4.3 指数函数与对数函数的关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦指数函数与对数函数的关系，核心讲解反函数的概念、求法及性质，通过y=2ˣ与y=log₂x的图象对称问题导入，衔接指数、对数函数知识，搭建从具体函数到抽象反函数概念的学习支架。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，采用“情境问题-概念辨析-例题演练”教学流程，如通过图象对称归纳反函数定义，结合求反函数步骤培养数学运算能力。含分层练习与课堂评估，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3　指数函数与对数函数的关系 学习任务 1．借助教材实例归纳出反函数的概念和性质．(数学抽象) 2．会求简单函数的反函数．(数学运算) 3．利用指数函数、对数函数的图象、性质解决一些简单的问题．(数学运算、逻辑推理) 4.3　指数函数与对数函数的关系 图中给出了指数函数y＝2x，对数函数y＝log2x的图象，解决下面的问题． 必备知识·情境导学探新知 4.3　指数函数与对数函数的关系 问题：(1)y＝2x图象上的点(0，1)与y＝log2x图象上的点(1，0)关于哪一条直线对称？ (2)y＝2x图象上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝log2x的图象上吗？反过来，y＝log2x图象上任一点关于直线y＝x的对称点都在y＝2x的图象上吗？ (3)如何由y＝2x变换出y＝log2x? [提示]　(1)关于直线y＝x对称． (2)都在y＝log2x的图象上，都在y＝2x的图象上． (3)y＝2x　　　x＝log2y　　　y＝log2x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 知识点1　反函数的概念与记法 1．反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f (x)中，给定值域中任意一个__的值，只有________与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f (x)的反函数．此时，称y＝f (x)存在______． 2．反函数的记法 函数y＝f (x)的反函数通常用________________表示． 提醒　f -1(x)是函数f (x)的反函数，而不是f (x)的－1次幂：[f (x)]-1． y 唯一的x 反函数 y＝f -1(x) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 思考　如何准确理解反函数的定义？ [提示]　(1)反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域． (2)对于任意一个函数y＝f (x)，不一定总有反函数．如y＝x2＋1(x∈R)就没有反函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 3．反函数的求法 对调y＝f (x)中的x与y，然后从x＝f (y)中求出y得到． 提醒　 如果y＝f (x)是单调函数，那它的反函数y＝f -1(x)一定存在． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 知识点2　函数与其反函数的性质的关系 1．定义域、值域：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． 2．图象：互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数． 3．单调性：互为反函数的两函数单调性一致． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 拓展　y＝f (x)与y＝f -1(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)若函数y＝f (x)的图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图象上；反之，若点(b，a)在y＝f (x)的反函数的图象上，则点(a，b)必在函数y＝f (x)的图象上． (2)特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线y＝x对称，如反比例函数y＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 知识点3　指数函数与对数函数的关系 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为______． 反函数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝x2的反函数为y＝． (　　) (2)函数y＝10x的反函数为y＝lg x． (　　) (3)函数y＝f (x)的定义域为[0，1)，则其反函数的值域为[0，1)． (　　) × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 [提示]　(1)×．函数y＝x2先减后增，不是单调函数，所以y＝x2不存在反函数． (2)√ (3)√．反函数的值域是原函数的定义域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝－log2x与y＝2－x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于y＝x对称 √ D　[y＝－log2x＝lox与y＝2－x＝互为反函数，图象关于y＝x对称，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 3．函数y＝f (x)＝1＋(x＞0)的反函数为_________________． f -1(x)＝(x＞1)　[∵x＞0，∴y＝1＋＞1， 由y＝1＋，对调其中的x和y，得x＝1＋， 解得y＝， 即f -1(x)＝(x＞1)．] f -1(x)＝(x＞1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 4．函数f (x)＝2x＋b的反函数过点(1，2)，则实数b的值为____． －3　[依题意函数f (x)＝2x＋b过点(2，1)，即2×2＋b＝1， ∴b＝－3．] －3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 类型1　求函数的反函数 【例1】　【链接教材P32例1】 求下列函数的反函数： (1)y＝；(2)y＝5x＋1；(3)y＝x2(x≤0)． 关键能力·合作探究释疑难 4.3　指数函数与对数函数的关系 [解]　(1)由y＝，得x＝loy，且y>0， ∴f -1(x)＝lox(x>0)． (2)由y＝5x＋1，得x＝， ∴f -1(x)＝(x∈R)． (3)由y＝x2得x＝±． 因为x≤0，所以x＝－． 所以f -1(x)＝－(x≥0)． 【教材原题·P32例1】 例1　分别判断下列函数是否存在反函数，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数． (1) x 1 2 3 4 5 f (x) 0 0 1 3 5 (2) x 1 2 3 4 5 g(x) －1 0 1 －2 5 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 [解]　(1)因为f (x)＝0时，x＝1或x＝2，即对应的x不唯一，所以f (x)的反函数不存在． (2)因为对g(x)的值域{－1，0，1，－2，5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，所以g(x)的反函数g-1(x)存在，而且反函数可以表示如下． x －2 －1 0 1 5 g-1(x) 4 1 2 3 5 反思领悟　求反函数的一般步骤 (1)求值域：由函数y＝f (x)求y的范围． (2)解出x：由y＝f (x)解出x＝f -1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个． (3)得反函数：将x，y互换得y＝f -1(x)，注意定义域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 [跟进训练] 1．(1)已知函数y＝ex的图象与函数y＝f (x)的图象关于直线y＝x对称，则(　　) A．f (2x)＝e2x(x∈R) B．f (2x)＝ln 2·ln x(x>0) C．f (2x)＝2ex(x∈R) D．f (2x)＝ln 2＋ln x(x>0) (2)求函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 (1)D　[由题意知函数y＝ex与函数y＝f (x)互为反函数，y＝ex>0，所以f (x)＝ln x(x>0)．则f (2x)＝ln (2x)＝ln 2＋ln x(x>0)．] (2)[解]　由y＝0.2x＋1得x＝log0.2(y－1)， 对换x，y得y＝log0.2(x－1)． ∵原函数中x≤1，y≥1.2， ∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)， 因此y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)． 类型2　反函数性质的应用 【例2】　【链接教材P32例2】 已知函数f (x)＝ax＋b的图象过点(1，7)，其反函数f -1(x)的图象过点(4，0)，则f (x)的表达式为(　　) A．4x＋3 B．3x＋4 C．5x＋2 D．2x＋5 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 A　[∵f (x)的反函数图象过点(4，0)，∴f (x)的图象过点(0，4)，又 f (x)＝ax＋b的图象过点(1，7)，所以有方程组 ∴a＝4且b＝3，故f (x)的表达式为4x＋3．故选A．] [母题探究] 1．(变结论)在本例的条件下，求f [f -1(11)]的值． [解]　根据反函数的性质得f [f -1(11)]＝11． 2．(变条件、变结论)函数y＝4x＋3与函数y＝log4(x－3)(x＞3)的图象之间有什么关系？ [解]　∵y＝4x＋3与y＝log4(x－3)互为反函数， ∴二者的图象关于直线y＝x对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 【教材原题·P32例2】 例2　判断f (x)＝2x＋2的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，写出反函数f -1(x)的解析式，并在同一平面直角坐标系中作出f (x)与f -1(x)的函数图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 [解]　因为f (x)＝2x＋2是增函数，所以任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，于是f (x)存在反函数． 令y＝2x＋2，对调其中的x和y得x＝2y＋2，解得 y＝－1， 因此 F -1(x)＝x－1． f (x)与f -1(x)的函数图象如图4-3-2所示． 反思领悟　1．定义域、值域关系的应用 原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系进行转化，不必求出反函数或原函数． 2．图象的应用 原函数的图象与反函数的图象关于直线y＝x对称，点P(x，y)关于y＝x的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 类型3　指数函数与对数函数的综合应用 【例3】　已知f (x)＝(a∈R)，f (0)＝0． (1)求a的值，并判断f (x)的奇偶性； (2)求f (x)的反函数； (3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f -1(x)>log2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 [解]　(1)由f (0)＝0，得a＝1，所以f (x)＝． 因为f (x)＋f (－x)＝＝＝0， 所以f (－x)＝－f (x)，即f (x)为奇函数． (2)因为f (x)＝y＝＝1－， 所以2x＝(－1<y<1)， 所以f -1(x)＝log2． (3)因为f -1(x)>log2， 即log2>log2， 所以所以 所以当0<k<2时，原不等式的解集为{x|1－k<x<1}； 当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 反思领悟　解对数不等式的常见解法 (1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集． (2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等于1，并注意与1的大小的讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 [跟进训练] 2．(1)已知函数y＝f (x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，则f (lg 3)·f (lg 4)＝(　　) A．lg 7 B．10 C．12 D．107 (2)设函数f (x)＝2x＋p(p为常数且p∈R)． ①若f (3)＝5，求f (x)的解析式； ②在(1)的条件下，解方程：f -1(x)＝log2(x＋1)＋log2(2x－1)． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 (1)C　[因为函数y＝f (x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝f (x)与函数y＝lg x互为反函数，所以f (x)＝10x， 所以f (lg 3)·f (lg 4)＝10lg 3×10lg 4＝3×4＝12．故选C．] (2)[解]　①由题设可得23＋p＝5⇒p＝－3， 所以f＝2x－3． ②由(1)可得f -1＝log2， 于是方程log2＝log2(x＋1)＋log2(2x－1)，即x＋3＝， 解得x1＝，x2＝－(舍去)，所以方程的根为x＝． 1．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是(　　) A．(0，＋∞) B．R C．(－∞，0) D．(0，1) 学习效果·课堂评估夯基础 √ A　[由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域．] 4.3　指数函数与对数函数的关系 2．若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f (x)＝(　　) A．log2x　　 B．lox C．　　 D．x2 √ B　[因为y＝ax的反函数为y＝logax，又此函数经过点(，a)，因此loga＝a，解得a＝，所以f (x)＝lox．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 3．已知函数f (x)的反函数为g(x)＝1＋2lg x(x＞0)，则f (1)＋g(1)＝________． 2　[∵y＝g(x)＝1＋2lg x(x＞0)， ∴lg x＝(y－1)，x＝1， ∴y＝g(x)的反函数为y＝f (x)＝1， ∴f (1)＋g(1)＝100＋(1＋2lg 1)＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 4．已知f (x)＝2x＋b的反函数为f -1(x)，若y＝f -1(x)的图象过点Q(5，2)，则b＝________． 1　[f -1(x)的图象过点Q(5，2)，则f (x)的图象过点(2，5)，则f (2)＝5，即22＋b＝5，解得b＝1．] 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 回顾本节内容，自主完成以下问题： 1．互为反函数的图象间有怎样的关系？ [提示]　若函数y＝f (x)(定义域为A，值域为B)存在反函数y＝f -1(x)，则 (1)y＝f (x)与y＝f -1(x)的图象不一定有交点，若有交点，它们的交点不一定在直线y＝x上． (2)若b＝f (a)，则a＝f -1(b)，f -1[f (a)]＝a，f [f -1(b)]＝b． (3)若f (x)＝f -1(x)⇔f (x)的图象关于直线y＝x对称． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 2．本节课的易错点是什么？ [提示]　本节课的易错点是求反函数时忘记写反函数的定义域． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．(教材P33习题4-3AT2改编)函数y＝log3x的反函数是(　　) A．y＝　　　 B．y＝3x C．y＝ D．y＝x3 课时分层作业(七)　指数函数与对数函数的关系 41 B　[∵y＝log3x，∴3y＝x，∴函数y＝log3x的反函数是y＝3x，故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．若函数y＝f (x)是函数y＝的反函数，则f 的值为(　　) A．－log23 B．log32 C．1 D．log23 B　[因为函数y＝f (x)是函数y＝的反函数， 所以f (x)＝lox，f 2-1＝log32．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 43 3．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是图中的(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[因为a>1时，y＝a－x＝，0<<1，所以函数y＝a－x是减函数，恒过(0，1)点，y＝logax为增函数，恒过(1，0)点，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 44 √ 4．若函数y＝f (x)的反函数为f -1(x)＝ln ＋1，则f (2)的值等于(　　) A．1 B．e C．1＋ln D．e2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[∵f -1(x)＝ln ＋1，∴f (x)＝e2x-2， ∴f (2)＝e2，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 45 √ 5．(多选)函数y＝f (x)是y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，则下列结论正确的是(　　) A．f (x2)＝2f (|x|) B．f (2x)＝f (x)＋f (2) C．f ＝f (x)－f (2) D．f (2x)＝2f (x) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 46 ABC　[因为函数y＝f (x)是y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以f (x)＝logax， 所以f ＝loga2x＝loga2＋logax＝f (x)＋f (2)≠2f (x)，B正确，D错误；f ＝logax2＝2loga|x|＝2f (|x|)，A正确；f ＝logax－loga2＝f (x)－f (2)，C正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 二、填空题 6．已知函数f (x)＝1＋logax，y＝f -1(x)是函数y＝f (x)的反函数，若y＝f -1(x)的图象过点(2，4)，则a的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4　[因为y＝f -1(x)的图象过点(2，4)，所以函数y＝f (x)的图象过点(4，2)，又因为f (x)＝1＋logax， 所以2＝1＋loga4，即a＝4．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 48 7．已知函数y＝ax＋2与函数y＝3x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a的值为________，b的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　－6　[由y＝ax＋2对调x和y，解得y＝x－， 依题意得即] 　 －6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 49 8．将函数y＝2x的图象向左平移一个单位长度，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位长度得到图象C2，作出C2关于直线y＝x的对称图象C3，则C3的解析式为________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 y＝log2(x－1)－1　[将函数y＝2x的图象向左平移一个单位长度，得到函数y＝2x+1的图象，再将y＝2x+1的图象向上平移一个单位长度得到图象对应的解析式为y＝2x+1＋1，作出y＝2x+1＋1关于直线y＝x对称的图象，它是y＝2x+1＋1的反函数的图象，由反函数的定义知，C3的解析式为y＝log2(x－1)－1．] y＝log2(x－1)－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 50 三、解答题 9．已知函数f (x)＝lg ． (1)求f (x)的反函数； (2)若f (a)＝－1，求实数a的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 51 [解]　(1)设y＝lg ，∴10y＝， 变形可得x＝，将x，y互换可得f (x)的反函数f -1(x)＝(x≠0)． (2)法一：∵f (x)＝lg ，又f (a)＝－1， ∴lg ＝－1，∴＝，解得a＝． 法二：由f (a)＝－1得a＝f -1(－1)＝＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 √ 10．若函数f (x)＝ax(a>0且a≠1)为增函数，则函数g(x)＝lo的图象是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　　　　B　　　　C　　　　　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 53 C　[∵f (x)＝ax(a>0且a≠1)为增函数， ∴a>1． ∴g(x)＝lo＝loga(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 √ 11．(多选)设函数f (x)的定义域为D，若对任意x∈D，存在y∈D，使得f (y)＝－f (x)成立，则称函数f (x)为“美丽函数”，下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．f (x)＝ln (2x＋3) D．y＝2x＋3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 55 BCD　[由题知，函数f (x)若对任意x∈D，存在y∈D， 使得f (y)＝－f (x)成立，函数f (x)为“美丽函数”． A中函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不符合定义； B中函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，符合定义； C中函数f (x)＝ln (2x＋3)的值域为R，符合定义； D中函数y＝2x＋3的值域为R，符合定义．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 12．已知函数f (x)＝的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0． 其中正确命题的序号为_____．(将你认为正确的命题的序号都填上) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ②③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 57 ②③　[由题意得g(x)＝lox， ∴h(x)＝lo(1－|x|)(－1＜x＜1)， ∴h(x)是偶函数，②正确，①错误． ∵0＜1－|x|≤1，∴h(x)min＝0， 故③正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 13．把下面不完整的命题补充完整，并使其成为真命题． 若函数f (x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________．(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 59 [答案]　①x轴　－3－log2x ②y轴　3＋log2(－x) ③原点　－3－log2(－x) ④直线y＝x　2x-3 (答案不唯一，写出符合题意的一种即可) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 14．已知函数f (x)＝loga(2－x)(a＞1)． (1)求函数f (x)的定义域、值域； (2)求函数f (x)的反函数f -1(x)； (3)判断f -1(x)的单调性． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)要使函数f (x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故函数f (x)的定义域为(－∞，2)，值域为R． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 61 (2)由y＝loga(2－x)对调x和y，得2－y＝ax，即y＝2－ax． ∴f -1(x)＝2－ax(x∈R)． (3)f -1(x)在R上是减函数． 证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2， 则f -1(x2)－f -1(x1)＝＝． ∵a＞1，x1＜x2， ∴，即＜0， ∴f -1(x2)＜f -1(x1)， ∴y＝f -1(x)在R上是减函数． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 15．已知函数f (x)＝则f (x)的反函数是 ______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 f -1(x)＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.3　指数函数与对数函数的关系 63 f -1(x)＝　[当x>0时，f (x)＝log2(x＋2)>1， 由y＝log2(x＋2)可得x＝2y－2； 当x≤0时，f (x)＝，由y＝，解得x＝，由x＝≤0，解得0≤y<1． 因此函数f (x)的反函数是f -1(x)＝ ] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 $