精品解析：河北省盐山中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5 5. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 6. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列的公比为，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. ，，成等差数列 10. 动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（ ） A. 椭圆焦距为3 B. 离心率 C. 面积最大值为12 D. 和斜率乘积为定值 11. 设直线与函数的图象有三个交点，其坐标分别为，且，则（ ） A. 的图象的对称中心为 B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则公差为__________. 13. 已知，则的值为________. 14. 三棱锥中，已知，当平面与平面的夹角最大时，三棱锥的体积的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，，求； （2）求，的值域． 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 17. 如图，在斜三棱柱 中， 在底面 上的射影恰为的中点 . （1）证明: 平面 ; （2）求二面角 的正弦值. 18. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 19. 已知函数 （1）若为偶函数，求的值； （2）若讨论函数在上零点的个数； （3）当时，设，当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2.作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算等号右边模长，再由复数的乘法运算和虚部的概念求解可得. 【详解】，所以，则，即， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解对数不等式，再结合交集的定义运算即可. 【详解】， 由，即，解得，所以. 故选：B. 3. 设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是定义域为的奇函数，可得，结合题设可得，进而得到，即可得到是周期为2的周期函数，进而求解即可. 【详解】由题意，是定义域为的奇函数，则， 由，则， 所以， 则是周期为2的周期函数，所以. 故选：C 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量坐标运算法则结合向量平行性质可得，再利用数量积公式计算即可得解. 【详解】已知，则， 因为，所以，解得， 则，所以. 故选：C. 5. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由点在抛物线上求参数值，再由抛物线的定义求焦半径. 【详解】由题意，得，解得，则. 故选：D 6. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 7. 已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先对原函数求导，根据已知条件求出的值，进而求出原函数的表达式，再利用基本不等式或二次函数的性质求导函数的最小值. 【详解】因为在时取极小值， 所以在处成立. 即：，所以. 当时，， 当时，，当时，， 所以在时取得极小值，故. 所以原函数表达式为：. 导函数的表达式为： 因为，所以根据基本不等式. 所以导函数的最小值为：. 故选：C. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项等比数列的公比为，若，且，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. ，，成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，求得公比，进而确定通项公式，再逐项判断即可. 【详解】对于选项A：由，可得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：所以，故B正确； 对于选项C：可得， 令，即， 显然该方程无整数解，所以不是数列中的项，故C错误； 对于选项D：因为，，， 且，即 所以，，成等差数列，故D正确； 故选：ABD. 10. 动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（ ） A. 椭圆焦距为3 B. 离心率 C. 面积最大值为12 D. 和斜率乘积为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】由焦点弦三角形的周长为得，由左顶点和上顶点距离为得，从而，判断AB选项，由焦点弦三角形的面积判断C选项，由直线斜率公式和椭圆上的点满足椭圆的方程计算判断D选项. 【详解】因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，故A错误； ，故B正确； ， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故C正确； 设，则，即， 因为，，所以，， 故不是定值，故D错误. 故选：BC. 11. 设直线与函数的图象有三个交点，其坐标分别为，且，则（ ） A. 的图象的对称中心为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：验证为奇函数通过图像平移可得的对称中心；对B：结合函数性质可得，由，计算即可得解，对C：结合函数性质可得，即可得解，对D：由题意可得则可借助表示出及，即可得解. 【详解】因为为奇函数，其图象关于原点对称，则的图象关于点对称，A正确． 因为，则为函数的3个零点， 所以． 比较等式两边各项的系数，得， 所以，B错误． 因为， 则当时，单调递减； 当或时，单调递增， 所以的极大值为，极小值为． 作的大致图象如图所示， 由图可知，， 则，C正确． 因为， 则． 由图可知，，则，所以，D正确． 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则公差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式转化得到，代入中化简即可. 【详解】由，得，即， 所以，则. 故答案为： 13. 已知，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得，再利用二倍角公式可求得值. 【详解】， ， 故答案为：. 14. 三棱锥中，已知，当平面与平面的夹角最大时，三棱锥的体积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设得当平面与平面的夹角最大时为平面与平面垂直时，建立坐标系，结合椭圆和双曲线的定义以及向量垂直的坐标表示得到，进而由可进行转化求解. 【详解】当平面与平面的夹角最大时为平面与平面垂直时， 以中点为原点，平面与平面所在平面分别为平面和平面建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为， 所以点为平面上以为焦点､实轴长为的椭圆上的点， 该椭圆方程为，设，则， 又因为，所以为平面上以为焦点､实轴长为的双曲线上的点，该双曲线方程为，设， 则，所以， 因为，所以， 所以三棱锥的体积为， 所以 ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，，求； （2）求，的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，再结合诱导公式可求出； （2）由题意得，由求出的范围，再结合余弦函数的性质可求出函数的值域. 【小问1详解】 由，得， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 由，得，则， 所以，所以， 所以所求函数的值域为. 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【小问1详解】 依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 17. 如图，在斜三棱柱 中， 在底面 上的射影恰为的中点 . （1）证明: 平面 ; （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又，，所以， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）取的中点，设，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据求出，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 可得，设， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 因为，所以，即， 解得，，舍去， 所以， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 设为的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以， 设二面角的平面角为， 则. 所以二面角 的正弦值为. 18. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）丙先参赛，理由如下： 若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 【解析】 【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案； （2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断. 【小问1详解】 （i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. 【小问2详解】 略 【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖. 2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较. 19. 已知函数 （1）若为偶函数，求的值； （2）若讨论函数在上零点的个数； （3）当时，设，当时，，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）2； （3）. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质得到，结合已知即可得； （2）由题设，讨论的范围，结合导数、零点存在性定理研究的零点分布情况，即可得； （3）讨论当、，结合，并应用导数研究的单调性，由不等式恒成立确定参数范围即可. 【小问1详解】 由，则， 所以恒成立，又，则； 【小问2详解】 由题设，则， 当时在上单调递增，，无零点； 令，则， 当时，， 所以在上单调递增，， 所以，所以存在，满足， 时，时，为函数极小值点， ，所以在时存在唯一零点. 当时，，则，当时，， 综上，时，恒成立， 所以函数有2个零点. 【小问3详解】 当时，，故， 所以在上单调递增，则， 当时，， 令， 则，若，则，在单调递增， 若，则先正后负，在先单调递减后单调递增， 又， 存在，使，可得， 若，则在上单调递减； 若，则在上单调递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $