6.2.2 直线上向量的坐标及其运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦直线上向量的坐标及其运算核心知识点，前承必修第一册数轴上点的坐标知识，通过问题导入（如已知A(-1)、B(2)求向量坐标），逐步构建向量坐标的定义（单位向量下唯一实数x）、性质（坐标与模、方向的关系）及运算规律（和差、中点公式等），为后续平面向量坐标运算奠定基础。 该资料以问题驱动衔接旧知，如通过具体点坐标求向量坐标培养数学抽象能力，例题链接教材原题（如P165例3），结合数轴点坐标运算提升数学运算素养。分层作业与回顾总结设计，课中助力教师系统授课，课后便于学生自主反思巩固，有效弥补知识盲点。

6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 学习任务 1．了解直线上向量的坐标的概念，能够表示直线上向量的坐标．(数学抽象) 2．理解直线上向量的运算与坐标的关系，并能进行正确的运算．(数学运算) 我们在必修第一册上已学过了数轴上点的坐标，如图，已知A(－1)，B(2)． 问题：(1)对应的向量坐标是多少？ (2)对应的向量坐标是多少？ [提示]　(1)3． (2)－3． 知识点1　直线上向量的坐标 1．定义 给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标． 2．直线上向量a的坐标x与|a|的关系 |a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|． 当x＞0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x＜0时，a的方向与e的方向相反． 3．记法 如果数轴上一点A对应的数为x(记为A(x)，也称点A的坐标为x)，那么向量对应的坐标为x；反之，这一结论也成立． 知识点2　直线上向量的运算与坐标的关系 1．向量相等与两向量的和 假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e．当a＝b时，有x1e＝x2e，由e是单位向量可知x1＝x2，也就是直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等． a＋b＝(x1＋x2)e，所以a＋b的坐标是x1＋x2，这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和． 2．数轴上两点的坐标公式与距离公式 在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则＝x2－x1．AB＝||＝|x2－x1|． 3．数轴上的中点坐标公式 假设M(x)是线段AB的中点，则＝)＝＝e．又因为＝xe，所以x＝． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数轴上点A对应的数为－2，则向量的坐标为2． (　　) (2)数轴上点A对应的数为－2，则向量||＝2． (　　) (3)两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差． (　　) [提示]　(1)数轴上点A对应的数为－2，则向量的坐标为－2．(2)(3)正确． [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．已知A，B都是数轴上的点，A(3)，B(－a)，且的坐标为4，则a＝(　　) A．－1 B．－7 C．4 D．－4 B　[由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，即－a－3＝4，解得a＝－7．] 3．已知数轴上A，B，C三点，若＝2e，＝3e，则的坐标为(　　) A．－5 B．－1 C．1 D．5 D　[＝＝2e＋3e＝5e，所以的坐标为5．] 4．已知数轴上点A，B的坐标分别为2，5，若线段AC的中点为B，则点C的坐标为________． 8　[设C(x)，则5＝， ∴x＝8．] 类型1　直线上向量的坐标 【例1】　(1)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是(　　) A．|a|＝x B．b＝ye C．a＋b的坐标为x＋y D．|e|＝1 (2)如图所示，向量的坐标分别是(　　) A．－3，2 B．－3，4 C．2，－2 D．2，2 (3)已知e是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量－e，e的坐标分别是________． (1)A　(2)C　(3)－　[(1)由题意知，|e|＝1，|a|＝|x|，b＝ye，a＋b＝xe＋ye＝(x＋y)e，所以a＋b的坐标为x＋y，只有A错误． (2)由数轴上向量的坐标的定义可知＝2e，＝－2e，所以向量的坐标分别是2，－2． (3)由直线上向量的坐标的定义知，－e，e的坐标分别是－．] 　为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种： (1)将向量用单位向量表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标． [跟进训练] 1．(1)已知数轴上的一个单位向量e，向量a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是(　　) A．b＝a B．b＝－a C．b＝2a D．b＝－2a (2)如图所示，求出向量a，b的坐标． (1)B　[(1)由题意，向量a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，即b＝－a．] (2)[解]　因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2． 类型2　数轴上向量的长度 【例2】　【链接教材P165例3】 已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－1，6，10．求向量的长度． [思路导引]　先求向量的坐标，然后取绝对值即可． [解]　由题意得的坐标为－4，的坐标为－1，因为＝， 所以的坐标为－1－(－4)＝3，而且AB＝||＝3， 同理可得的坐标为－1－6＝－7， 的坐标为10－(－1)＝11， 所以CB＝||＝|－7|＝7， BD＝||＝11． 【教材原题·P165例3】 例3　设数轴上两点A，B的坐标分别为3，－7，求： (1)向量的坐标，以及A与B的距离； (2)线段AB中点的坐标． [解]　(1)由题意得的坐标为3，的坐标为－7，又因为＝，所以的坐标为－7－3＝－10，而且 AB＝||＝|－10|＝10． (2)设线段AB中点的坐标为x，则 x＝＝－2． 　求数轴上向量长度的方法 要先求数轴上向量的坐标，再根据距离公式求长度． 提醒：首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序． [跟进训练] 2．已知A，B，C为数轴上三点，且A(－2)，B(6)．试求符合下列条件的点C的坐标． (1)||＝10；(2)||＝3||． [解]　(1)∵||＝10，∴|xC－xA|＝10， 又xA＝－2，∴xC＝8或－12． (2)∵||＝3||， ∴＝3或＝－3． 当＝3时，xC－xA＝3(xC－xB)． ∴xC＝(3xB－xA)＝10； 当＝－3时，xC－xA＝－3(xC－xB)， ∴xC＝(3xB＋xA)＝4． 类型3　直线上的向量坐标运算及其应用 【例3】　【链接教材P164例2】 已知直线上的向量a与向量b，向量a的坐标为－10，向量a与向量b满足关系2a－3b的坐标为4，求： (1)向量b的坐标； (2)a＋2b的坐标． [解]　(1)设直线上的向量b的坐标为x，由题意可得2×(－10)－3x＝4，解得x＝－8，即向量b的坐标为－8． (2)a＋2b的坐标为－10＋2×(－8)＝－26，所以a＋2b的坐标为－26． 【教材原题·P164例2】 例2　已知直线上向量a的坐标为－2，b的坐标为5，求下列向量的坐标： (1)a＋b；(2)b；(3)－2a－3b． [解]　(1)a＋b的坐标为－2＋5＝3． (2)b的坐标为×5＝1． (3)－2a－3b的坐标为(－2)×(－2)－3×5＝－11． 　直线上向量坐标运算的注意事项 直线上向量的坐标运算类似于初中数学中的代入求值问题，解题时要特别注意符号，以防出错． [跟进训练] 3．已知a的坐标为－1，b的坐标为5，求下列向量的坐标． (1)a－b；(2)b＋a；(3)－2a＋3b；(4)3a－2b． [解]　由题意，向量a的坐标为－1，向量b的坐标为5， (1)a－b的坐标为－1－5＝－6． (2)b＋a的坐标为×5－1＝． (3)－2a＋3b的坐标为－2×(－1)＋3×5＝17． (4)3a－2b的坐标为3×(－1)－2×5＝－13． 1．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　) A．e1＝e2　　　　　　　　 B．e1∥e2 C．|e1|＝|e2| D．以上都不对 C　[单位向量的模都等于1个单位，故C项正确．] 2．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则与AB分别是(　　) A．－3，3 B．3，3 C．3，－3 D．－6，6 B　[的坐标为－1－(－4)＝3，AB＝||＝3．] 3．(教材P165练习AT3(1)改编)已知数轴上两点A，B的坐标分别是－9，3，则的坐标为(　　) A．－6 B．6 C．12 D．－12 C　[的坐标为3－(－9)＝12．] 4．数轴上点A(－3)关于点M(2)的对称点为B(x)，则x＝________． 7　[由题意可得2＝，解得x＝7．] 5．已知a，b是直线上的向量，a的坐标为1，且|3a－2b|＝1，则b的坐标为________． 1或2　[设b的坐标为x，则|3×1－2x|＝1，即3－2x＝±1，∴x＝1或x＝2， 即向量b的坐标为1或2．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．直线上向量的起点都认为是原点O，则直线上的向量与直线上的点是一一对应吗？ [提示]　一一对应． 2．向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？ [提示]　能．(1)|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|． (2)当x＞0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x＜0时，a的方向与e的方向相反． 课时分层作业(二十七)　直线上向量的坐标及其运算 一、选择题 1．已知数轴上A点坐标为－5，的坐标为－7，则B点坐标是(　　) A．－2　　　　　　　　 B． 2 C．12 D．－12 D　[∵xA＝－5，的坐标为－7， ∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12．] 2．如图所示，点O，A，B，C，D均在直线l上，向量为单位向量，则向量的坐标分别是(　　) A．3，2 B．2，4 C．4，－2 D．2，－4 D　[由题意可得的坐标为4－2＝2，的坐标为－2－2＝－4．] 3．直线上向量a，b的坐标分别为－3，5，则向量3a－2b的坐标和模分别是(　　) A．－19，19 B．21，21 C．－19，5 D．1，1 A　[由题可知，向量3a－2b的坐标为3×(－3)－2×5＝－19，模为|－19|＝19．] 4．已知数轴上两点M，N，且|MN|＝4．若xM＝－3，则xN等于(　　) A．1 B．2 C．－7 D．1或－7 D　[∵|MN|＝|xN－(－3)|＝4， ∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7．] 5．(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是(　　) A．a＝－b B．b＝－a C．a＋b的坐标为0 D．|a||b|＝1 BD　[因为a＝－e，b＝e， 所以|a|＝，|b|＝；|a||b|＝1，b＝－＝－a，a＋b＝e＝－e，a＋b的坐标为－．] 二、填空题 6．在数轴x上，已知＝－3e(e为x轴上的单位向量)，且点B的坐标为3，则向量的坐标为________． 6　[由＝－3e，得点A的坐标为－3， 则的坐标为3－(－3)＝6．] 7．数轴上三点A，B，C的坐标分别为1，－1，－5，则的坐标为________，|AC|＋|BC|＝________． －10　10　[的坐标为－6＋(－4)＝－10，|AC|＋|BC|＝6＋4＝10．] 8．(教材P165练习BT3改编)已知数轴上两点A(1)，B，且AB的中点坐标为－3，则点B的坐标是________，||＝________． －7　8　[设B(x)，线段AB的中点坐标为＝－3，解得x＝－7，则B(－7)，||＝|－7－1|＝8．] 三、解答题 9．已知数轴上A，B，C三点的坐标分别为1，7，－3． (1)求的坐标和长度； (2)若CD＝4，求点D的坐标； (3)若线段BE的中点坐标为2，求点E的坐标． [解]　(1)因为A，B，C三点的坐标分别为1，7，－3，所以的坐标为1－7＝－6，||＝6； 的坐标为－3－1＝－4，||＝4； 的坐标为7－(－3)＝10，||＝10． (2)设点D的坐标为x．因为CD＝4，所以的坐标为4或－4． 当的坐标为4时，有x－(－3)＝4，解得x＝1． 当的坐标为－4时，有x－(－3)＝－4，解得x＝－7． 所以点D的坐标为1或－7． (3)设点E的坐标为y，则2＝，解得y＝－3． 所以点E的坐标为－3． 10．(多选)数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论正确的是(　　) A．的坐标是2　　　　　　 B．＝－3 C．的坐标是4 D．＝2 ABD　[的坐标为1－(－1)＝2，的坐标为4，的坐标为－4，的坐标为－6．＝－3，＝2．故A，B，D正确．] 11．已知数轴上三点A，B，C，若B点坐标为2，的坐标为5，||＝3，则AC的中点坐标为(　　) A．1 B．－2 C．－1或－2 D．1或－2 D　[由B(2)，的坐标为5知点A的坐标为－3，||＝|xC－xB|＝|xC－2|＝3知xC＝5或xC＝－1， ∴AC的中点坐标为＝1或＝－2，故选D．] 12．已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8，则点N的坐标为________． 11　[设点M，N的坐标分别为x1，x2， 因为点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8，所以解得故点N的坐标为11．] 13．若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝2e，b＝－×4e是这条直线上的向量，则|a|＋|b|＝________． 4　[因为a＝2e，b＝－×4e＝－2e， 所以|a|＋|b|＝2＋2＝4．] 14．已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d． (1)若的坐标为5，求c的值； (2)若||＝6，求d的值； (3)若＝－3，求证：3＝－4． [解]　(1)∵的坐标为5， ∴c－(－4)＝5，∴c＝1． (2)∵||＝6，∴|d－(－2)|＝6， 即d＋2＝6或d＋2＝－6， ∴d＝4或d＝－8． (3)证明：(法一)∵＝＝－， 而＝－3， ∴＝－(－3)＋＝4， ∴3＝12 ． 又∵－4＝－4×(－3)＝12， ∴3＝－4． (法二)∵A，B，C，D四点的坐标分别为－4，－2，c，d， ∴的坐标为c＋4，的坐标为d＋4． 又＝－3，∴c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16． 则3＝3(d－c)＝12d＋48， －4＝－4(c＋4)＝12d＋48， ∴3＝－4． 15．已知数轴上的点A(－2)，B(x)，C(3)． (1)若点A是线段BC的一个三等分点，则x的值为________． (2)||＋||的最小值为________． (1)－12或－　(2)5　[(1)因为点A是线段BC的一个三等分点， 所以＝3或＝． 因为A(－2)，B(x)，C(3)， 所以3－x＝3×[3－(－2)]或 3－x＝×[3－(－2)]． 所以x＝－12或x＝－． (2)因为||＋||≥||＝||＝5，当且仅当与同向时取等号，所以当x∈[－2，3]时，||＋||取得最小值5．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $