4.2.1 对数运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦对数运算核心知识点，从细胞分裂实际问题抽象出对数概念，通过指数式与对数式互化明确定义，深入分析底数真数取值范围的合理性，推导对数恒等式及常用、自然对数，形成从具体到抽象再到应用的学习支架。 资料以问题驱动培养数学抽象，通过表格辨析底数取值发展逻辑推理，分层例题（概念辨析、互化应用等）提升数学运算能力，结合“对数的发明”渗透数学文化。课中助力教师引导知识构建，课后学生可借思考辨析与练习查漏补缺，兼顾知识掌握与素养发展。

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 学习任务 1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(数学抽象) 2．理解对数的底数和真数的取值范围．(逻辑推理、数学运算) 3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(数学运算) 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…． 问题：依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？ [提示]　2x个，3次，8次；由2x＝N可知，当N已知时，x的值即为分裂次数． 知识点1　对数的定义及相关概念 1．对数的概念 在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． 在对数式b＝logaN中，为何规定a>0且a≠1? [提示]　 a＜0 当N为某些值时，b的值不存在．如：b＝log(－2)8不存在 a＝0 N≠0 b的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在 N＝0 b不唯一，即log00有无数个值 a＝1 N≠1 b的值不存在．如：log13(可理解为1的多少次幂是3)不存在 N＝1 b可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值 因此规定a＞0且a≠1． 2．对数恒等式 (1)alogaN＝N； (2)logaab＝b． 知识点2　常用对数与自然对数 1．常用对数 以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg_N． 2．自然对数 在科学技术中，常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln_N． 知识点3　对数的性质 性质1 负数和零没有对数 性质2 1的对数是0，即loga1＝0(a＞0且a≠1) 性质3 底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0且a≠1) 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4． (　　) (2)对数式log32与log23的意义一样． (　　) (3)因为1a＝1，所以log11＝a． (　　) (4)log(－2)(－2)＝1． (　　) [提示]　(1)×．因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错； (2)×．log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错； (3)×．因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错； (4)×．因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．＝________． 4　[＝()2＝22＝4．] 3．(1)ln e＝________． (2)lg ＝________． [答案]　(1)1　(2)5 4．计算＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． 0　[原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0．] 类型1　对数的概念 【例1】　(1)对数式lg (2x－1)中实数x的取值范围是________． (2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是____________． [思路导引]　根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解． (1)　(2)(2，3)∪(3，＋∞)　[(1)由题意可知对数式lg (2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>，所以x的取值范围是． (2)由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞)．] 　对数的定义在求参数范围中的应用 根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式(组)，可求得对数式中字母的取值范围． [跟进训练] 1．下列不等式的解集中，与对数logab中的实数a的取值范围相同的是(　　) A．a＞0 B．＜0 C．a(a－1)≥0 D．＞0 D　[对数logab中的实数a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)，B选项中a的取值范围为(0，1)，C选项中a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)，D选项中a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)，故选D．] 类型2　指数式与对数式的互化 【例2】　【链接教材P17例2】 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54＝625；(2)2-6＝；(3)＝5.73； (4) lo16＝－4；(5)lg 0.01＝－2；(6)ln 10＝2.303． [解]　(1)log5625＝4；(2)log2＝－6； (3) lo5.73＝m；(4)＝16；(5)10-2＝0.01； (6)e2.303＝10． 【教材原题·P17例2】 例2　求下列各式的值： (1)log216；(2)log2；(3)． [解]　(1)因为24＝16，所以log216＝4． (2)因为2-1＝，所以log2＝－1． (3)因为＝3，所以＝)2＝32＝9． 　1．指数式与对数式互化的方法技巧 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 2．互化时应注意的问题 (1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变． (2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示． [跟进训练] 2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式： ①10-3＝；②ln 2＝x． (2)已知a>0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． [解]　(1)①因为10-3＝，所以lg ＝－3． ②因为ln 2＝x，所以ex＝2． (2)根据条件loga3＝n及对数的定义可得an＝3， 由loga2＝m及对数的定义可得am＝2， 所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12． 类型3　对数的性质与对数恒等式 【例3】　【链接教材P18例4】 (1)求下列各式中x的值： ①log3(log2x)＝0；②＝9． (2)已知log5(log3(log2a))＝0，计算的值． [解]　(1)①∵log3(log2x)＝0， ∴log2x＝1，∴x＝21＝2． ②由＝9得＝9，解得x＝81． (2)因为log5(log3(log2a))＝0，所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3，所以a＝23＝8， 所以＝6×a＝6×8＝48． [母题探究] 1．(变结论)本例(2)条件不变，试求的值． [解]　由条件知a＝8， 原式＝＝8×＝8×36＝288． 2．(变条件、变结论)已知loa＝3，试求3的值． [解]　因为loa＝3，所以a＝＝， 所以3＝a＝． 3．(变结论)本例(2)条件不变，试求alogab·logba的值． [解]　由条件可知a＝8， 所以原式＝＝＝a＝8． 【教材原题·P18例4】 例4　已知log4a＝log25b＝，求lg (ab)的值． [解]　由log4a＝log25b＝可得a＝，b＝，所以 ab＝＝＝＝＝， 所以lg (ab)＝2． 　1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2．对数恒等式＝N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可． (2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解： 1．若N＝a5(a＞0且a≠1)，则有(　　) A．loga5＝N B．logaN＝5 C．logN5＝a D．logNa＝5 B　[由N＝a5化为对数式为logaN＝5．] 2．使式子log(x－2)(－x2＋x＋6)有意义的x的取值范围是(　　) A．(－2，3)　　 B．(2，3) C．[－2，3]　　 D．(2，3] B　[要使式子log(x－2)(－x2＋x＋6)有意义， 则解得2<x<3．] 3．(教材P20练习BT6改编)若log8x＝－，则x的值为(　　) A． B．4 C．2 D． A　[∵log8x＝－， ∴x＝＝2-2＝，故选A．] 4．计算＝________． 20　[＝22·＝4×5＝20．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．对数与指数有怎样的关系？ [提示]　指数式与对数式的互化(其中a＞0且a≠1)： (1)对数运算是指数幂运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键． 2．对数有哪些性质？ [提示]　(1)负数和零没有对数． (2)1的对数是0． (3)底数的对数是1． 3．对数概念中，有哪些容易出错的地方？ [提示]　对数式中容易忽视底数与真数的范围． 对数的发明 十六，十七世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔(J．Napier，1550－1617)在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生．在这本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法． 如图1，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y)．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的对数． 用现在的数学符号来叙述，纳皮尔的对数中，x与y的对应关系就是 y＝． 其中，e为自然对数的底数．利用对数，纳皮尔制作了0°～90°每隔1′的八位三角函数表，但是这种方法不够方便和简捷． 把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯(H．Briggs，1561－1631)．他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数．由于我们的数系是十进制，因此它在数值计算上具有优越性．1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1～20 000及90 000～100 000的14位常用对数表． 根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺．300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器．尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表现在都不再重要了，但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，在今天仍然具有生命力． 从对数发明的过程可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，主要是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年由法国数学家笛卡儿开始使用．直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现指数与对数的互逆关系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用y＝ax来定义x＝logay．他指出，“对数源出于指数”．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． 从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力．建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担． 课时分层作业(四)　对数运算 一、选择题 1．将化为对数式正确的是(　　) A．lo　 　 　 B．lo＝3 C．lo＝3　 　 　 D．log3 B　[＝化为对数式为lo＝3，故选B．] 2．(多选)下列式子中正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．＝80 C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25x＝，则x＝±5 AB　[∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0， A正确； ＝16×5＝80，B正确； 若10＝lg x，则x＝1010，C不正确； 若log25x＝，则x＝＝5，D不正确．] 3．若2x＝6，log4＝y，则x＋2y的值是(　　) A．3 B． C．log23 D．－3 A　[因为log4＝y，则4y＝22y＝，所以2x+2y＝2x·22y＝6×＝8＝23，故x＋2y＝3．故选A．] 4．若a，b，c，满足2a＝3，b＝log25，3c＝2，则(　　) A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a A　[因为b＝log25，则2b＝5，故2b＞2a＞2，故b＞a＞1； 又3c＝2＜3，故c＜1．综上，b＞a＞c，故选A．] 5．的值等于(　　) A．9＋ B．9＋ C．9 D．10 C　[＝32·，故选C．] 二、填空题 6．ln (lg 10)＋＝________． 4－π　[ln (lg 10)＋＝ln 1＋4－π＝0＋4－π＝4－π．] 7．若log2(logx3)＝－1，则x＝________． 9　[因为log2(logx3)＝－1， 所以logx3＝2-1＝， 解得x＝9．] 8．ln e-1＋lg 0.001＋lg 1 000＋ln (lg 10e)的值为________． 0　[ln e-1＋lg 0.001＋lg 1 000＋ln (lg 10e)＝－1＋lg 10-3＋lg 103＋ln e＝－1＋(－3)＋3＋1＝0．] 三、解答题 9．已知b＞a＞1，logab＝2，a＋b＝6． (1)求a，b的值； (2)解不等式bx－6ax＋8＜0． [解]　(1)由logab＝2可得a2＝b，代入a＋b＝6，得a2＋a－6＝0， 又因为a＞1，所以a＝2，b＝a2＝4． (2)由(1)得a＝2，b＝4，所以不等式bx－6ax＋8＜0，即为4x－6·2x＋8＜0， 令2x＝t，t∈(0，＋∞)，得t2－6t＋8＝(t－4)(t－2)＜0，解得2＜t＜4， 即2＜2x＜4，解得1＜x＜2，所以不等式的解集为{x|1＜x＜2}． 10．(多选)当a>0，且a≠1时，下列说法错误的是(　　) A．若M＝N，则logaM＝logaN B．若logaM＝logaN，则M＝N C．若logaM2＝logaN2，则M＝N D．若M＝N，则logaM2＝logaN2 ACD　[在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误，故选ACD．] 11．(多选)已知x＝log43，则下列计算正确的有(　　) A．4x＝3 B．2x＝ C．2－x＝ D．2x＋2－x＝1 ABC　[因为x＝log43，所以4x＝3，故A正确； 则22x＝(2x)2＝3，且2x＞0，所以2x＝，故B正确； 2－x＝＝＝，故C正确；2x＋2－x＝＝，故D错误．故选ABC．] 12．已知地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M．据此测算，7.0级地震所释放出的能量约是6.0级地震所释放出来的能量的________倍(精确到1；参考数据：≈3.16)． 32　[由题设，6.0级地震释放的能量为E1＝104.8+1.5×6＝1013.8，7.0级地震释放的能量为E2＝104.8+1.5×7＝1015.3， 所以＝＝()3≈3.163≈32．] 13．已知log5(log3(log2x))＝0，则＝________． 　[∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴．] 14．(15分)已知logax＝4，logay＝5(a>0且a≠1)，求A＝的值．　 [解]　 由logax＝4，得x＝a4，由logay＝5， 得y＝a5， 所以A＝·[(·y-2·( ＝(a4·(a5＝a0＝1． 15．每年3月3日是国际爱耳日，2024年的主题是“科技助听，共享美好生活”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y(单位dB)，定义y＝10lg ，其中I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2(瓦/平方米)，I0＝10-12W/m2为基准值． (1)如果一辆小轿车内声音是50dB，求相应的声强度； (2)如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？ [解]　(1)由50＝10lg ，得＝105，即I＝I0·105＝10-12·105＝10-7 (W/m2)． 故声音50dB相应的声强度是10-7 W/m2． (2)设声音是120dB的声强度为I1， 则120＝10lg ，即I1＝I0·1012， 设声音是60dB的声强度为I2，则60＝10lg ， 即I2＝I0·106， ∴＝＝106．∴前者的声强度是后者的声强度的106倍． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $