精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2025-2026学年九年级上学期期中质量检测数学试题

2025－2026学年度第一学期期中质量检测九年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，5， B. 1，， C. 1，，3 D. 1，5，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，5，． 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟知一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 故选：C． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 6. 如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．先由已知得，根据旋转的性质得，，，，最后根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上， ∴，，，， ∴， ∴， 故选：A． 7. 已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2或﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得的值． 【详解】解：把代入方程， 可得 ， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解一元二次方程，关键是掌握能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解． 8. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 分别计算各选项方程的根的判别式，然后根据计算的结果分别判断根的情况即可． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根； B、，方程没有实数根； C、，方程没有实数根； D、，方程没有实数根； 故选：A． 9. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握该知识点并找出等量关系是解题的关键．设比赛组织者应邀请个队参赛，那么每个队都要参加场比赛，那么总共有场比赛，然后根据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”，列出方程即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，那么有 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图形的平移，涉及函数图像的平移法则：左加右减、上加下减等知识，根据题中要求，按照函数图像平移法则求解即可得到答案，熟记函数图像平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是， 故选：C． 11. 如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，点D的对应点是点B．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用证明，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转到的位置，点D的对应点是点B． ∴，，， ∴， ∴点G、B、E共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 12. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 二、填空题：（每小题4分，4个小题共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意列出方程是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．根据题意经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元，据此列出方程即可． 【详解】解：初始价格为16元，平均每次降价的百分率为， 则经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元． 根据题意，两次降价后价格为9元，因此方程为． 故答案为：． 15. 抛物线的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式或配方法的应用是解题的关键．抛物线图象开口向上，其最小值在抛物线顶点处取得，通过顶点公式计算即可求解． 【详解】抛物线的系数，，， 顶点横坐标， 将顶点横坐标代入得， 因为抛物线图象开口向上， 其最小值在抛物线顶点处取得， 所以抛物线的最小值是， 故答案为：． 16. 已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为______ 【答案】1 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的解，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求出k的值． 【详解】解：将代入方程 中， 得：， 解得：， 故答案为：1． 三、解答题：（9个小题，共98分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）直接利用完全平方公式解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，． 18. 如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为． （1）请画出将绕点A顺时针旋转后得到的； （2）请画出关于原点O成中心对称的； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——旋转与中心对称，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键 （1）根据旋转的定义作出点B、C绕点A顺时针旋转后得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可得； （2）根据中心对称的概念作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可得； （3）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 19. 根据要求，解答下列问题． （1）根据要求，解答下列问题． ①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________； ②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________； ③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________； …… …… （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________； ②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n． （3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性． 【答案】（1）①；②；③．（2）①， ②；（3）． 【解析】 【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可. 【详解】（1）①； ②； ③． （2）①； ②． （3） x2－9x＋＝－8＋ (x－ )2＝ ∴x－＝±． ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键. 20. 如图所示，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度AB为4m，跨度OC为10m． （1）请建立适当直角坐标系，并求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）如图，在AB右边1m的D处所对应桥洞离水面的高是多少？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可以设抛物线的顶点式，然后根据函数图象过点，即可求出这条抛物线所对应的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可求得在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高度． 【小问1详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设这条抛物线所对应的函数关系式是， ∵该函数过点， ∴， 解得，， ∴这条抛物线所对应的函数关系式是； 【小问2详解】 解：当时，， 即在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的二次函数解析式． 21. 如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么这个旋转的角度等于多少度？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及平角的应用．由旋转角的定义（旋转前后，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角）可知旋转角是，根据点、、在同一条直线上，可得． 【详解】在三角尺中，，旋转角是， 点、、在同一条直线上， ， 故这个旋转的角度等于． 22. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 【答案】（1）50%；（2）27． 【解析】 【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果． 【详解】解：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：， 解得，(不符合题意舍去) 答：政府投资平均增长率为50%； （2）由题意得(万平方米) 答：2015年建设了27万平方米廉租房． 23. 如图，四边形是正方形，点F是延长线上一点，连接，绕点A旋转一定角度后得到，若，． （1）直接写出旋转角的度数； （2）求的长度； （3）求证直线． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：延长交于点，如图： 由旋转的性质可得： 又∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知为旋转角，即可求解； （2）根据旋转的性质可得，，，即可求解； （3）延长交于点，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得：为旋转角，所以旋转角为； 【小问2详解】 解：根据旋转的性质可得，，， ∴ 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是灵活利用旋转的有关性质进行求解． 24. 某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-2x+60，10≤x≤18；（2）16元/kg；（3）W=-2（x-20）2+200，18元，192元． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过（12，36）（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）根据总利润为168元列方程解答即可， （3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求． 【详解】（1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得： ， 解得：k=-2，b=60， ∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60， 通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式， 因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60． 自变量的取值范围为：10≤x≤18． （2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168， 解得：x=16，x=24舍去， 答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg； （3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200， ∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵10≤x≤18， ∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元， 答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）对称轴为直线、顶点坐标为 （3）存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； 【小问3详解】 解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中质量检测九年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，5， B. 1，， C. 1，，3 D. 1，5，3 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. ， D. ， 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，则度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2或﹣2 8. 下列一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，点D的对应点是点B．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 12. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，4个小题共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意列出方程是______________． 15. 抛物线的最小值是__________． 16. 已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为______ 三、解答题：（9个小题，共98分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在的网格中，每个格子都是边长为1的小正方形，已知三个顶点的坐标分别为． （1）请画出将绕点A顺时针旋转后得到的； （2）请画出关于原点O成中心对称的； （3）求的面积． 19. 根据要求，解答下列问题． （1）根据要求，解答下列问题． ①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________； ②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________； ③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________； …… …… （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________； ②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n． （3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性． 20. 如图所示，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度AB为4m，跨度OC为10m． （1）请建立适当直角坐标系，并求这条抛物线所对应的函数关系式． （2）如图，在AB右边1m的D处所对应桥洞离水面的高是多少？ 21. 如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么这个旋转的角度等于多少度？ 22. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 23. 如图，四边形是正方形，点F是延长线上一点，连接，绕点A旋转一定角度后得到，若，． （1）直接写出旋转角的度数； （2）求的长度； （3）求证直线． 24. 某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $