9.1.2 余弦定理-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦余弦定理核心知识点，从千岛湖岛屿测距情境引入，系统梳理向量法推导过程、两种表示形式及变式，构建“定理推导-解三角形（已知两边夹角或三边）-三角形形状判断”的学习支架，配合思考辨析、例题及跟进训练，形成完整知识脉络。 资料以情境化问题培养数学眼光，通过逻辑推理（定理推导、形状判断）发展数学思维，用符号语言（公式变式、例题求解）提升表达能力。母题探究与分层作业结合，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与核心素养发展。

9.1.2　余弦定理 1．会利用向量法推导余弦定理并掌握余弦定理的两种表示形式．(逻辑推理) 2．能利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(数学运算) 3．能运用余弦定理解决有关三角形的等式证明及三角形的形状判断等问题．(逻辑推理) 千岛湖水为国家一级水体，不经任何处理即达饮用水标准，被誉为“天下第一秀水”．如图，小王同学打算测量千岛湖中的岛屿A与岛屿C之间的距离，他在岛屿B处测得与岛屿A的距离为6 km，与岛屿C的距离为3.4 km，且它们之间的夹角为120°． 思考：请问小王的目的能实现吗？ 知识点1　余弦定理 (1)文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍． (2)符号语言 a2＝b2＋c2－2bc cos A， b2＝c2＋a2－2ca cos B， c2＝a2＋b2－2ab cos C． 知识点2　余弦定理的变式 cos A＝， cos B＝， cos C＝． 判定三角形形状时经常用到下列结论： (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；若0°<A<90°，则a2<b2＋c2．例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，可得角A的范围是． (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2． (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；若90°<A<180°，则a2>b2＋c2． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知两边和这两边的夹角，则这个三角形就可以确定． (　　) (2)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解． (　　) (3)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． (　　) (4)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ [提示]　(1)根据余弦定理，已知两边和这两边的夹角，或已知三边则这个三角形就确定了，故该说法正确． (2)由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解． (3)余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形． (4)结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确． 2．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°，则BC＝(　　) A．9 B．19 C． D． C　[由余弦定理，可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝．故选C．] 3．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝______． 120°　[因为a2＝b2＋bc＋c2， 所以b2＋c2－a2＝－bc， 所以cos A＝＝＝－， 又因为0°＜A＜180°，所以A＝120°．] 类型1　利用余弦定理解三角形 【例1】　【教材原题·P9例1、例2】 (1)(多选)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知b＝50，c＝150，B＝30°，则a＝(　　) A．100 B．50 C．25 D．20 (2)在△ABC中，B＝，3sin C＝8sin A，且△ABC的面积为6，则b＝________． (3)在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C． (1)AB　(2)7　[(1)在△ABC中，b＝50，c＝150，B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得(50)2＝a2＋1502－2×150×a， a2－150a＋15 000＝0， (a－100)(a－50)＝0， 解得a＝100或a＝50． (2)因为3sin C＝8sin A，故3c＝8a， 又ac sin B＝ac＝6，即ac＝24，故c＝8，a＝3． 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋64－24＝49，故b＝7．] (3)[解]　根据余弦定理的变式得cos A＝ ＝＝． 因为A∈(0，π)， 所以A＝． cos C＝ ＝＝， 因为C∈(0，π)， 所以C＝． 所以B＝π－A－C＝π－＝． 所以A＝，B＝，C＝． 【教材原题·P9例1、例2】 例1　在△ABC中，已知a＝3，b＝6，C＝60°，求c． [解]　由余弦定理可知 c2＝a2＋b2－2ab cos C ＝32＋62－2×3×6×cos 60° ＝27， 因此c＝＝3． 例2　在△ABC中，已知a＝6，b＝4，c＝2，求C． [解]　由c2＝a2＋b2－2ab cos C可得 (2)2＝62＋42－2×6×4cos C， 可解得cos C＝． 又因为0°<C<180°，所以C＝60°． 1．已知两边及一角解三角形的方法 (1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解． (2)当已知两边及其中一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，也可用正弦定理求解，但都要注意解的个数的讨论．利用余弦定理求解相对简便． 2．已知三边求三角的基本方法 方法一：直接根据余弦定理的三个变式求出三角． 方法二：首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角，再由正弦定理或余弦定理求出另一个锐角，最后由三角形的内角和定理求出第三个角． [跟进训练] 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若b2＝ac，且a2＋bc＝c2＋ac，则A的大小是(　　) A． B． C． D． A　[因为b2＝ac，且a2＋bc＝c2＋ac，所以b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝．故选A．] 类型2　由余弦定理判断三角形的形状 【例2】　【链接教材P9例3】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C． (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． [思路引导]　(1)由正弦定理将条件角化边，得a2＝b2＋c2＋bc求角A． (2)根据sin B＋sin C＝1且B＋C＝，可解得角B的大小，进而判断三角形的形状． [解]　(1)由已知，根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，整理得a2＝b2＋c2＋bc． 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 得cos A＝＝＝－． 又因为A∈(0，π)，所以A＝． (2)由(1)，得sin B＋sin C＝sin B＋sin ＝cos B＋sin B＝sin ＝1， 因为0<B<，所以<＋B<，所以＋B＝，即B＝，C＝π－A－B＝π－＝，所以△ABC为等腰三角形． [母题探究] 将例题中的条件改为“若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C”，试判断△ABC的形状． [解]　(法一：化角为边)将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C． 由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2－c2＝2bc×× ， 所以b2＋c2＝＝＝a2．所以A＝90°． 所以△ABC是直角三角形． (法二：化边为角)由正弦定理，已知条件可化为sin2C sin2B＋sin2C sin2B＝2sinB sin C cos B cos C． 又sin B sin C≠0， 所以sin B sin C＝cos B cos C，即cos (B＋C)＝0． 又因为0°<B＋C<180°， 所以B＋C＝90°，所以A＝90°． 所以△ABC是直角三角形． 【教材原题·P9例3】 例3　在△ABC中，已知a cos A＝b cos B，试判断这个三角形的形状． [解]　利用余弦定理可知 a×＝b×， 因此a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即a2c2－b2c2－a4＋b4＝0，从而(a2－b2)c2－(a2－b2)(a2＋b2)＝0， 所以(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0， 因此a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0． 当a2－b2＝0时，a＝b，此时△ABC是等腰三角形； 当c2－a2－b2＝0时，a2＋b2＝c2，此时△ABC是直角三角形． 故△ABC是等腰三角形或直角三角形． 　判断三角形形状的方法 已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形方法．当等式两端各项都含有边时，常用正弦定理变形；当等式两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形；当等式两边含有边的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形，可以化边为角，通过三角恒等变换求解，也可以化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边的关系等． [跟进训练] 2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin C＝2sin B cos A，且(a＋b－c)(b＋c＋a)＝2ab，那么△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 D　[由(a＋b－c)(b＋c＋a)＝2ab，得(a＋b)2－c2＝2ab，整理得c2＝a2＋b2，故C＝90°， 又sin C＝2sin B cos A，由正弦定理与余弦定理得c＝2b·，化简得a＝b， 所以△ABC为等腰直角三角形．故选D．] 类型3　正弦定理、余弦定理的综合应用 【例3】　【链接教材P10例4】 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且b cos A＝c－a． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为2，BC边上的高AH＝1，求b，c． [解]　(1)因为b cos A＝c－a， 所以b·＝c－a， 所以b2＋c2－a2＝2c2－ac， 即c2＋a2－b2＝ac． 由余弦定理可得cos B＝＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝． (2)在△ABH中，由正弦定理可得 c＝＝＝2． 因为△ABC的面积为2， 所以ac sin B＝a＝2，解得a＝4． 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝48＋4－2×4×2×＝28，则b＝2． 所以b＝2，c＝2． 【教材原题·P10例4】 例4　如图9-1-8所示平面四边形ABCD中，已知B＋D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积． [解]　连接点A，C，如图9-1-8所示． 在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理可得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC cos B， AC2＝AD2＋CD2－2AD×CD cos D． 又因为B＋D＝180°，所以cos D＝cos (180°－B)＝－cos B，因此22＋(4)2－2×2×4cos B＝(2)2＋42＋2×2×4cos B． 解得cos B＝0，因此cos D＝0，则B＝D＝90°． 从而可知四边形的面积为 ×2×4×4×2＝4()． 　正、余弦定理的综合应用的求解策略 正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具．此类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等． [跟进训练] 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0． (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． [解]　(1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0， 即有sin A sin B－sin A cos B＝0． 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0． 又cos B≠0，所以tan B＝． 又0＜B＜π，所以B＝． (2)因为a＋c＝1，cos B＝， 又由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 所以b2＝3＋． 又0＜a＜1， 于是有b2＜1， 即有b＜1． 所以b的取值范围为． 1．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° A　[cos A＝＝＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°．] 2．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 C　[因为2cos B sin A＝sin C， 所以2×·a＝c， 所以a＝b．故△ABC为等腰三角形．] 3．(教材P11练习AT5改编)若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　　) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D．∶∶2 A　[设三角形三边长分别为m，m，2m(m>0)，最大角为A，则cos A＝＝0，所以A＝90°． 设最小角为B， 则cos B＝＝， 所以B＝30°， 所以C＝60°． 故三角形三角之比为1∶2∶3．] 4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于点D，则AD＝________． 2　[如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b＞0， 解得b＝1＋． 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°， 解得AD＝＝＝2．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．应用余弦定理，我们可以解决哪两类解三角形问题？ [提示]　(1)已知三边，求三角． (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 2．勾股定理和余弦定理的联系与区别是什么？ [提示]　二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方之间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方之间的关系，是余弦定理的特例． 课时分层作业(二)　余弦定理 一、选择题 1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A． B． C． D． B　[因为a＞b＞c，所以C为最小角，由余弦定理得 cos C＝＝＝， 所以C＝．] 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，cos A＝，则a＝(　　) A．5 B． C．4 D．3 D　[由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋4－2×3×2×＝9，解得a＝3．故选D．] 3．在△ABC中，已知b2＝ac，且c＝2a，则cos B等于(　　) A． B． C． D． B　[因为b2＝ac，c＝2a，所以b2＝2a2，b＝a． 所以cos B＝＝＝．] 4．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 B　[因为sin2＝＝， 所以cos A＝＝，整理得a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．] 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则(　　) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° AD　[由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2．又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°．故选AD．] 二、填空题 6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． 　[由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝．] 7．在△ABC中，cos A＝－，a＝c，则＝________． 1　[由余弦定理可得cos A＝＝＝－，整理得b2＋bc－2c2＝0，即＋－2＝0，解得＝1(负值舍去)．] 8．已知在△ABC中，A＝，AB＝3，BC＝7，则△ABC的面积S＝________． 　[设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理的变式得，cos A＝， 所以＝－， 整理得b2＋3b－40＝0， 解得b＝5或b＝－8(舍去)， 所以S△ABC＝bc sin A＝．] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A是锐角，且cos 2A＝－． (1)若mbc＝b2＋c2－a2，求实数m的值； (2)若a＝，求△ABC面积的最大值． [解]　由A是锐角，且cos 2A＝－，得2A＝，A＝． (1)mbc＝b2＋c2－a2可变形为＝． 依据余弦定理，可知cos A＝＝，即＝． 所以m＝1． (2)因为sin A＝sin ＝， 所以bc＝b2＋c2－a22bc－a2，即bca2． 故S△ABC＝sin A·＝． 即所求△ABC面积的最大值是． 10．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　) A． B． C． D．3 B　[如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4．因为cos A＝＝，所以sin A＝．故BD＝AB·sin A＝3×＝． ] 11．设2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是(　　) A．(0，8) B．(2，＋∞) C．(2，8) D．(8，＋∞) C　[由题意，得2a＋1为最长边，所对的角为钝角，设为α， cos α＝＝<0， ∵2a(2a－1)>0， ∴a2－8a<0， 解得0<a<8， 又a＋2a－1>2a＋1， ∴a>2， 则a的取值范围为(2，8)．故选C．] 12．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，a2＋b2－c2＝ab sin C，a cos B＋b sin A＝c，则下列结论正确的是(　　) A．tan C＝2 B．A＝ C．b＝ D．△ABC的面积为6 ABD　[A选项，由余弦定理得cos C＝＝＝，故tan C＝＝2，A正确； B选项，a cos B＋b sin A＝c， 由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C， 因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin A cos B＋sin B sin A ＝sin A cos B＋cos A sin B， 即sin B sin A＝cos A sin B，因为B∈(0，π)， 所以sin B≠0，故sin A＝cos A， 又A∈(0，π)，故A＝，B正确； C选项，由A选项可知，cos C＝， 又sin2C＋cos2C＝1， 故sin2C＝1，因为C∈(0，π)，所以sinC>0， 解得sin C＝， 故cos C＝＝，sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 由正弦定理得＝，即＝，解得b＝3，C错误； D选项，△ABC的面积为ab sin C＝×3＝6，D正确．故选ABD．] 13．在△ABC中，D为边BC上一点(不含端点)，AB＝AD＝4，AC＝5，BC＝6，若＝m＋n，则m＝________． 　[因为D为边BC上一点(不包含端点)，即B，C，D三点共线，且＝m＋n， 可得m＋n＝1，则＝m＋(1－m)，且0<m<1，0<n<1． 在△ABC中，因为AB＝AD＝4，AC＝5，BC＝6， 所以cos ∠BAC＝＝， 又||2＝16m2＋25(1－m)2＋2m(1－m)·， 所以16＝16m2＋25(1－m)2＋2m(1－m)×4×5×， 整理得4m2－5m＋1＝0，解得m＝或m＝1(舍去)，所以m＝．] 14．在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1． (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． [解]　(1)由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC ＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝，cos ∠ABC＝ ＝＝， 所以sin ∠ABC＝＝ ＝． (2)由三角形面积公式可得 ＝ 则S△ACD＝S△ABC＝ ＝． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos B＝，b＝5，＝． (1)求a的值； (2)求sin A的值； (3)求cos (B－2A)的值． [解]　(1)设a＝2t，c＝3t，t>0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t×， 解得t＝2(－2舍去)． 则a＝4． (2)由余弦定理的变式得cos A＝＝＝， 因为A∈(0，π)，则sin A＝＝． (3)因为cos B＝>0， 且B∈(0，π)， 所以B∈， 所以sin B＝， 由(2)得cos A＝，sin A＝， 则sin 2A＝2sin A cos A＝2×＝， cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝， 所以cos(B－2A)＝cos B cos 2A＋sin B sin 2A＝＝． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $