4.2.2 对数运算法则-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦对数运算法则及换底公式核心知识点，从指数与对数的逆关系切入，通过具体对数算式引导猜想，推导得出积、商、幂的对数运算法则，再引入换底公式实现不同底数对数转化，构建“猜想-推导-应用”的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过实例猜想培养数学抽象，推导过程强化逻辑推理，例题与分层作业提升数学运算能力。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后学生可借助辨析题和变式练习查漏补缺，巩固对数运算技能。

4.2.2　对数运算法则 学习任务 1．能根据指数的运算法则推导出对数的运算法则．(逻辑推理) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(数学运算) 3．会运用对数运算法则进行一些简单的计算、化简与证明．(逻辑推理) 大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则中，得出相应对数的运算法则吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算法则呢？ 问题：观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？ log2(2×4)＝log22＋log24＝3； log3(3×9)＝log33＋log39＝3； log2(4×8)＝log24＋log28＝5． [提示]　如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么loga(M·N)＝logaM＋logaN成立． 知识点1　对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1，2，…，k)； (2)logaMα＝αlogaM； (3)loga＝logaM－logaN． (1)当对数式子中的对数符号都有意义时，等式才成立． (2)对数运算中的常用结论： ①loga＝logam-1＝－logam(m＞0)； ②loga＝＝logam(m＞0，n，p∈N＋，p，n＞1)． 知识点2　换底公式 logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)． 特别地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0且b≠1)． 常用对数换底公式的几种情况： ＝＝＝logab； ＝＝＝logab； (3)logab＝＝＝． 其中，a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0且b≠1，m，n∈N*． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y． (　　) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0且a≠1，MN＞0)． (　　) (3)＝log2＝1． (　　) [提示]　(1)令x＝y＝1，则lg (x＋y)＝lg 2＞lg 1＝0，而lg x＋lg y＝0，所以lg (x＋y)＝lg x＋lg y不成立． (2)例如对于(－2)×(－3)＞0，loga[(－2)×(－3)]≠loga(－2)＋loga(－3)，因为loga(－2)和loga(－3)没有意义． (3)等式的左边＝＝≠log2． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．(教材P23练习AT1(2)改编)计算：log123＋log124＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1．] 3．log35·log56·log69＝________． 2　[原式＝··＝＝＝2．] 类型1　利用对数的运算法则求值 【例1】　【链接教材P22例2】 计算下列各式的值： (1)； (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64． [解]　(1)原式＝ ＝＝． (2)原式＝[(1－log63)2＋log62·(log63＋log66)]÷log64 ＝[(log66－log63)2＋log62·(log63＋log66)]÷(2log62) ＝[(log62)2＋log62·(log63＋log66)]÷(2log62) ＝[log62·(log62＋log63＋log66)]÷(2log62) ＝2log62÷(2log62)＝1． 【教材原题·P22例2】 例2　计算下列各式的值： (1)lg 4＋lg 25；(2)lg ； (3)log2(47×25)；(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5． [解]　(1)lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 100＝2． (2)lg ＝＝lg 100＝． (3)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19． (4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋lg (10×2)×lg ＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)×(1－lg 2) ＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2 ＝1． 　对数的运算法则在解题中的两种应用 提醒：对数的运算法则主要用于化简与求值，它只适用于同底的对数的化简． [跟进训练] 1．计算下列各式的值． (1)lg lg ＋lg ； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2． [解]　(1)(法一)　原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝． (法二)　原式＝lg －lg 4＋lg (7) ＝lg ＝lg ()＝lg ＝． (2)原式＝＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3． 类型2　换底公式的应用 【例2】　【链接教材P23例3】 (1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)； (2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645．(用a，b表示) [解]　(1)(法一)　原式 ＝ ＝· ＝log25·(3log52) ＝13log25·＝13． (法二)　原式 ＝ ＝ ＝＝13． (2)(法一)　因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b， 于是log3645＝＝ ＝＝． (法二)　因为＝log189＝a，所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18，所以log3645＝＝＝＝＝． 【教材原题·P23例3】 例3　求log89×log2732的值． [解]　log89×log2732＝＝＝＝． 　换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． [跟进训练] 2．(1)设a，b，c都是正数，且8a＝20b＝25c，则下列等式正确的是(　　) A．＝　　　　　 B．＝ C．＝ D．＝ (2)已知a>1，＝－，则a＝________． (1)A　(2)64　[(1)因为a，b，c都是正数，设8a＝20b＝25c＝M＞1，则a＝log8M，b＝log20M，c＝log25M， 即有＝logM8，＝logM20，＝logM25，显然logM25＋logM8＝2logM20，所以＝， 即＝，A正确；＝logM8＋logM20－logM25＝logM≠0，B不正确； ＝logM8＋logM20－2logM25＝logM≠0，C不正确； ＝2logM25＋2logM8－logM20 ＝logM2 000≠0，D不正确．故选A． (2)＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1， 所以log2a＝6，故a＝26＝64．] 类型3　对数运算法则的综合应用 【例3】　(源自湘教版教材)设A＝logax，B＝logay，C＝logaz，用A，B，C表示下列各式： (1)loga；(2)loga． [解]　(1)loga＝loga(xy2)－logaz3 ＝logax＋2logay－3logaz ＝A＋2B－3C． (2)loga＝3logax＋logay－logaz ＝3A＋－C． 　解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数t，用t表示其他变量． [跟进训练] 3．(1)已知2a＝5，5b＝2，则lg (ab)＝________． (2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py． ①求p的值； ②证明：＝． (1)0　[因为2a＝5，5b＝2，可得a＝log25，b＝log52， 所以ab＝log25×log52＝log25×＝1，所以lg (ab)＝lg 1＝0．] (2)[解]　①设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0且k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k． 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·， 因为log3k≠0，所以p＝2log34＝4log32． ②证明：＝ ＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝． 1．(多选)已知a＞0且a≠1，x＞y＞0，且y≠1，则下列结论正确的是(　　) A．loga(x－y)＝logax－logay B．＝logyx C．loga＝logax－logay D．loga＝ [答案]　BC 2．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y＞x>z D．y>z>x B　[令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x．故选B．] 3．(教材P23练习AT3改编)已知lg 5＝a，则lg 20＝ ________． 2－a　　[因为lg 5＝a，所以lg 20＝lg ＝lg 100－lg 5＝lg 102－lg 5＝2lg 10－lg 5＝2－a．] 4．(1)计算：＝________． (2)计算：log3＋lg 4＋lg 25＋＝________． (1)　(2)　[(1)原式＝＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝＋lg (4×25)＝＋2＝． (2)原式＝＋lg 102＋1＝＋2＋1＝．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．对数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？ [提示]　(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)logaMα＝αlogaM； (3)loga＝logaM－logaN． 以上各式适用条件是a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，α∈R． 2．换底公式的内容是什么？如何利用换底公式解决问题？ [提示]　logab＝． 利用换底公式可解决化简、求值与证明问题． 利用换底公式将不同底数的对数式转化成同底数的对数式时，为了运算便捷，应选择合适的底数，若无明确思路，可将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．另外，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 3．在应用对数运算法则、换底公式时，要注意什么问题？ [提示]　应用对数运算法则、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误． 指数的换底公式 请借助互联网或图书查阅“棋盘上的学问”“64片金片在3根金针上移动”等故事，发现它们都涉及264这个数． (1)你能用64个2相乘算出它的值吗？ (2)你会用计算器得出它的结果吗？ (3)如果恰好你手头没有计算器，又需要马上估计出它的值，你有什么办法？ 分析　(1)如果你愿意不厌其烦地计算，可以得出 264＝18 446 744 073 709 551 616． (2)使用科学计算器，可以算出 264≈1.844 674 407×1019． (3)若把264换成以10为底的幂，则便于估计它的值．怎么转换呢？ 根据指数函数的性质，对于数2一定存在唯一的常数α，使得2＝10α(如图)． 由对数的概念，得α＝lg 2． 因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264． 也就是说，264是1019和1020之间的数． 一般地，对于任意不为1的正数a和b，有a＝blogba，所以对任意的实数α，都有aα＝bαlogba． 这就是指数的换底公式． 例如，可以用上述公式把以3为底的幂转换为以10或以e为底的幂： 35＝105lg 3，35＝e5ln 3． 课时分层作业(五)　对数运算法则 一、选择题 1．下列各式化简运算结果为1的是(　　) A．eln 3－(0.125 B．lglg 5 C．loa2(a>0且a≠1) D．log53×log32×log25 D　[对于A，eln 3－(0.125＝－1，故A错误； 对于B，lg，故B错误；对于C，loa2＝4×1＝4，故C错误；对于D，log53×log32×log25＝＝1，故D正确．故选D．] 2．(教材P24练习BT1(1)改编)计算：lg 0.01＋log216＝(　　) A．－2　　　B．2　　　C．－4　　　D．4 B　[lg 0.01＋log216＝lg 10-2＋log224＝－2＋4＝2．] 3．若lg x－lg y＝a，则lg等于(　　) A．3a　 　 　 B．a C．a　 　 　 D． A　[∵lg x－lg y＝a，∴lg ＝3lg x－3lg y＝3a．故选A．] 4．计算log225·log32·log59的结果为(　　) A．3　 　 　 B．4 C．5　 　 　 D．6 D　[原式＝····＝6．] 5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A．1010.1　 　 　 B．10.1 C．lg 10.1　 　 　 D．10-10.1 A　[设太阳的星等和亮度分别为m1，E1，天狼星的星等和亮度分别为m2，E2，则m1＝－26.7，m2＝－1.45．代入m2－m1＝，得－1.45－(－26.7)＝，∴25.25＝，∴lg ＝10.1，∴＝1010.1．故选A．] 二、填空题 6．计算10＝________． 2　[10－log98·log4··＝2．] 7．若logab·log3a＝4，则b的值为________． 81　[logab·log3a＝·＝4， 所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81．] 8．已知2lg(x－3y)＝lg x＋lg y＋2lg 2，则＝________． 9　[∵2lg(x－3y)＝lg x＋lg y＋2lg 2，∴lg(x－3y)2＝lg(4xy)， ∴(x－3y)2＝4xy，即x2－10xy＋9y2＝0，∴(x－9y)(x－y)＝0， 解得x＝9y或x＝y．又∵x－3y>0，且x>0，y>0，∴x＝y舍去，∴＝9．] 三、解答题 9．(13分)(源自北师大版教材)计算： (1)log4； (2)(log32＋log23)2－．　 [解]　根据对数的换底公式，得 (1)log4 ＝log2＋log23－log25 ＝log2＝log21＝0． (2)(log32＋log23)2－·· ＝ ＝2． 10．(多选)已知x，y为正实数，则(　　) A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y CD　[根据指数与对数的运算法则可得2ln x·ln y＝(2ln x)ln y，2ln (xy)＝2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y，可知C，D正确，而A，B都不正确．] 11．(多选)甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0．甲写错了常数b，得到根为x＝；乙写错了常数c，得到根为x＝或x＝64．那么原方程的根可以为(　　) A．x＝2　 　 　 B．x＝3 C．x＝4　 　 　 D．x＝8 CD　[原方程可变形为(log2x)2＋blog2x＋c＝0，因为甲写错了常数b，得到根为x＝，所以c＝log2＝－2×(－3)＝6．又因为乙写错了常数c，得到根为x＝或x＝64，所以b＝－＝－5，所以原方程为(log2x)2－5log2x＋6＝0，解得log2x＝2或log2x＝3，所以x＝4或x＝8．故选CD．] 12．已知5a＝6，则a＝________，a－log530＝________． log56　－1　[因为5a＝6，所以a＝log56，所以a－log530＝log56－log530＝log5＝－1．] 13．＝________． 8　[原式＝10|＋(23 ＝10－ ＝11－－(lg 5＋lg 2)－3＋＝8．] 14．(15分)(1)计算：log3＋log23·log94＋lg 2； (2)若a，b分别是方程(lg x)2－lg x2＋＝0的两个实根，求lg的值． [解]　 (1)原式＝log3· ． (2)根据题意，lg a，lg b是方程t2－2t＋＝0的两个实根，则lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝， lg(ab)·(logab＋logba) ＝ ＝· ＝· ＝2×＝12． 15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求ab>10－x的解．(结果用区间表示) [解]　原方程可变形为2(lg x)2－4lg x＋1＝0， 设t＝lg x，则2t2－4t＋1＝0，设方程两根为t1，t2，所以t1＋t2＝2，t1t2＝， 不妨令t1＝lg a，t2＝lg b， 则lg a＋lg b＝lg (ab)＝2， 解得ab＝100， 求ab>10－x，即求100>10－x，得x>－2． 即ab≥10－x的解为{x|x＞－2}． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $