精品解析：四川省南充市百校联考2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

26届高二考试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，，则“”的充要条件是（ ）． A. B. C 或 D. 或4 2. 已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（ ）． A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 3. 过点可以向圆引两条切线，则t的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 4. 在四面体中，点满足，为的中点，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 已知是平面内一点，是平面外一点，且平面的一个法向量为，则点Q到平面的距离为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在平行四边形中，，，如图2，沿将折起到的位置，使得点到点的距离为，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D. 若与的夹角为钝角，则 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 11. 如图，正方体的棱长为2，F是线段的中点，E是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）． A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的一般式方程为______． 13. 过点作圆的切线，切点为，则______． 14. 对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： （1）； （2）平面． 16. 设直线与． （1）若，求m的值； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时，求m的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，的中点分别为D，E，F． （1）证明：平面平面． （2）若，且与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为，过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程，即，其中． （1）已知直线点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值． （2）已知平面一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，，证明：． （3）在斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26届高二考试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，，则“”的充要条件是（ ）． A. B. C. 或 D. 或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一般方程条件下两直线平行的充要条件求解即可. 【详解】因为，所以，即.解得或． 当时，，，此时两直线重合，舍去； 当时，，，此时． 故“”的充要条件是“”． 故选：A. 2. 已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个不共面的空间向量基底可以构成空间的一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底.所以选项A不正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则B不正确； 对于C，设，所以，x，y无实数解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，则C正确； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则D不正确． 故选：C. 3. 过点可以向圆引两条切线，则t的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过点在圆外，即可求解． 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得． 又点在圆外，所以， 解得， 所以t的取值范围为． 故选：D 4. 在四面体中，点满足，为的中点，若，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】用表示求出即可得解. 【详解】由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 5. 已知是平面内一点，是平面外一点，且平面的一个法向量为，则点Q到平面的距离为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到平面的距离公式求解即可． 【详解】因为，，则， 又平面的一个法向量为， 所以点Q到平面的距离为． 故选：A． 6. 在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为（ ）． A. 10 B. 20 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量法证明三棱锥的高，再求解向量的夹角，从而可求三棱锥的体积． 【详解】由，，， 得，，所以，． 又，，平面， 所以平面． 因为，所以， 所以． 故选：D 7. 若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得直线为过点的动直线，曲线为以为圆心，1为半径的半圆，进而结合图象求解即可. 【详解】直线为过点的动直线， 曲线，即为半圆， 圆心为，半径为1，设半圆最下方的点为，如图， 当直线与半圆相切时，有，解得； 当直线过点时，有，即； 因为直线与半圆有两个不同的交点，所以， 则的取值范围是. 故选：B 8. 如图1，在平行四边形中，，，如图2，沿将折起到的位置，使得点到点的距离为，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：设二面角的大小为，则，由结合空间向量数量积的运算性质可求得，即可得出的值，即为所求； 解法二：设二面角的大小为，则，求出的值，即可求出的值，即为所求. 【详解】解法一：翻折前，在平行四边形中，，，则， 翻折后，则有，， 由题意可得，，， 设二面角的大小为，则， 由， 得， 因为，所以， 解得，则， 故二面角的余弦值为. 解法二：翻折前，在平行四边形中，，，则， 则， 翻折后，则有，，， 设二面角的大小为，则， 由题意可得，，， 因为，故， 即，故， 因为， 所以． 故二面角的余弦值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则m只有一个实数解 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解． 【详解】对于A，因为，所以，A正确． 对于B，因为，所以，得，B正确． 对于C，因为在上的投影向量为，所以， 即，化简可得， 因为，所以m有两个实数解，C错误． 对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线， 所以，解得， 假设，此时无解， 所以与的夹角为钝角，则，D错误． 故选：AB. 10. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B. 圆上有4个点到直线的距离为 C. 若圆与圆没有公切线，则的取值范围为 D. 过直线上任意一点作圆的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，从而确定弦长的取值范围，判断选项A；先计算圆心到直线的距离，再结合圆的半径判断圆上到直线距离为特定值的点的个数；根据没有公切线的条件，结合两圆的半径和圆心距的关系确定的取值范围，判断选项C；利用圆的切点弦方程，结合直线方程求出直线所过定点，判断选项D． 【详解】圆的方程为，该圆的圆心为，半径． 选项A：， 点在圆内，则圆心到过点的直线的距离， ，故A正确； 选项B：圆心到直线的距离， 又圆的半径为3， 圆上有4个点到直线的距离为，故B正确； 选项C：圆的圆心为，半径为， ，圆与圆没有公切线，两圆内含， ，即，解得16， 的取值范围为，故C错误； 选项D：设，则以为直径的圆为， 整理得， 直线为圆与圆的公共弦所在的直线，联立两圆方程，得， 整理得， 令，解得， 直线必过定点，故D错误． 故选：． 11. 如图，正方体的棱长为2，F是线段的中点，E是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）． A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性表示，几何体的体积，空间角的三角函数值知识逐项判断计算即可. 【详解】对于A： ，故A正确． 对于B： 如图，连接，因为且，所以四边形为平行四边形， 则，平面，平面， 所以平面． 因为，所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，即， 那么， 所以三棱锥的体积，故B错误． 对于C： 连接，，如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 因为平面就是平面，不妨设平面的一个法向量为， 因， 所以有，令，则， 则平面的一个法向量为， 又，设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，C正确． 对于D：，，， 设，且，则． 设直线与直线所成的角为， 则． 令，因为，所以，， 所以． 设，则， ，则， 所以， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点斜式求出方程化简即可. 【详解】直线l的倾斜角为，则斜率为， 又过点，所以直线l方程为， 故直线l的一般式方程为． 故答案为： 13. 过点作圆的切线，切点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由切线性质可得出，求出，结合勾股定理可求得的值. 【详解】连接、，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，所以． 又，所以． 故答案为：. 14. 对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出点的轨迹，然后根据定义把表示成三角函数的形式，利用三角函数的值域即可求解. 【详解】易知，，． 因为P在上底面内（含边界）运动，且， 所以，， 即P在上底面内，点P在以为圆心，1为半径圆周上， 可设，，， 所以，． 因为，所以， 则，从而． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： （1）； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．写出各点的坐标． （1）由即可证明； （2）求出平面的法向量，由法向量与数量积为零即可证明平面． 【小问1详解】 ∵，，∴． 由底面，得． 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 又，M为棱的中点． 则，，，，，． ∵，， ∴， ∴，则． 【小问2详解】 ∵，，∴． 由底面，得． 又，∴平面， 则向量是平面的一个法向量． ∵，且平面， ∴平面． 16. 设直线与． （1）若，求m的值； （2）当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直关系求出参数值. （2）先列出三角形面积的表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 解得或， 当时，不是直线，舍去，所以． 【小问2详解】 ，可化为． 因为与两坐标轴的正半轴围成三角形，所以，则， 所以与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积， 所以当时，三角形的面积S取得最大值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，的中点分别为D，E，F． （1）证明：平面平面． （2）若，且与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，从而平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论； （2）因为平面，所以是与平面所成的角，即，设，求出，，．建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求出结果． 【小问1详解】 在直三棱柱中，E，F分别为矩形的边，的中点， 则，， 又，所以． 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 由（1）知，，则平面， 因平面，所以． 因为平面，所以是与平面所成的角，即． 又，设， 则，，． 以E为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取，得． 设平面的法向量为， 则，取，得． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值是． 18. 已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） （3）已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在满足条件的定点. 【解析】 【分析】（1）由题意得圆心在线段的中垂线上，联立线段的中垂线方程和直线求出圆心坐标，接着求出即可由圆的标准方程求解； （2）先由圆与圆的圆心距为5，等于两圆的半径之和得到两圆外切，数形结合即可求解公切线有，两圆方程相减可得公切线方程 ，由连心线与第一条公切线的交点结合点到直线距离、点斜式即可求出公切线 ； （3）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况结合韦达定理和题设条件进行分析即可求解. 【小问1详解】 线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以直线与直线的交点就是圆心. 解方程组得即. 因为圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，等于两圆的半径之和， 所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为； 圆与圆的方程相减得公切线； 两圆的连心线所在直线方程为，即， 所以直线与交点为， 则另外一条公切线过点，设， 因为原点到的距离为4，所以，解得， 所以，即 综上，两圆的公切线方程有或或； 【小问3详解】 显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有. 当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两 点. 由得， 所以，且， 由，得，即， 所以，整理得 将代入上式可得 直线即，该直线恒过点， 所以存在满足条件的定点. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为，过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程，即，其中． （1）已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值． （2）已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，，证明：． （3）在斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给出的结论，得到直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求直线与平面所成的角的正弦值. （2）求平面与交线的方向向量和平面的法向量，利用向量的方法，证明直线与平面平行. （3）分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求平面角的余弦值. 【小问1详解】 解：由直线的点方向式方程为， 可知直线的一个方向向量为， 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【小问2详解】 证明：由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为． 设两平面的交线的方向向量为，则， 令，则，，可得． 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量， 则，即． 又，所以． 【小问3详解】 解：由平面经过三点，，..， 可得，． 设侧面所在平面的法向量为， 则， 令，解得，，可得． 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为． 设平面与平面的交线的方向向量为， 则， 令，可得． 由平面的一般式方程为， 可知平面的一个法向量为， 由，，得，，解得， 即． 故平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $