6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示、运算及共线条件，通过情境导学从数轴向量坐标类比引入，以问题链搭建从旧知到新知的学习支架，梳理正交分解、坐标运算等知识脉络。 其亮点在于紧扣数学抽象、运算和推理素养，结合正方形网格向量分解等实例，通过例题解析与分层训练培养能力，课堂小结结构化对比点与向量坐标联系，助力学生构建体系，也为教师提供丰富教学资源提升效率。

第六章 平面向量初步 6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 学习任务 1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(数学抽象) 2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(数学运算) 3．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(数学运算、逻辑推理) 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 通过上节学习我们知道，以单位向量e为基底建立数轴，如果把向量的始点平移到原点O，则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标，类似地，请思考： 问题：(1)平面直角坐标系的基底应满足什么条件？ (2)在直角坐标系中(如图)，向量应怎样用基底表示？ (3)若点A的坐标为(x，y)，则向量的坐标与(x，y)有什么关系？ 必备知识·情境导学探新知 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [提示]　(1)基底{e1，e2}中，e1，e2为单位向量且相互垂直． (2)＝xe1＋ye2． (3)的坐标也是(x，y)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 知识点1　平面向量的坐标 1．向量的正交分解 提醒　为了方便起见，规定零向量与任意向量垂直． 互相垂直 e1⊥e2 正交基底 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 2．向量的坐标 (1)定义： 一般地，给定平面内两个________的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝__________． (2)意义： 设点A的坐标为(x，y)，则＝__________．坐标(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 相互垂直 (x，y) (x，y) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 知识点2　平面上向量的运算与坐标的关系 向量的加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______________，a－b＝______________________，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝______________ (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx，λy) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 注：平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等． 向量的数乘、加、减混合运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2) 向量的模 若a＝(x，y)，则|a|＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 思考　在平面坐标系中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求的坐标？ [提示]　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 知识点3　平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 (1)平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式||＝． (2)AB的中点坐标公式 [拓展]　平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为G． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 知识点4　向量平行的坐标表示 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__________________． (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即 x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔． x2y1＝x1y2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同． (　　) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标． (　　) (3)两个向量差的坐标与两个向量的顺序无关． (　　) (4)向量(2，3)与向量(－4，－6)同向． (　　) × √ × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [提示]　(1)对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样． (2)根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标． (3)根据两个向量差的运算，两个向量差的坐标与两个向量的顺序有关． (4)因为(－4，－6)＝－2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(－4，－6)反向． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 2．已知a＝(1，－1)，b＝(3，0)，则3a－2b等于(　　) A．(5，3) B．(4，－1) C．(－2，－1) D．(－3，－3) √ D　[3a－2b＝3(1，－1)－2(3，0)＝(3，－3)－(6，0)＝(－3，－3)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 3．已知向量a＝(m2，1)，b＝(4，1)，则“a∥b”是“m＝2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ B　[由a＝(m2，1)，b＝(4，1)，则a∥b⇔m2＝4⇔m＝±2．所以有m2＝4⇏m＝2，m＝2⇒m2＝4， 故“a∥b”是“m＝2”的必要不充分条件，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 4．已知平面直角坐标系内的两点A(－1，2)，B(2，6)，则AB＝________；若AB的中点为M，则M的坐标为________． 5　　[AB＝＝5．设M(x，y)，则x＝＝，y＝＝4．] 5 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 5．已知a＝(2，5)，b＝(6，k)，a∥b，则k的值为______． 15　[因为a∥b，所以2k＝5×6，得k＝15．] 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 类型1　平面向量的坐标表示 【例1】　【链接教材P167例1】(1)如图所示，若向量e1，e2是一组单位正交向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(　　) A．(3，4) B．(2，4) C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4) 关键能力·合作探究释疑难 √ 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (2)如图，在平面直角坐标系中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b．四边形OABC为平行四边形． ①求向量a，b的坐标； ②求向量的坐标； ③求点B的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [思路导引]　(1)借助平面向量的正交分解直接求解． (2)①由OA＝4，∠AOx＝45°可求出点A的坐标，从而求出a的坐标，再由∠OAB＝105°，得出∠COy，进而得点C的坐标，根据＝求出b的坐标． ②由①中b的坐标及b与的关系得出的坐标． ③可借助＝求出点B的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (1)A　[2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，则2a＋b＝3e1＋4e2，又因为e1，e2为单位正交向量，所以2a＋b的坐标为(3，4)．] (2)[解]　①作AM⊥x轴于点M(图略)， 则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， 所以A(2，2)．故a＝(2，2)． 因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， 所以∠COy＝30°． 又OC＝AB＝3，所以C， 所以＝＝，即b＝． ②由①知＝－＝－b＝． ③＝＝(2，2)＋ ＝， 所以点B的坐标为． 【教材原题·P167例1】 例1　如图6-2-12所示，写出向量a，b的坐标． [解]　因为a的始点在原点，所以由a的终点坐标可知 a＝(5，－1)． 又因为b＝－4e1＋e2，所以b＝(－4，1)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 发现规律　求向量坐标的方法 (1)定义法：将向量用两个________的单位向量e1，e2表示出来． (2)平移法：把向量的始点移至________，终点坐标即为向量的坐标． (3)求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用____坐标减去____坐标即得该向量的坐标． 相互垂直 坐标原点 终点 始点 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [跟进训练] 1．(1)已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为(　　) A．(4e1，3e2) B．(4e1，－3e2) C．(4，3) D．(4，－3) (2)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B、点D的坐标和的坐标． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (1)D　[(1)由向量坐标的定义可知，向量a的坐标为(4，－3)．] (2)[解]　由题意知，∠BOx＝∠DOy＝30°． 设B(x1，y1)，D(x2，y2)． 由三角函数的定义，得x1＝||·cos 30°＝，y1＝||·sin 30°＝，x2＝－||·sin 30°＝－，y2＝||·cos 30°＝， 所以B，D， ＝＝． 类型2　平面向量的坐标运算 【例2】　【链接教材P170例4】 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b． (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值； (3)求点M，N的坐标及向量 的坐标． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 ∴实数m的值为－1，n的值为－1． (3)设O为坐标原点． ∵＝＝3c， ∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴点M的坐标为(0，20)． 又∵＝＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴点N的坐标为(9，2)．∴＝(9，－18)． 【教材原题·P170例4】 例4　已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB的中点M与三等分点P，Q的坐标(如图6-2-13所示)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [解]　显然＝)＝[(－2，1)＋(1，3)]＝． 因为＝＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)， 又因为＝，所以＝，因此． ＝＝(－2，1)＋(3，2)＝ 类似地，有＝＝(－2，1)＋(3，2)＝． 因此M，P，Q． 反思领悟　平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行计算． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． (4)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解． (5)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出作为基底的向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [跟进训练] 2．(1)设＝(2，3)，＝(m，n)，＝(－1，4)，则＝(　　) A．(1＋m，7＋n)　 B．(－1－m，－7－n) C．(1－m，7－n) D．(－1＋m ，－7＋n) (2)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是 (　　) A． B． C． D．(8，1) √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (1)B　(2)A　[(1)＝ ＝－ ＝－(－1，4)－(m，n)－(2，3) ＝(－1－m，－7－n)． (2)＝) ＝ ＝(－8，1)＝，∴＝．] 类型3　向量坐标运算的应用 【例3】　已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，试问： (1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不可能，请说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [解]　由题可知＝(1，2)，＝(3，3)，＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)． (1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－； 若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－； 若P在第二象限，则有 解得－＜t＜－． (2)＝＝(－1－3t，－2－3t)＋(4，5)＝(3－3t，3－3t)． 若四边形OABP是平行四边形， 则有＝，即方程组显然无解． ∴四边形OABP不可能是平行四边形． 反思领悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等； (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [跟进训练] 3．(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________． (2)已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是_________________． 4 (1，3)∪(3，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (1)4　(2)(1，3)∪(3，＋∞)　[(1)以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)， c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4． (2)当四边形ABCD为平行四边形时， 则＝＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)， 故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．] 类型4　利用向量坐标运算解决共线问题 【例4】　【链接教材P171例7】 (1)已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量共线的单位向量是(　　) A．(3，－4) B． C．(－6，8) D． (2)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是(　　) A．(－9，1) B．(9，－1) C．(9，1) D．(－9，－1) √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (3)已知平面内的三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． ①求|b－c|的值； ②若a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值； ③若向量a＋kb与向量2b－c共线，求实数k的值． (1)B　(2)C　[(1)因为＝(7，－3)－(4，1)＝(3，－4)，由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与共线，但A，C中向量不是单位向量． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (2)设点C的坐标是(x，y)， 因为A，B，C三点共线，所以∥． 因为＝－(1，－3)＝， ＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)， 所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7， 经检验可知点(9，1)符合要求．] (3)[解]　①b－c＝(－5，1)，所以|b－c|＝． ②λb＝(－λ，2λ)，μc＝(4μ，μ)，λb＋μc＝(－λ＋4μ，2λ＋μ)， 因为a＝λb＋μc， 所以解得所以λ＋μ＝． ③a＋kb＝(3－k，2＋2k)，2b－c＝(－6，3)， 因为a＋kb与2b－c共线， 所以3(3－k)＝－6(2＋2k)，解得k＝－． 【教材原题·P171例7】 例7　在平面直角坐标系中，已知A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C三点共线． 证明：由已知得＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)， ＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)． 因为2×8＝4×4，所以 ∥， 因此A，B，C三点共线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 反思领悟　1．向量共线的判定方法 2．由共线的坐标条件求参数的解题步骤 (1)分别写出共线的两个向量的坐标． (2)通过共线条件列出方程(组)． (3)解方程(组)求出参数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [跟进训练] 4．(1)若平面向量a与b同向，a＝(2，1)，|b|＝2，则b＝(　　) A．(4，2) B．(2，4) C．(6，3) D．(4，2)或(2，4) (2)若向量a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b． ①若u＝3v，求x． ②若u∥v，求x，并判断u与v是同向的还是反向的． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (1)A　[因为a，b同向，所以设b＝λa(λ＞0)，则|b|＝λ·＝λ＝2⇒λ＝2，于是，b＝(4，2)．] (2)[解]　因为a＝(1，1)，b＝(x，1)， 所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)；v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)． ①u＝3v⇒(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇒(2x＋1，3)＝(6－3x，3)⇒2x＋1＝6－3x． 解得x＝1． ②u∥v⇒(2x＋1)×1－3(2－x)＝0．解得x＝1． 所以u＝(3，3)，v＝(1，1)．所以u与v同向． 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 学习效果·课堂评估夯基础 √ D　[由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D．] 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 2．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是 (　　) A．a＝(－2，4)，b＝(0，3) B．a＝(2，3)，b＝(3，2) C．a＝(2，－1)，b＝(3，7) D．a＝(4，－2)，b＝(－8，4) √ D　[对于D选项，b＝－2a，即a∥b，故a与b不能作为表示平面内所有向量的一组基底．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 3．已知向量a＝(x2－3x－4，x＋3)，b＝(0，2)，若a＝b，则实数x的值为________． －1　[∵a＝b，∴解得x＝－1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 4．(教材P172练习BT2改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则x＝________． 　[因为a＝(1，2)，b＝(x，1)， 所以u＝a＋2b＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)， v＝2a－b＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3)． 又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0， 解得x＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．平面直角坐标系中，点的坐标与向量的坐标有何区别与联系？ [提示] 区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 区别 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)． 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 2．平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式，对平面内的任意两点都成立吗？ [提示]　都成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 3．用向量的坐标运算判断向量共线要注意什么问题？ [提示]　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当证明a∥b时，可利用x2y1＝x1y2进行证明，此种方法没有a≠0的条件限制，便于应用；也可用＝进行证明，即两向量的对应坐标成比例，特别注意x1y1≠0的条件限制． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．(多选)已知向量a＝(－2，3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是 (　　) A．|a|＝|b| B．向量a的终点坐标为(－2，3) C．向量a与b互为相反向量 D．向量a与b关于原点对称 课时分层作业(二十八)　平面向量的坐标及其运算 √ 58 AC　[|a|＝＝，|b|＝＝，所以A正确；向量可以平移，故B错误；a＝－b，则a与b互为相反向量，a与b的坐标关于原点对称，不能说两个向量关于原点对称，故C正确，D错误．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　) A．(－2，－4)　　　　　　 B．(－3，－5) C．(3，5) D．(2，4) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 60 B　[∵＝， ∴＝＝(－1，－1)， ∴＝＝(－3，－5)，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 3．(教材P172练习BT2改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝(　　) A．(－2，－1) B．(2，1) C．(4，2) D．(－4，－2) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[因为向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，a∥b，所以2×(－2)－x＝0，得到x＝－4， 所以b＝(－4，－2)，得到a＋b＝(－2，－1)，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 62 √ 4．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，c＝(4，x2)，若(a＋2b)∥c，则x＝ (　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由题得a＋2b＝(4，2x－1)，c＝(4，x2)，因为(a＋2b)∥c，所以4x2＝4(2x－1)，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 63 √ 5．在▱ABCD中，已知＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC，BD相交于O点，则的坐标是(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 64 B　[由向量加法的平行四边形法则可得＝＝(3，7)＋ (－2，3)＝(1，10)， ∴＝－＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 二、填空题 6．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为_______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 或　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 66 或　[由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)． 设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b． 由⇒ 又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B或．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 7．已知A(2，－1)，B(－1，1)，O为坐标原点，A，B，M三点共线，且＝＋λ，则点M的坐标为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[∵A，B，M三点共线，且＝＋λ，∴λ＝， 又A(2，－1)，B(－1，1)，即＝(2，－1)，＝(－1，1)， ∴＝(2，－1)＋(－1，1)＝，则M的坐标为．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 68 8．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是___________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [－1，＋∞)　[∵a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b， ∴6(x2－2x)－6a＝0，即x2－2x－a＝0． ∵存在实数x，则方程有解， ∴Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1， 即a的取值范围是[－1，＋∞)．] [－1，＋∞)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 69 三、解答题 9．已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； (3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 70 [解]　(1)由题可知，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2， ∴＝＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2， ∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2． ∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， ∴解得：k＝－，λ＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 (2)已知e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，＝＝－3e1－e2＝ (－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)． (3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，且D(3，5)，∴＝， 设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)， ∵＝(－7，－2)， ∴解得即点A的坐标为(10，7)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 10．已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则|a－λb|的最小值是(　　) A．2 B．5 C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 73 D　[法一：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，a－λb＝(2－2λ，1＋λ)，|a－λb|＝＝＝，所以|a－λb|的最小值是． 法二：记a＝，b＝，连接AB(图略)，求|a－λb|的最小值即求点A到OB的距离，所以×2×2＝×|a－λb|min，得|a－λb|min＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 √ 11．(多选)已知λ，μ∈R，＝(λ，1)，＝(－1，1)，＝(1，μ)，那么(　　) A．＝(λ－1，1－μ) B．若∥，则λ＝2，μ＝ C．若A是BD的中点，则B，C两点重合 D．若点B，C，D共线，则μ＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 75 AC　[∵＝＝＝(λ－1，1－μ)，故A正确； 若∥，则λμ＝1，推不出λ＝2，μ＝，故B错误； ∵＝＝(1，μ)－(λ，1)＝(1－λ，μ－1)，A是BD的中点， ∴＝＝＝－＝－(λ，1)， ∴解得λ＝μ＝－1， ∴＝，B，C两点重合，故C正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 若点B，C，D共线，则＝t， 而＝＝(－1－λ，0)， ＝＝(2，μ－1)， ∴(－1－λ，0)＝t(2，μ－1)， ∴t(μ－1)＝0，且2t＝－1－λ， 而λ＝－1时t＝0，此时B，C重合， ∴μ－1∈R，μ不一定是1，故D错误． 故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)． (1)若＝0，则的坐标为________； (2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，则m－n＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2，2) 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 78 (1)(2，2)　(2)1　[(1)设点P的坐标为(x，y)， 因为＝0， 又＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， 所以 解得 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 79 (2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， 所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)， ＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，因为＝m＋n， 所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， 所以 两式相减得m－n＝y0－x0， 又因为点P在函数y＝x＋1的图象上， 所以y0－x0＝1，所以m－n＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)·(λ∈R)，则λ的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[如图所示，∵∠AOC＝45°， 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 81 ∴设C(x，－x)，则＝(x，－x)． 又∵A(－3，0)，B(0，2)， ∴λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，又＝λ＋(1－λ)， ∴⇒λ＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 82 14．已知a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，在①(ta＋b)∥(a＋tb)，②|ta＋b|＝|a＋tb|这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)若________，求实数t的值； (2)若向量c＝(x，y)，且c＝－ya＋(1－x)b，求|c|． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 83 [解]　(1)因为a＝(－1，－1)，b＝(0，1)，所以ta＋b＝(－t，－t＋1)，a＋tb＝(－1，－1＋t)． 若选择①：由(ta＋b)∥(a＋tb)，则－t(－1＋t)＝(－t＋1)(－1)， 解得t2＝1，所以t＝1或t＝－1． 若选择②：由|ta＋b|＝|a＋tb|， 则＝， 则t2＝1，所以t＝1或t＝－1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 84 (2)由c＝－ya＋(1－x)b＝(y，y)＋(0，1－x)＝(y，1－x＋y)， 因为c＝(x，y)，所以解得x＝y＝1， 所以c＝(1，1)，可得|c|＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．设平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥b．点O，A，B为平面上的三点，满足＝2a＋b，＝－3a＋2b，则△AOB的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 86 7　[如图，以O为原点，向量a的方向为x轴正方向，向量b的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，因为＝2a＋b，＝－3a＋2b，|a|＝1，|b|＝2，所以＝(2，2)，＝(－3，4)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则S△AOB＝S梯形ACDB－S△AOC－S△BOD＝×(2＋4)×5－×2×2－×3×4＝7．] 87 $