在B处时，测得BC＝1 km，BD＝2 km． (1)若测得∠DBC＝，求△ABC的面积； (2)若我方炮火的最远射程为4 km，试问目标B是否在我方炮火射程范围内？ [解]　(1)在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BD·BC·cos ∠DBC＝1＋4－2＝3， ∴AC＝CD＝． ∵BD2＝CD2＋BC2，∴∠BCD＝， ∴S△ABC＝AC·BC sin ∠ACB ＝×1×sin ＝(km2)． ∴△ABC的面积为 km2． (2)设∠CBD＝α，∠CDB＝β，在△BCD中，由余弦定理得CD2＝5－4cos α，由正弦定理得CD sin β＝sin α．在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ＝9－4cos α－2AD cos β＋2AD sin β ＝9－4cos α－2AD＋2sinα ＝9－4cos α－2＋2sinα ＝9－4cos α－2(2－cos α)＋2sin α ＝5＋4sin 9， 当且仅当α＝时，AB取到最大值3(km)， ∵3<4，∴目标B在我方炮火射程范围内． 20 / 21 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