5.4 统计与概率的应用-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦统计与概率的应用，通过渔民“标记后再捕”估算鱼数的生活化情境导入，衔接前期统计中的样本估计总体和概率中的古典概型知识，引导学生从实际问题出发构建应用框架，形成从基础到实践的学习支架。 其亮点在于以丰富生活实例为载体，如游戏公平性判断、零件购买决策等，培养学生用数学眼光抽象问题，用数学思维推理计算（如例2用古典概型分析卡片游戏公平性），用数学语言建立模型（如费用与零件数的函数关系）。学生能提升数据分析和决策能力，教师可借助分层练习和情境案例优化教学效果。

第五章 统计与概率 5.4　统计与概率的应用 学习任务 1．通过实例感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可能性，体会统计思维与确定性思维的差异．(数学抽象) 2．通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义，会计算古典概型中随机事件发生的概率．(数学运算、逻辑推理、数据分析) 5.4　统计与概率的应用 渔民有什么方法能方便且快速地知道自己鱼池中有多少鱼呢？有经验的渔民常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从鱼池中随机捕捉一些鱼上来，比如说捕到1 000条鱼，在每条鱼的身上作记号(不影响其存活)，又放回鱼池中． 经过一段时间以后，又从鱼池中随机捕捉一些鱼，比如说第二次捕到200条，看其中有记号的鱼有多少条，如果10条有记号． 必备知识·情境导学探新知 5.4　统计与概率的应用 问题：(1)能否用这种方法估计出鱼池里鱼的条数？ (2)渔民估计出鱼池里大约有多少条鱼？ [提示]　(1)能．(2)大约有20 000条． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 知识点　生活中的概率及其应用 1．生活中的概率 概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识做出合理的判断与决策． 2．概率的应用 概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 1．某养鸡场用鸡蛋孵化小鸡，用200个鸡蛋孵化出170只小鸡，由此估计，要孵化出2 500只小鸡，大约需要鸡蛋的颗数为 (　　) A．3 022 B．2 941 C．2 800 D．3 125 B　[设大约需要x颗鸡蛋，则＝，解得x≈2 941，故选B．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 2．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量/件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 　[记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＝．] 类型1　统计在实际问题中的应用 【例1】　某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下： 关键能力·合作探究释疑难 等待时间/min [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25] 频数 4 8 5 2 1 (1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估算值及平均等待时间标准差的估计值s； (2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？ 5.4　统计与概率的应用 [解]　(1)易知＝＝)2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数． ＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min)． s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2)． s＝≈5.34(min)． ∴病人平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min． (2)由(1)知平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min． ∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84 min． 反思领悟　1．用样本估计总体是统计学中的核心思想． 2．主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或总体的分布． 3．平均值、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [跟进训练] 1．在2024年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据(单位：cm)如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 168 167 165 186 a b c d 178 158                       序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 166 178 175 169 172 177 182 169 168 176 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在(160，182)之间，且这20个身高数据的平均数＝172，标准差s＝7． (1)为了更好地研究该校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间(－2s，＋2s)以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计该校男生身高的平均数与方差分别为多少；(方差保留两位小数) (2)使用统计学的观点说明(－2s，＋2s)以内的数据与原数据对比有什么特点．(主要用平均数与方差进行说明) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [解]　(1)因为平均数即(158，186)，不在该区间内的数据有158和186，剔除后，剩余18个数据，则平均数′＝×(172×20－158－186)＝172，方差s′2＝×[s2×20－(158－172)2－(186－172)2]＝×(72×20－196－196)＝≈32.67． (2)(＋2s)以内的数据与原数据对比，有以下特点： ①(＋2s)以内的数据占总数据个数的90%，说明该校90%左右的男生身高都在区间(158，186)以内； ②(＋2s)以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化； ③原数据的方差为49，而(＋2s)以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性． 类型2　概率在生活中的应用 【例2】　【链接教材P126例1】 甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢． (1)若以A表示和为6的事件，求P(A)． (2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问：B与C是否为互斥事件？为什么？ (3)这种游戏规则公平吗？试说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [解]　(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25， 事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)共5种情况． 所以P(A)＝＝． (2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件，即符合题意． (3)这种游戏规则不公平，由(1)知和为偶数的基本事件为(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共13个． 所以甲赢的概率为，乙赢的概率为．所以这种游戏规则不公平． 【教材原题·P126例1】 例1　一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？” 分析这个游戏是否公平． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [解]　(方法一)把卡片六个面的颜色记为 G1，G2，G3，B1，B2，B3， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色． 游戏所有的结果可以用如图5-4-1表示． 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为＝． 因此，这个游戏不公平． (方法二)把三张卡片分别记为G，B，M， 其中，G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片． 考虑乙抽取到的卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢的概率为． 因此，这个游戏不公平． 发现规律　判断游戏是否公平的思路 无论是怎样的游戏，游戏公平与否就是看参与游戏的每个个体获胜的概率是否____，相同则____，不相同则______． 相同 公平 不公平 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [跟进训练] 2．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ (2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ (3)请你设计另外一种游戏规则，并保证游戏的公平性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [解]　(1)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是． (2)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况． 甲抽到的牌的数字比乙的大，有(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，(3，2)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为．因为<，所以此游戏不公平． (3)可以设计为：若甲、乙抽到的数字之和为偶数，则甲胜，否则乙胜． 类型3　概率在决策中的应用 【例3】　某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若n＝19，求y与x的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [解]　(1)当x≤19时，y＝3 800； 当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以y与x的函数解析式为 y＝(x∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19． (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)． 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 反思领悟　概率在决策问题中的应用 (1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率． (2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量、实际生活中的决策问题等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [跟进训练] 3．如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． [解]　(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计概率，可得所求概率为＝0.44． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为 所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； 记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)， ∴甲应选择L1． P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2． 1．(教材P127例2改编)经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　) A．64个 　　 B．640个 C．16个　　 D．160个 学习效果·课堂评估夯基础 √ C　[80×(1－80%)＝16．] 5.4　统计与概率的应用 2．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类．在我国的云南及周边各省都有分布．春暖花开的时候是放蜂的大好季节．养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂．某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂．那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理(　　) A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．以上都对 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 B　[从养蜂人甲放的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，而从养蜂人乙放的蜜蜂中，捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为，所以，现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大．] 3．小明和小展按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则________(选填“公平”或“不公平”)． 不公平　[当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论是第二个人取1支还是取2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜，所以不公平．] 不公平 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 4．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为________． 　[由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．本节课主要掌握哪几类问题？ [提示]　(1)统计在实际问题中的应用． (2)概率在整体估计中的应用． (3)概率在决策中的应用． 2．本节课需要我们学习的主要思想是什么？ [提示]　用样本估计总体． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制(无平局)，已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以2∶0领先，则最后甲获胜的概率为(　　) A．B．　C．D． 课时分层作业(二十一)　统计与概率的应用 41 D　[最后甲获胜含3种情况：①第三局甲胜，概率为； ②第三局乙胜，第四局甲胜，概率为＝； ③第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，概率为＝． 所以最后甲获胜的概率为＝．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，约定：若含谷比例低于，则称为“优米”，收购价为50钱每石，若含谷比例高于，则称为“劣米”，收购价随着含谷比例的增加而减少，规定：在比例的基础上，含谷比例每翻一谷以内(含一倍)，收购价减少3钱每石，有人送来米1 536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷18粒，则这批米能卖(　　) A．67 584钱 　　　　　 B．72 192钱 C．62 976钱 D．76 800钱 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 43 A　[因为252粒内夹谷18粒，所以米中含谷比率约为＝∈，所以此米的收购价为44钱每石，则1 536×44＝67 584(钱)．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 3．如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80%分位数是 (　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 45 D　[由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8是整数，则这10天最低气温的80%分位数是＝2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 √ 4．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 47 B　[第一次接通电话的概率为，第二次接通电话的概率为＝，第三次接通电话的概率为＝，所以拨号不超过三次就接通电话的概率为＝．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 √ 5．(多选)某学校共3 000名学生，为了调查本学校学生携带手机进校园的情况，对随机抽出的500名学生进行调查，调查中使用了2个问题，问题1：你生日的月份是不是奇数？问题2：你是否携带手机？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的硬币，被调查者背对着调查人员掷一次硬币，如果正面朝上，则回答问题1；如果反面朝上，则回答问题2．共有175人回答“是”，则下列说法正确的有(　　) A．估计被调查者中约有175人携带手机 B．估计本校学生约有600人携带手机 C．估计该学校约有20%的学生携带手机 D．估计该学校约有10%的学生携带手机 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 49 BC　[随机抽取的500名学生中，回答第一个问题的概率为，生日月份为奇数的概率也是，所以回答第一个问题且回答是的人数为500×＝125，所以回答第二个问题且回答是的人数为175－125＝50，所以随机抽取的500名学生中，带手机的学生人数的比例为×100%＝20%， 故该学校3 000名学生中，带手机的学生人数为3 000×20%＝600，所以BC正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 二、填空题 6．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1 200只作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物1 000只，其中作过标记的有100只，按概率的方法估算，保护区内约有________只该种动物． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12 000 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 51 12 000　[设保护区内这种野生动物有x只，假定每只动物被逮到的可能性是相同的，那么从这种野生动物中任逮一只，设事件A＝{带有记号的动物}，则由古典概型可知P(A)＝．第二次被逮到的1 000只中，有100只带有记号，即事件A发生的频数m＝100，由概率的统计定义可知P(A)≈＝，故≈，解得x≈12 000． 所以保护区内约有12 000只该种动物．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 7．某高校有1 200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子．调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球(摸出后再放回袋中)．若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题．所有回答“是”的被调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做．最后收集回来53个小石子，估计该高校抽烟的人数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 36 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 53 36　[由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球或1个绿球或1个白球的概率都是． 即大约有300×＝100(人)回答了第一个问题，300×＝100(人)不回答任何问题，300×＝100(人)回答了第二个问题． 在回答阳历生日月份是奇数的概率是． 因而回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”． 所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”． 即估计该高校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的平均数是__________元． 4 760 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 55 4 760　[应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%． 一年后公司成功的概率约为，失败的概率为， ∴估计一年后公司收益的平均数为 ×10 000＝4 760(元)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 三、解答题 9．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 57 购买情况 商品 甲 乙 丙 丁 顾 客 人 数 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [解]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2． (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 (3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1．因此，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)根据给出的三幅统计图判断，下列说法正确的是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 62 A．从折线统计图能看出世界人口的变化情况 B．2050年非洲人口将大约达到15亿 C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D．从1957年到2050年，各洲中北美洲人口增长速度最慢 √ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 AC　[从题中折线图可知，世界人口是逐渐增加的，这是世界人口的变化情况，故A选项正确；2050年非洲人口将超过15亿，故B选项错误；2050年亚洲人口将超过60亿，而其他各洲人口总和不超过50亿，故C选项正确；从题图中无法判断北美洲人口的增长速度，故D选项错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 √ 11．从一批苹果中随机抽取50个，其质量(单位：克)的频数分布表如下： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 分组 [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 频数 5 10 20 15 用分层随机抽样的方法从质量在[80，85)和[95，100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在[80，85)内的概率为(　　) A． C． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 65 C　[设从质量在[80，85)内的苹果中抽取x个，则从质量在[95，100]内的苹果中抽取(4－x)个，因为频数分布表中[80，85)，[95，100]两组的频数分别为5，15，所以5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1，即抽取的4个苹果中质量在[80，85)内的有1个，记为a，质量在[95，100]内的有3个，记为b1，b2，b3，任取2个有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3，共6个样本点，其中有1个苹果的质量在[80，85)内的样本点有ab1，ab2，ab3，共3个，所以所求概率为＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率是_______． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 67 　[从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有2种：4，6和2，8，所以能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 13．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则P1＋P2＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 69 　[三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321，共6种． 方案一坐车可能：132，213，231，所以P1＝； 方案二坐车可能：312，321，所以P2＝．所以P1＋P2＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 14．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等) 现要从甲、乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛． (1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来． (2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平吗？说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 71 [解]　(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”共有20个． 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456． (2)不公平．由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B．则事件A含有基本事件为：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 由古典概型计算公式，得 P(A)＝＝， 又A与B对立，所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝， 所以P(A)＞P(B)．故选取规则对甲、乙两名学生不公平． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)， 结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组， 其中第一组[20，25)，第二组[25，30)， 第三组[30，35)，第四组[35，40)，第五组 [40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 74 (1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和75%分位数； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者： (ⅰ)若有甲(年龄38)、乙(年龄40)两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.4　统计与概率的应用 [解]　(1)设这m人的平均年龄为x，则 ＝22.5×0.1＋27.5×0.35＋32.5×0.25＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝31.75(岁)． 设75%分位数为a， ∵0.02×5＋0.07×5＋0.05×5＝0.7＜0.8，0.02×5＋0.07×5＋0.05×5＋0.04×5＝0.9＞0.75， ∴a位于第四组：[35，40)内； (法一)　由5×0.02＋(40－a)×0.04＝0.25，解得a＝36.25． (法二)　由0.1＋0.35＋0.25＋(a－35)×0.04＝0.75，解得a＝36.25． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 (2)(ⅰ)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲；第五组抽取2人，记为D，乙；对应的样本空间为： Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，甲)，(A，乙)，(A，D)，(B，C)，(B，甲)，(B，乙)，(B，D)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点． 设事件M＝“甲、乙两人至少一人被选上”，则 M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}， 共有9个样本点．所以P(M)＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 (ⅱ)设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s2． 设第四组的宣传使者的年龄分别为x1，x2，x3，x4，平均数为＝36，方差为＝， 设第五组的宣传使者的年龄分别为y1，y2，平均数为＝42，方差为＝1， 则＝＝＝)2＝)， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 ＝)2＝，可得＝4＝2＝＋4＝＋2， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s2． 则＝＝＝＝38， 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 79 (法一)　s2＝)2＋)2]＝[()＋()] ＝＋2－2) ＝＝10． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 80 (法二)　s2＝＋()2]} ＝ ＝10． 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10； 据此估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 81 $