4.5 增长速度的比较-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“增长速度的比较”，核心讲解函数平均变化率及指数函数、对数函数、幂函数的增长差异。以“杰米与韦伯的合同”情境导入，从现实问题抽象出数学模型，衔接前期函数性质知识，构建深化应用的学习支架。 其亮点是情境导学与实例分析结合，通过合同收支计算、汽车速度比较等培养数学抽象和逻辑推理素养，用表格系统对比三种函数增长特征。学生能提升问题分析能力，教师可借助清晰结构高效落实核心素养教学。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.5　增长速度的比较 学习任务 1．能从教材实例中归纳出函数增加快慢的概念，指数函数、一次函数、对数函数三种增长速度的差异．(逻辑推理) 2．能从教材实例中理解 “线性增长”“指数增长”等术语的现实含义．(逻辑推理) 3．能从实际例子中计算函数的平均变化率，能利用平均变化率分析函数值增长速度的大小．(数学抽象) 4.5　增长速度的比较 杰米是个富翁，一天，他碰到一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中(这个月有31天)，每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？你说话算数？” 必备知识·情境导学探新知 4.5　增长速度的比较 合同开始生效了，杰米欣喜若狂．第一天杰米支出1分钱，收入10万元．第二天杰米支出2分钱，收入10万元，到了第10天，杰米共得100万元，而总共才付出10元2角3分．到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得1万多元．杰米想：要是合同订二、三个月该多好！可从21天起，情况发生了转变． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 第22天杰米支出2万多，收入10万，到第28天，杰米支出134万多，收入10万．结果，杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时，共付给韦伯2 100多万元！杰米破产了． 问题：(1)写出杰米总共收到韦伯的钱y(单位：分)与天数x的函数关系式． (2)写出杰米每天支出y(单位：分)与天数x的函数关系式． [提示]　(1)y＝107x(x∈N*)． (2)y＝2x-1(x∈N*)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 知识点1　用平均变化率比较函数值变化的快慢 (1)定义：函数y＝f (x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率为＝． (2)实质：______的改变量与______的改变量之比． (3)理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加个单位． (4)应用：比较函数值变化的快慢． 函数值 自变量 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 知识点2　两种重要的函数增长 (1)指数增长： ①性质：当a＞1时，指数函数f (x)＝ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f (x)＝ax的函数值增长的________． ②定义：类似指数函数的增长称为________(或指数级增长、爆炸式增长)． (2)线性增长：类似________的增长称为线性增长(或直线增长)． 越来越快 指数增长 一次函数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 知识点3　指数函数、对数函数和幂函数的增长差异   函数 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 性质 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增，且a越大，增长越快 单调递增，且a越小，增长越快 单调递增，且x＞1，n＞1时，n越大增长越快 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较   函数 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 性质 增长速度 越来越快 越来越慢 图象的变化 随x的增大图象越来越陡 随x的增大图象逐渐变平缓 图象走势与n值有关 因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有________________(a＞1，n＞0)． logax<xn<ax 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 1．对于以下四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是(　　) A．①　 B．② C．③　 D．④ C　[①＝＝1，②＝＝3，③＝＝7，④＝＝－，故选C．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 2．下列四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．∀x＞0，xn＞logax C．∀x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 D　[对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较． 对于B，C，当0<a<1时，显然不成立．对于D，当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．] 3．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是________(填序号)． ①y＝ex；②y＝ln x；③y＝7x；④y＝e－x． ① 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 类型1　求函数的平均变化率 【例1】　【链接教材P40例1】 (1)y＝2x＋1在[1，2]上的平均变化率为(　　) A．0　 B．1　 C．2　 D．3 (2)函数f (x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率为________． (3)函数f (x)＝ln x在区间[1，e]上的平均变化率为________． 关键能力·合作探究释疑难 　 　 √ 4.5　增长速度的比较 (1)C　(2)　(3)　[(1)当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为＝2． (2)f (x)在[1，2]上的平均变化率为 ＝＝． (3)函数f (x)＝ln x在区间[1，e]上的平均变化率为＝．] 【教材原题·P40例1】 例1　已知函数y＝2x，分别计算函数在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律． [解]　设1≤x1＜x2≤2，因为＝＝， 所以y＝2x在区间[1，2]上的平均变化率为＝2； y＝2x在区间[2，3]上的平均变化率为＝4． 不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 反思领悟　平均变化率的求解步骤 (1)确定区间[x1，x2](x1<x2)． (2)求出Δx＝x2－x1． (3)求出Δf＝f (x2)－f (x1)． (4)求出平均变化率＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 [跟进训练] 1．已知函数y＝x2－2x－3． (1)分别计算函数在区间[1，2] 与[3，4]上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律； (2)记A(1，f (1))，B(2，f (2))，C(3，f (3))，D(4，f (4))，判定直线AB与直线CD斜率的相对大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 [解]　(1)＝＝x2＋x1－2，所以在区间[1，2]上的平均变化率为1，在区间[3，4]上的平均变化率为5，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快． (2)由(1)知直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率小于直线CD的斜率． 类型2　比较不同函数平均变化率的大小 【例2】　【链接教材P40例2】 已知函数f (x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 [解]　因为＝＝2×3a， ＝＝2，＝＝log3， 又因为a＞1，所以2×3a＞2×31＝6， log3＜log3＝log32＜log33＝1＜6， 因此在区间[a，a＋1]上，f (x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 【教材原题·P40例2】 例2　已知函数f (x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝log2x，分别计算这三个函数在区间[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率，并比较它们的大小． [解]　因为 ＝＝2a， ＝＝1， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 ＝＝loga， 又因为a＞1时，有2a＞21＝2＞1， log2＜log2＝1， 所以在区间[a，a＋1]上，f (x)的平均变化率最大，h(x)的最小． 反思领悟　不同函数平均变化率大小的比较方法 计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[3，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． [解]　f (x)＝2x在区间[3，4]上的平均变化率为＝＝＝8． g(x)＝3x在区间[3，4]上的平均变化率为＝＝＝54． 由于8<54，故f (x)在区间[3，4]上的平均变化率比g(x)的小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 类型3　函数变化率大小的应用 【例3】　函数f (x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2． (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f (6)，g(6)， f (2 025)，g(2 025)的大小． [思路导引]　首先判断x1，x2的范围，再判断6和2 025在哪个区间内，从而得到f (6)与g(6)，f (2 025)与g(2 025)的大小，最后将四个值进行排序． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3， C2对应的函数为f (x)＝2x． (2)∵f (1)＞g(1)，f (2)＜g(2)， f (9)＜g(9)，f (10)＞g(10)， ∴1＜x1＜2，9＜x2＜10， ∴x1＜6＜x2，2 025＞x2． 从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f (x)＜g(x)， ∴f (6)＜g(6)． 当x＞x2时，f (x)＞g(x)， ∴f (2 025)＞g(2 025)． 又∵g(2 025)＞g(6)， ∴f (2 025)＞g(2 025)＞g(6)＞f (6)． 反思领悟　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 [跟进训练] 3．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为____________．(由大到小排列) 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 　[因为＝＝kOA， ＝＝＝＝kBC， 又因为由题图得kOA<kAB<kBC，所以．] 1．下列函数增长速度最快的是(　　) A．y＝3x B．y＝log3x C．y＝x3 D．y＝3x 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[结合函数y＝3x，y＝log3x，y＝x3，y＝3x的图象(图略)可知，随着x的增大，函数y＝3x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x3的增长速度，而y＝log3x的增长速度则会越来越慢，y＝3x的增长速度不变，故选A．] 4.5　增长速度的比较 2．如图所示，函数y＝f (x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 √ B　[＝＝＝－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 3．函数f (x)＝3x＋2在任意区间上的平均变化率为________，当自变量每增加1个单位时，函数值增加________个单位． 3　3　[设区间[a，a＋1]， 则＝＝3， 当自变量每增加1个单位时，函数值增加3个单位．] 3 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 4．已知函数f (x)＝x＋，则f (x)在[1，2]上的平均变化率为________，f (x)在[3，5]上的平均变化率为________． 　[自变量x从1变化到2时，函数f (x)的平均变化率为＝＝． 自变量x从3变化到5时，函数f (x)的平均变化率为＝＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．平均变化率的几何意义是什么？ [提示]　设A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))是曲线y＝f (x)上任意不同的两点，函数y＝f (x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示． 注意：Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1 附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 2．三类常见的不同函数增长的差异有哪些？   函数 y＝kx (k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) 性质 单调性 单调递增 增长 不变 先慢后快 先快后慢 图象 变化 随x的增大，图象均匀上升 随x的增大，图象上升的速度逐渐变快，当x很大时，呈 “爆炸式”增长 随x的增大，图象上升的速度逐渐变慢 [提示]　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 一、选择题 1．已知函数f (x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1＞k2　　　　　　　 B．k1＝k2 C．k1＜k2 D．不确定 课时分层作业(九)　增长速度的比较 B　[由平均变化率的几何意义知k1＝k2．故选B．] 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2 A　[由散点图可知，与指数函数拟合最贴切．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 39 3．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2　　　　 B．1 C．－1　　　　 D．6 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 B　[由已知，得＝26，即(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 40 √ 4．(多选)若函数f (x)＝x2由x＝1至x＝1＋Δx的平均变化率的取值范围是(1.975，2.025)，则增量Δx的取值可以为(　　) A．－0.1 B．0.001 C．0.01 D．0.1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 41 BC　[函数f (x)在区间[1，1＋Δx]上的增量Δf＝f (1＋Δx)－f (1)＝(Δx＋1)2－12＝Δx2＋2Δx， ∴f (x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝Δx＋2． ∵Δx＋2∈(1.975，2.025)， ∴Δx∈(－0.025，0.025)，故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 42 二、填空题 5．函数f (x)＝－3x＋9，g(x)＝在[1，2]上的平均变化率分别为________、________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 －3　－　[＝＝－3，＝＝－．] －3 －　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 43 6．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 y＝x2　[当x变大时，x比ln x增长要快， ∴x2要比x ln x增长的要快．] y＝x2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 44 三、解答题 7．已知函数f (x)＝2x＋1，g(x)＝－2x． (1)计算函数f (x)及g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小； (2)求使f (1＋Δx)＜g(1＋Δx)的Δx的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 45 [解]　(1)函数f (x)在[－3，－1]上的平均变化率为 ＝＝2． 函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 ＝－2． 因为2＞－2，所以函数f (x)在[－3，－1]上的平均变化率大于g(x)在[－3，－1]上的平均变化率． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 46 (2)f (1＋Δx)＝3＋2Δx， g(1＋Δx)＝－2－2Δx， 解f (1＋Δx)＜g(1＋Δx)，得Δx＜－， 即Δx的取值范围是． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 8．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示． 横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　) A．投资3天以内(含3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 48 ABC　[由题图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确； 投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确； 投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，且方案一的回报最高，C正确； 投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 49 √ 9．下面对函数f (x)＝lox，g(x)=和h(x)=在区间(0，＋∞)上的说法，正确的是(　　) A．f (x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越快，h(x)的递减速度越来越慢 B．f (x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递减速度越来越快 C．f (x)的递减速度越来越慢，g(x)的递减速度越来越慢，h(x)的递减速度越来越慢 D．f (x)的递减速度越来越快，g(x)的递减速度越来越快，h(x)的递减速度越来越快 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 50 C　[观察函数f (x)＝lox，g(x)=和h(x)=在区间(0，＋∞)上的图象，由图象(图略)可知：函数f (x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 51 10．已知函数f (x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 －2　[∵Δf＝f (1)－f (t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t， ∴＝＝－t，又＝2，∴t＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 52 11．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．(填序号) ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 ③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 53 ③　[在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误； 在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为．因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 54 12．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 x(月份) 2 3 4 5 6 … Y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝，他的同学却认为模型y＝更合适． (1)试问：用哪个函数模型更合适？ (2)大约在几月份小学生的人均零花钱超过100元？ (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 55 [解]　(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝及y＝的图象(如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图象上或附近，因此用y＝这一模型更符合． (2)当＝100时，2x＝300． 则x＝log2300＝＝≈8.230．∴x＝9． ∴大约在9月份小学生的人均零花钱会超过100元． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 56 13．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(　　) A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系不确定 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.5　增长速度的比较 57 A　[∵函数y＝f (x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝＝Δx(2x0＋Δx)， ∴k1＝＝2x0＋Δx． ∵函数y＝f (x)＝x2在[x0－Δx，x0]上的平均变化量为Δy＝f (x0)－f (x0－Δx)＝－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，∴k2＝＝2x0－Δx． ∵k1－k2＝2Δx，而Δx＞0，故k1＞k2． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 58 $