4.1.2 第1课时 指数函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦指数函数的概念、图象及性质核心知识点，从报纸对折的实际情境入手，抽象出指数函数定义，通过辨析a>0且a≠1的合理性深化概念理解，再对比a>1与0<a<1时的图象特征归纳性质，形成“实例-概念-性质-应用”的学习支架。 资料以真实情境（报纸对折）激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过问题链引导辨析概念、探究性质，发展数学思维，结合杂质过滤等实际应用例题渗透模型意识。课中助力教师引导学生主动探究，课后分层作业帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的性质与图象 学习任务 1．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．(数学抽象) 2．掌握指数函数的图象及简单性质．(直观想象) 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？ 折叠次数　　对应层数　　对折后的面积S x＝1 y＝2＝21 S＝ x＝2 y＝4＝22 S＝＝ x＝3 y＝8＝23 S＝＝ …… …… …… 由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝(x∈N*)． 问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？ [提示]　(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量． 知识点1　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1． 指数函数中为什么规定a>0且a≠1? [提示]　(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义； (2)如果a<0，例如f (x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义； (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1． 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)解析式的结构特征 (1)底数：大于0且不等于1的常数． (2)指数：自变量x． (3)系数：ax的系数必须是1． 指数函数的三个结构特征是判断一个函数是否为指数函数的标准，缺一不可． 知识点2　指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象和性质 a的范围 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 定点 过定点(0，1) 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数． (　　) (2)函数y＝2x+1是指数函数． (　　) (3)函数y＝(－2)x是指数函数． (　　) [提示]　(1)×．因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数． (2)×．因为指数不是x，所以函数y＝2x+1不是指数函数． (3)×．因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝2－x的图象是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B．] 3．若指数函数y＝f (x)的图象经过点(2，4)，则函数的解析式为________． f (x)＝2x　[设f (x)＝ax(a＞0，且a≠1)，因为函数图象经过点(2，4)，所以f (2)＝4，即a2＝4．因为a＞0且a≠1，得a＝2． 即函数的解析式为f (x)＝2x．] 类型1　指数函数的概念及应用 【例1】　(1)下列一定是指数函数的是(　　) A．y＝ax B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝ D．y＝(a－2)ax (2)若指数函数f (x)的图象经过点(－2，9)，则f (x)＝________，f (－1)＝________． (1)C　(2)　3　[(1)A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数； B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故也不是指数函数； C中y＝显然是指数函数； D中只有a－2＝1，即a＝3时为指数函数． (2)设f (x)＝ax(a＞0且a≠1)， 因为f (x)的图象经过点(－2，9)， 代入得a-2＝9，解得a＝或a＝－(舍去)， 所以f (x)＝， 所以f (－1)＝3．] 　判断一个函数是指数函数的方法 指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点： (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． (4)指数函数不会是多项式，如y＝ax＋1(a>0且a≠1)不是指数函数． [跟进训练] 1．(多选)若函数f (x)＝·ax(a＞0且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　) A．a＝8 B．f (0)＝－3 C．f＝2 D．a＝4 AC　[因为函数f (x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f (x)＝8x，所以f (0)＝1，f＝＝2，故B，D错误，A，C正确．] 类型2　指数函数的图象和性质 【例2】　(1)函数f (x)＝2ax+1－3(a>0且a≠1)的图象恒过的定点是________． (2)若函数f (x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f (x)的值域为________． (3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象． (1)(－1，－1)　(2)[7，11]　[(1)因为y＝ax的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，得x＝－1，则f (－1)＝－1，故f (x)＝2ax+1－3的图象过定点(－1，－1)． (2)由题意知函数f (x)＝2x＋3在R上是增函数，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f (x)的值域为[7，11]． (3)[解]　y＝＋2＝3－(x+1)＋2． 作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x+1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x+1)＋2＝＋2的图象，如图所示． 　处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． [跟进训练] 2．(1)函数y＝的大致图象是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D (2)已知函数f (x)＝＋2x－1，则不等式f (x)＜0的解集为(　　) A．(0，1) B．(－1，0) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) (3)已知a＝，函数f (x)＝ax，若实数m，n满足f (m)>f (n)，则m，n的大小关系为________． (1)C　(2)B　(3)m＜n　[(1)因为y＝是偶函数，所以图象关于y轴对称， 所以函数图象在y轴右侧单调递减，0<y≤1， 左侧单调递增，0<y≤1． (2)令f (x)＝＋2x－1＝0，可得＝1－2x，在同一直角坐标系中画出y＝与y＝1－2x的图象，由图可得，y＝与y＝1－2x的图象有两个交点，又f (－1)＝－2－1＝0，f (0)＝＋0－1＝0，由图可得＜1－2x的解集为(－1，0)，即f (x)＜0的解集为(－1，0)．故选B． (3)∵0<<1，∴函数f (x)＝ax在R上为减函数，又f (m)>f (n)，∴m<n．] 类型3　指数函数的实际应用 【例3】　某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少． (1)写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式． (2)过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ [解]　(1)过滤1次后的杂质含量为＝； 过滤2次后的杂质含量为＝； 过滤3次后的杂质含量为＝； … 过滤n次后的杂质含量为(n∈N*)． 故y与n的函数关系式为y＝(n∈N*)． (2)由(1)知y＝(n∈N*)，当n＝7时，y＝＝>， 当n＝8时，y＝＝<， 所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 　指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题． (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型． [跟进训练] 3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天． 19　[假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x-1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．] 1．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为(　　) A．a＞0　 B．a＜1 C．0＜a＜1　 D．a＞0且a≠1 C　[由ax－1≥0，得ax≥a0． ∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a＜1．] 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1，0<b<1 C　[结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1．] 3．当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是(　　) A． B． C． D． A　[y＝3－x－1＝－1，x∈[－2，2)是减函数， ∴3-2－1<y≤32－1，即－<y≤8．] 4．函数f (x)＝2·ax-1＋1的图象恒过定点________． (1，3)　[令x－1＝0，得x＝1，f (1)＝2×1＋1＝3，所以f (x)的图象恒过定点(1，3)．] 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．如何判定一个函数是指数函数？ [提示]　判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1． 2．结合指数函数的图象，请你总结一下指数函数的性质有哪些？ [提示]　 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0，1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 课时分层作业(二)　指数函数的性质与图象 一、选择题 1．若函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　) A．4 B．1或3 C．3 　 D．1 C　[由题意得 解得a＝3，故选C．] 2．若函数f＝ax＋b－1(a>0 且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(　　) A．a＞1，b<0 B．0<a<1，b<0 C．a＞1，b>0 D．0<a<1，b>0 A　[因为函数f＝ax＋b－1的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 则根据指数函数的图象可知，a>1， 又当x＝0时，y<0，即1＋b－1<0，解得b<0． 故选A．] 3．函数y＝8－23-x(x≥0)的值域是(　　) A．[0，8) 　 B．(0，8) C．[0，8] 　 D．(0，8] A　[∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23-x≤23＝8，∴0≤8－23-x<8，∴函数y＝8－23-x(x≥0)的值域为[0，8)．] 4．函数f (x)＝的大致图象为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D D　[函数f (x)＝的定义域为全体非零实数，因为f (－x)＝＝＝－f (x)， 所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB；而当x＞0时，有22x＞1，所以f (x)＝＞0，排除C．故选D．] 5．已知某种细菌在培养过程中，每20 min繁殖一次，经过一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成(　　) A．511个 　 B．512个 C．1 023个 　 D．1 024个 B　[因为3 h＝(9×20)min，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个)．] 二、填空题 6．设函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋2)＝3f (x)，且当x∈(0，2]时，f (x)＝2x，则f的值为________． 9　[由已知条件可得f＝3f ＝9f＝＝9．] 7．若函数y＝在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝________． 6　[由指数函数y＝的图象可知在x＝－1处取得最小值为2，在x＝－2处取得最大值为4，所以m＋n＝6．] 8．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝，y＝3x，y＝2x的图象如图所示，则上述函数分别对应的图象是 ________． (填上对应序号) ①②③④　[(法一)　由指数函数的图象在y轴右侧“底大图高”的特点知，①对应函数y＝，②对应函数y＝，③对应函数y＝3x，④对应函数y＝2x． (法二)　 令x＝1可得y的值分别为，3，2，结合图象可知①对应函数y＝，②对应函数y＝，③对应函数y＝3x，④对应函数y＝2x．] 三、解答题 9．已知指数函数f (x)＝ax的图象经过点(2，7)，求f (－6)和f (3)． [解]　因为f (x)＝ax的图象经过点(2，7)， 所以f (2)＝a2＝7， 解得a＝，于是f (x)＝， 所以f (－6)＝， f (3)＝． 10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm．经检验知该地下车库中一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分)之间存在函数关系y＝(m为常数)．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少需要排气(　　) A．16分钟　　 B．24分钟 C．32分钟　　 D．40分钟 C　[已知地下车库中一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝(m为常数)，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，所以64＝，26＝27-4m，解得m＝，因为空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，所以≤0.5，即－7≥1，解得t≥32．] 11．(多选)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ B．y＝－x2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝3|x| CD　[对于A，y＝f (x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x)＝－＝－f (x)，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B，因为函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，故不符合题意；对于C，y＝f (x)＝|x|＋1，f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，所以函数为偶函数，又当x>0时，y＝f (x)＝|x|＋1＝x＋1，在(0，＋∞)上单调递增，故符合题意；对于D，y＝f (x)＝3|x|，f (－x)＝3|－x|＝3|x|＝f (x)，所以函数为偶函数，又当x>0时，y＝f (x)＝3|x|＝3x，在(0，＋∞)上单调递增，故符合题意．] 12．若函数f (x)＝ax＋m＋2(a>0且a≠1)的图象过定点，则＋()n＝________． 　[因为f (－m)＝a－m＋m＋2＝a0＋2＝3，所以函数f (x)的图象过定点， 所以即 所以＋()n＝＋()3＝＝．] 13．已知函数f (x)＝ax-1＋1，则该函数过定点______，若该定点在直线mx＋2ny－1＝0(m>0，n>0)上，则的最小值为________． (1，2)　9＋4　[因为f (x)＝ax-1＋1， 令x－1＝0， 可得x＝1，f (1)＝a0＋1＝2， 所以该函数过定点(1，2)． 又该定点在直线mx＋2ny－1＝0(m>0，n>0)上， 所以m＋4n＝1． 因此＝(m＋4n)＝1＋＋8≥9＋2＝9＋4，当且仅当＝， 即时等号成立．] 14．已知函数f (x)＝ax(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1． (1)求a的值； (2)求函数y＝f (x)＋1(x≥0)的值域． [解]　(1)因为函数f (x)＝ax(x≥0)的图象经过点，所以a2＝，a＝． (2)由(1)得f (x)＝(x≥0)，函数为减函数， 当x＝0时，函数取最大值1，故f (x)∈(0，1]， 所以函数y＝f (x)＋1＝＋1(x≥0)∈(1，2]， 故函数y＝f (x)＋1(x≥0)的值域为(1，2]． 15．设函数f (x)＝则满足f (x＋1)＜f (2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0) D　[当x≤0时，函数f (x)＝2－x是减函数，则f (x)≥f (0)＝1．作出f (x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x＋1)＜f (2x)，则需解得x＜0．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $