第四章 探究课1 探究“对勾”函数的图象与性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义核心探究“对勾”函数f(x)=x+a/x的图象与性质，以幂函数运算为起点，先分析特殊形式f(x)=x+1/x的定义域、值域等性质，再类比推广至a>0和a<0的一般情况，构建从具体到抽象的学习支架。 该讲义亮点在于以数学眼光从幂函数运算中发现研究对象，通过数学思维严谨证明单调性（如作差法推导a>0时的增减区间），用数学语言系统表述性质。典例设计层层递进，课中助教师引导学生逻辑推理，课后学生可回顾证明过程巩固抽象能力，有效培养数学探究与表达素养。

　探究“对勾”函数的图象与性质 1．“对勾”函数f (x)＝x＋的图象 学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f (x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图． 2．“对勾”函数f (x)＝x＋的性质 (1)定义域：∵x≠0， ∴函数f (x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：函数f (x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)奇偶性：∵f (－x)＝－x－＝－＝－f (x)，∴函数f (x)＝x＋为奇函数． (4)单调性：由函数f (x)＝x＋的图象可知，函数f (x)＝x＋在(－∞，－1]，[1，＋∞)上单调递增，在[－1，0)，(0，1]上单调递减． 【典例】　试探究函数f (x)＝x＋(a＞0)的性质，并画出它的简图． [解]　(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)奇偶性：奇函数． (4)单调性：函数f (x)＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞)上为增函数，在[－，0)和(0，]上为减函数． 证明：任取x1，x2∈(0，]，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)． 因为0＜x1＜x2≤， 所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜a， 所以＞1，所以1－＜0， 所以f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)． 所以f (x)在(0，]上为减函数． 任取x1，x2∈[，＋∞)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)． 因为x1－x2＜0，x1x2＞a， 所以＜1，所以1－＞0， 所以f (x1)－f (x2)＜0，所以f (x1)＜f (x2)， 所以f (x)在[，＋∞)上为增函数． 同理，f (x)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数． 其图象如图所示． 试探究函数f (x)＝x＋(a＜0)的性质，并画出它的简图． [解]　(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：R． (3)奇偶性：奇函数． (4)函数f (x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋ ＝(x1－x2)， 因为0＜x1＜x2， 所以x1－x2＜0， 又a＜0， 所以1－＞0， 所以f (x1)－f (x2)＜0， 即f (x1)＜f (x2)， 所以函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 同理可知，函数f (x)在区间(－∞，0)上单调递增． 其简图如图所示． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $