1.1.1 第1课时 集合-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的含义、元素特性及关系、常用数集等核心知识点。通过“赤兔马”情境问题导入，从具体实例抽象出集合概念，结合元素确定性、互异性、无序性的表格对比分析，搭建从情境感知到抽象理解的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“赤兔马”问题引导学生用数学眼光观察现实世界，如分析不同“是”的含义引出集合确定性。元素特性结合例题（如含a-3和2a-1的集合求a值）强化逻辑推理，课堂小结梳理知识脉络，分层作业满足差异需求，助力学生夯实基础，也为教师提供系统教学支持。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1　集合 1.1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合 学习任务 1．通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系．(数学抽象) 2．掌握集合中元素的三个特点并会简单应用．(逻辑推理) 3．了解空集的含义，掌握集合的分类，熟记常用数集的表示符号并会应用．(数学抽象) 第1课时　集合 《三国志》记载：“布有良马曰赤兔．”据《三国演义》描述，这匹宝马后来跟随关羽并大展神威． 问题　下面三句话里的“是”各自的含义是什么？ A．关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马． B．赤兔马是红马． C．红马是马． 第一个“是”的含义相当于“＝”，另外两个呢？ 必备知识·情境导学探新知 第1课时　集合 知识点1　元素与集合的概念 1．集合：把一些能够______、______对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示． 2．元素：组成集合的________都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示． 确定的 不同的 每个对象 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 3．集合中元素的特点 特点 含义 示例 确定性 集合的元素必须是____的．即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来 集合A＝{1，2，3}，则1∈A，4∉A 确定 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 特点 含义 示例 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是____的(或者说是互异的)．即集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2 不同 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 提醒　集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个特性中的任一个，则这组对象就不能构成集合，故集合中元素的这三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据． 特点 含义 示例 无序性 集合中的元素可以________．即集合中的元素无前后顺序之分 集合{1，0}和集合{0，1}是同一个集合 任意排列 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 4．集合相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素________，就称这两个集合相等，记作A＝B． 完全相同 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 知识点2　元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A的元素 a__A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a__A a不属于A 提醒　元素和集合之间关系的两点说明 (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． ∈ ∉ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 知识点3　空集、集合的分类、常见数集 1．空集 (1)定义：____________的集合． (2)符号：__． 2．集合的分类 (1)集合 (2)空集包含的元素个数是_，因此是一个____集． 不含任何元素 ⌀ 有限 无限 0 有限 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 3．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 __ __________ __ __ __ N N*或N＋ Z Q R 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素． (　　) (2)好听的歌能组成一个集合． (　　) (3)2025年第九届亚洲冬季运动会中所有的比赛项目构成一个集合． (　　) (4)把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个． (　　) (5)元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的． (　　) × √ × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 [提示]　(1)集合中的元素是互不相同的． (2)好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合． (3)2025年第九届亚洲冬季运动会中所有的比赛项目是确定的，所以能构成一个集合． (4)因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合． (5)集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 2．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________． 0或－1　[因为－3∈A， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3，则a＝0， 此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，a＝0或a＝－1．] 0或－1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 3．(1)下列元素与集合的关系判断正确的是________．(填序号) ①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R． (2)下列集合中________是有限集，________是无限集．(填序号) ①由小于8的正奇数组成的集合； ②由大于5且小于20的实数组成的集合； ③由小于0的自然数组成的集合． ①④ ①③ ② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 (1)①④　(2)①③　②　[(1)N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π∉Q，∉Q，－1∈Z，∈R，所以判断正确的是①④． (2)①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集． ②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集． ③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．] 类型1　集合的有关概念 【例1】　(1)(多选)下列对象能组成集合的是(　　) A．某电视台著名的节目主持人 B．某市跑得快的汽车 C．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 D．2025年参加夏季高考的人数 (2)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________． 关键能力·合作探究释疑难 √ √ ±2 第1课时　集合 (1)CD　(2)±2　[(1)对于A，“著名”无明确标准；对于B，“快”的标准不确定，因而A，B中的对象均不能组成集合．对于C，直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的，能组成集合．对于D，参加高考的人数是确定的，所以能组成集合． (2)由题意，得a2＝4，所以a＝±2．] 反思领悟　判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 [跟进训练] 1．下列判断中正确的个数为(　　) ①倒数等于它自身的实数构成一个集合； ②质数的全体构成一个集合； ③由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合； ④平面上到点O的距离等于1的点的全体构成一个集合． A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．0 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 B　[在①中，若＝a，则a2＝1，所以a＝±1，构成的集合为{1， －1}，故①正确； 在②中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故②正确； 在③中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故③错误； 在④中，“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，故④正确．] 类型2　元素与集合的关系 【例2】　(1)由不超过5的实数组成集合A，a＝，则(　　) A．a∈A　　　　　　　　 B．a2∈A C．∉A D．a＋1∉A (2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________． √ 0，1，2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 (1)A　(2)0，1，2　[(1)a＝<＝4<5，所以a∈A． a＋1<＋1＝5，所以a＋1∈A． a2＝()2＋2＋()2＝5＋2>5，所以a2∉A． ＝＝＝<5， 所以∈A．故选A． (2)由∈N，x∈N知x≥0，>0，且x≠3， 故0≤x<3． 又x∈N，故x＝0，1，2． 当x＝0时，＝2∈N， 当x＝1时，＝3∈N， 当x＝2时，＝6∈N． 故集合A中的元素为0，1，2．] 反思领悟　判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法： ①使用前提：集合中的元素是直接给出的； ②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法： ①使用前提：对于某些不便直接表示的集合； ②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 [跟进训练] 2．用符号“∈”或“∉”填空： (1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国________A，美国________A，印度________A，英国________A； (2)设A为方程x2＝x的解构成的集合，则－1________A； (3)设B为方程x2＋x－6＝0的解构成的集合，则3________B； (4)设C为不超过10的整数集，则8________C，9.1________C． ∈ ∉ ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∉ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 类型3　集合中元素的特点及应用 【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． [思路导引]　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 [解]　由题意可知，a＝1或a2＝a． (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0． [母题探究] (变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值． [解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1． 当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 反思领悟　根据集合中元素的特点求值的步骤 提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 [跟进训练] 3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．小于或等于1 √ C　[由y∈N且y＝－x2＋1≤1，得y＝0或y＝1，所以A＝{0，1}．又t∈A，得到t＝0或1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 1．下列各对象可以组成集合的是(　　) A．与1非常接近的全体实数 B．某校全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．无理数π的近似值 学习效果·课堂评估夯基础 √ 第1课时　集合 B　[对于A选项中“非常接近”标准不明确，故不构成集合；同理C选项中的“视力比较好”，D选项中的“近似值”，标准均不明确，故C，D均不能构成集合；B能构成集合，因为某学生是否是该校的高一学生是确定的．] 2．(教材P9练习BT2(1)改编)“booknote”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 √ B　[根据集合中元素的互异性可知，“booknote”中的不同字母共有“b，o，k，n，t，e”6个，故该集合的元素个数为6．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 3．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列表示正确的是 (　　) A．∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M √ D　[>1，故A错误；－2<0<1，故B错误；1∉M，故C错误；－2<－<1，故D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素． 3　[方程x2－5x＋6＝0的解是2，3；方程x2－x－2＝0的解是－1，2．由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．集合中元素的三个特点是什么？ [提示]　(1)确定性．(2)互异性．(3)无序性． 2．由集合中元素的特点求参数的解题方法是什么？ [提示]　分类讨论法：解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 3．本节课你学习了哪些常用数集？ [提示]　自然数集(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)、有理数集(Q)和实数集(R)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．(多选)考察下列每组对象，能组成一个集合的是(　　) A．高考数学难题 B．等腰三角形的全体 C．不小于3的正整数 D．的近似值 课时分层作业(一)　集合 √ 39 BC　[“难题”这个词界限不确定，不明确哪些元素在该集合中，故A不构成集合； 等腰三角形的全体是明确的，故B构成集合； 不小于3的正整数，即3，4，5…显然C可以构成集合； 的近似值太笼统，没有确定的界限，构不成集合． 故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　) A．3.14　　　　　　　　　 B．－5 C． D． D　[由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数，从而选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 41 3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断正确的是(　　) A．0∈M，2∈M B．0∉M，2∈M C．0∈M，2∉M D．0∉M，2∉M √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[当x＝0时，3－2x＝3>0， 所以0不是不等式的解，0∉M； 当x＝2时，3－2x＝－1<0， 所以2是不等式3－2x<0的解，2∈M．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 42 √ 4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 43 √ 5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合 B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 44 A　[由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 二、填空题 6．给出下列说法： ①0∈∅；②如果a，b∈Z，则a－b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈N，则－a∉N．其中正确的是________．(填序号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ②　[0∉∅，故①错误；②正确；③是无限集；当a＝0时，－a＝0∈N，④错误．] ② 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 46 7．已知集合A含有两个元素1和2，集合B为方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝________，b＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －3　2　[因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根， 所以所以] －3 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 47 8．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则m的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　[由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0．这与m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时与m≠0相矛盾． 当m＝3时，集合中含有3个元素0，2，3． 故m的值为3．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 48 三、解答题 9．以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质： ①P中的元素有正整数，也有负整数；②若x∈P，y∈P，则x＋y∈P． (1)若x∈P，求证：3x∈P． (2)判断集合P是有限集还是无限集？请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 49 [解]　(1)证明：由②若x∈P，y∈P，则x＋y∈P可得， 若x∈P，则x＋x＝2x∈P，x＋2x＝3x∈P， 所以3x∈P． (2)集合P为无限集． 假设集合P为有限集，则集合P中的元素必有最大值，且最大值为正整数，不妨设最大值为m，由②知若x，y∈P，则x＋y∈P可得，2m∈P，与集合P的最大值为m矛盾，所以集合P为无限集． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 √ 10．(多选)已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　　) A．1∈M B．0∉M C．－1∈M D．－2∈M 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 51 BC　[由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2． 所以方程为x2－x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝2． 故方程的另一根为－1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 √ 11．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 53 A　[当x>0时，x＝|x|＝，－＝－x<0，此时集合共有2个元素； 当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，此时集合共有1个元素； 当x<0时，＝|x|＝－x，－＝－x，此时集合共有2个元素．综上，此集合最多有2个元素， 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 12．已知集合P中含有0，2，5三个元素，集合Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素为a＋b，其中a∈P，b∈Q，则集合P＋Q中所有元素的和为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42　[由a∈P，b∈Q得a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11． 故集合P＋Q中所有元素的和为42．] 42 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 55 13．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则的可能取值所组成的集合中元素的个数为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3　[当a，b同正时，＝＝1＋1＝2； 当a，b同负时，＝＝－1－1＝－2； 当a，b异号时，＝0． 所以的可能取值所组成的集合中元素共有3个．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 56 14．已知集合M是由三个元素－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　当3x2＋3x－4＝2，即x2＋x－2＝0时，得x＝－2或x＝1， 经检验，x＝－2，x＝1均不符合题意． 当x2＋x－4＝2，即x2＋x－6＝0时， 得x＝－3或x＝2，经检验，x＝－3，x＝2均符合题意． 所以x＝－3或x＝2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 57 15．设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①1∉S；②若a∈S，则∈S． (1)求证：若a∈S，则1－∈S； (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　集合 58 [解]　(1)证明：因为1∉S，由∈S，可得∈S，即＝＝1－∈S，故若a∈S，则1－∈S． (2)由2∈S，得＝－1∈S；由－1∈S，得＝∈S； 而当∈S时，＝2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有－1，两个元素． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 $