精品解析：四川省绵阳市梓潼县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年九年级上学期期中试卷 （九年级数学） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程（，P为常数，且）有两个不相等的整数根，这样的P有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（　　） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 7. 将抛物线y=5(x−1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小球悬浮于液体中，若，小球质量为，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 或1 D. 或4 9. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 二次函数的图象与轴的交点坐标是________. 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 15. 若是方程的一个根，设，则M与N的大小关系为M_____N．（填“”“”或“”） 16. 若点，在二次函数的图象上，则_____（填，或）． 17. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 18. 已知函数，当时，函数的最大值等于________． 三、解答题（共46分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 设二次函数 （a， b，c是实数，且 ）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x ... 0 1 2 3 y .. 0 1 0 （1）求二次函数的表达式． （2）若点是抛物线上一点，且，求 n的取值范围． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）如果该方程有一个根小于1，求m的取值范围． 22. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 23. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？ （2）在（1）中，面积能否等于？请说明理由． 24. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为t． （1）则 ， ， ；（用含t的式子表示） （2）求出的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围； （3）结合（2）所得的函数，描述的面积S随移动时间t增大如何变化． 25. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中试卷 （九年级数学） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程－配方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：， 配方得，即． 故选：B． 3. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥-2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得对称轴不超过3，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数=x2-2ax+a2-2a-4（a为常数）的图象与x轴有交点， ∴△=（-2a）2-4×1×（a2-2a-4）≥0． 解得：a≥-2； ∵抛物线的对称轴为直线x==a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是-2≤a≤3． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 4. 若一元二次方程（，P为常数，且）有两个不相等的整数根，这样的P有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的解的情况求参数，解不等式组，根据题意可得，再由得到，则，根据方程的解为整数，得到或或或或，据此可推出的值，根据的值，看方程是否有两个不同的整数解即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∵x为整数， ∴或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴当时，或，当时，或，当时，（即两个相等的实数根），不符合题意，舍去， ∴这样的P有2个， 故选：B． 5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（　　） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【答案】C 【解析】 【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝30t﹣5t2的顶点坐标即可． 【详解】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0，0≤t≤6， ∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动3秒时，小球最高， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，掌握二次函数的性质． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查利用一元二次方程根的情况求参数，根据判别式及二次项系数不等于零即可求出答案 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∴，， 解得且， 故选：C． 7. 将抛物线y=5(x−1)2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位长度，得到平移后解析式为：y＝5（x﹣1）2+1+2，即y＝5（x﹣1）2+3， ∴再向右平移3个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝5（x﹣1﹣3）2+3， 即y＝5（x﹣4）2+3． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 8. 如图，小球悬浮于液体中，若，小球质量为，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 或1 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是能正确列出方程，先根据题意列出方程，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故选：C 9. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 10. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 11. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】由开口向下得到，由对称轴在轴右侧得到，由函数图象与轴的交点在轴正半轴上得到，然后得到； 由函数图象与轴的交点个数得到； 由图象可知，当时，； 由图象可知，当时，，得到，然后得到与、之间的关系，再代入得到结果． 【详解】解：开口向下，对称轴在轴右侧，函数图象与轴的交点在轴正半轴上， ，，， ，故错误，不符合题意； 由图可知，函数图象与轴由个交点， ， ，故正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意， 正确的个数有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是能够从函数图象中提取关于、、的信息． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 二次函数的图象与轴的交点坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象与y轴相交的特点即可求出坐标. 【详解】解：由二次函数的图象与y轴相交，则，代入得：，则图象与y轴交点坐标是. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，且二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为9． 15. 若是方程的一个根，设，则M与N的大小关系为M_____N．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．利用作差法进行计算比较． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． ， ． 故答案为：． 16. 若点，在二次函数的图象上，则_____（填，或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征．通过计算二次函数在给定点的函数值，比较纵坐标大小即可． 【详解】解：对于点， 将代入二次函数，得：， 对于点， 将代入二次函数，得： ， ． 故答案为：． 17. 二次函数、的图象如图所示，则m_____n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【详解】试题分析：令x＝1，则y1＝m，y2＝n， 由图象可知当x＝1时，y1＞y2， ∴m＞n． 故答案为＞． 点睛：本题主要考查了二次函数的图象，数形结合是解决此题的关键． 18. 已知函数，当时，函数的最大值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键．首先求出二次函数的对称轴，得出当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求出最值． 【详解】解：的对称轴， 且，图象开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 且当时，， 当时，， ， 当时，函数的最大值等于， 故答案为：8． 三、解答题（共46分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ，． 20. 设二次函数 （a， b，c是实数，且 ）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x ... 0 1 2 3 y .. 0 1 0 （1）求二次函数的表达式． （2）若点是抛物线上一点，且，求 n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征； （1）把，；，；，代入二次函数，得到关于，，的三元一次方程组，解方程组，求出，，的值即可； （2）把点的坐标代入二次函数的解析式，把用表示出来，根据的取值范围，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 把，；，；，代入二次函数得： ， 解得：， 二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 ， 对称轴为直线，当时，有最大值1， 点是抛物线上一点，且， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为：． 21. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）如果该方程有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】（1） 解：依题意，得， 不论m取任何实数，该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与解一元二次方程，熟练运用根的判别式是解题的关键． （1）判断一元二次方程根的情况，算出根的判别式，即可得出结论； （2）对方程进行求解，再根据方程有一个根小于1，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 整理得：， 解得，， 方程有一个根小于1， ， ． 22. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应降低3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据当“户太八号”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克即可求解，根据总利润每千克的利润销售数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由题意得： ，（舍去） 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元， 答：销售单价应降低3元． 23. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？ （2）在（1）中，面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）3秒 （2） 在（1）中，面积不能等于，理由如下： 由（1）可知，， ∴， ∴在（1）中，面积不能等于． 【解析】 【分析】（1）设经过t秒后，PQ的长度等于，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）由（1）可知，再由三角形面积公式求出面积，即可得出结论． 【小问1详解】 设经过t秒后，PQ的长度等于． ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴3秒后，的长度为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为t． （1）则 ， ， ；（用含t的式子表示） （2）求出的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围； （3）结合（2）所得的函数，描述的面积S随移动时间t增大如何变化． 【答案】（1），， （2）； （3）当时，S随移动时间t增大而增大，当时，S随移动时间t增大而减小． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意用t表示出； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 则， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴是， 当时，S随移动时间t增大而增大，当时，S随移动时间t增大而减小． 25. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4 ∵（y＋2）2≥0， ∴（y＋2）2＋4≥4 ∴y2＋4y＋8的最小值是4． （1）求代数式x2＋2x＋4的最小值； （2）求代数式4－x2＋2x的最大值； （3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【解析】 【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可． 【详解】解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3 ∵（x＋1）2≥0， ∴（x＋1）2＋3≥3 ∴x2＋2x＋4的最小值是3． （2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5 ∵（x－1）2≥0， ∴－（x－1）2≤0 ∴－（x－1）2＋5≤5 ∴4－x2＋2x的最大值是5． （3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得 S＝AB·BC ＝x（20－2x） ＝－2x2＋20x ＝－2（x2－10x） ＝－2（x2－10x＋25－25） ＝－2（x－5）2＋50 ∵－2（x－5）2≤0 ∴－2（x－5）2＋50≤50 ∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $