第一章 微专题1 利用数轴、维恩图解决集合问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“利用数轴、维恩图解决集合问题”这一核心知识点，系统梳理集合交集、并集、补集运算，集合关系判断，参数范围求解及元素个数分析等问题的解题方法，搭建从抽象集合关系到直观图形表达的学习支架，帮助学生突破分类讨论繁琐易错的难点。 资料特色在于以几何直观（数学眼光）为核心，通过数轴动态呈现数集关系、维恩图清晰展示元素归属，结合“正难则反”推理（数学思维），如例2将“(∁RA)∪B≠R”转化为求“=R”的补集，培养学生逻辑推理与直观表达能力（数学语言）。课中辅助教师直观授课，课后通过分层练习帮助学生巩固方法，弥补解题漏洞。

微专题1　利用数轴、维恩图解决集合问题 在集合的关系与运算中，特别是涉及集合的交集、并集、补集时，往往要对集合的可能情况进行分类讨论，运算量较大，容易出错，而若能巧用数轴、维恩图求解集合问题，就会直观、形象，从而简化解题步骤，提高解题效率． 类型1　利用数轴解决集合的运算 问题 【例1】　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁_U B)) ) ，(∁UA)∪(∁UB)． [解]　如图，首先在数轴上表示出全集U和集合A，B． 这样A∩B＝{x|－2≤x≤2}，∁UA＝{x|x<－2或3<x≤4}，∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3<x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x≤3}，(∁UA)∪(∁UB)＝{x|x<－2或2<x≤4}． 类型2　利用数轴解决集合的关系问题 【例2】　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B≠R，求a的取值范围； (2)若A∩B≠A，求a的取值范围． [解]　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． 若(∁RA)∪B＝R，如图， 则a≤0且a＋3≥2，即－1≤a≤0， ∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a|a<－1或a>0}． (2)若A∩B＝A，则A⊆B． 又A≠∅，则得即－1≤a≤0． ∴当A∩B≠A时，a的取值范围为{a|－1≤a≤0}的补集，即{a|a<－1或a>0}． 类型3　利用数轴解决集合运算中求参数范围问题 【例3】　已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围． (1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)． [解]　(1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立． 此时2a＋1>3a－5，即a<6． 若A≠∅，如图所示， 则解得6≤a≤7． 综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}． (2)因为A⊆(A∩B)， 所以A∩B＝A，即A⊆B． 显然A＝∅满足条件，此时a<6． 若A≠∅，如图所示， 则或 由解得a∈∅． 由解得a>． 综上，满足条件A⊆(A∩B)的实数a的取值范围是． 类型4　利用维恩图解决集合中元素问题 【例4】　设全集U＝{不大于20的质数}，M，P是U的两个子集，且满足M∩(∁UP)＝{3，5}，(∁UM)∩P＝{7，19}，(∁UM)∩(∁UP)＝{2，17}，求集合M，P． [解]　根据题意，全集U＝{不大于20的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}． 由M∩(∁UP)＝{3，5}可知， 3∈M，5∈M且3∉P，5∉P； 由(∁UM)∩P＝{7，19}可知，7∈P，19∈P且7∉M，19∉M；又由(∁UM)∩(∁UP)＝{2，17}可知， 2∉M，17∉M，2∉P，17∉P． 这样依次可画出维恩图，结合图示对11，13分别进行分析， 可知11，13在两个集合的交集内． 因此集合M＝{3，5，11，13}，P＝{7，11，13，19}． 微专题强化练(一)　利用数轴、维恩图解决集合问题 一、选择题 1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1}　　　 B．{x|－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} A　[利用数轴可知A∩B＝{x|－2<x<1}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|－2<x<－1}，故选A．] 2．设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN A　[利用数轴可知M∪N＝{x|x<2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A．] 3．已知A，B都是R的子集，且A⊆B，则B∪(∁RA)＝(　　) A．A B．B C．∅ D．R D　[维恩图如图所示， 易知B∪(∁RA)＝R．故选D．] 4．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则(　　) A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP B　[P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，如图所示， 可知Q⊆P，故选B．] 5．已知集合M＝{x|x＋1≥0}，N＝，则下列维恩图中阴影部分可以表示集合{x|－1≤x<0}的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D A　[∵M＝{x|x＋1≥0}＝[－1，＋∞)， N＝＝(－∞，0)，∴M∩N＝{x|－1≤x<0}．由各选项维恩图知，A符合要求，故选A．] 二、填空题 6．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}．若B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，则集合B＝________． {x|0<x<3}　[因为A＝{x|1≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x<1或x>2}，又B∪(∁UA)＝R，B∩(∁UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，所以借助数轴(如图所示)，可得B＝{x|0<x<3}． ] 7．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是________，若A∩B＝∅，则a的范围为________． (2，＋∞)　(－∞，1]　[根据题意，集合A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示为： 若A∩B＝A，则有A⊆B，必有a>2， 若A∩B＝∅，必有a≤1．] 8．某班级共有50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做正确的有________人． 25　[根据题意可设全班的学生组成的集合为U，做对物理实验的学生组成的集合为A，做对化学实验的学生组成的集合为B． 并将两种实验都做正确的学生记为x人，则可用维恩图将其关系表示如图，结合维恩图及题意知，＋x＋＋4＝50，解得x＝25， 故两种实验都做正确的学生为25人．] 三、解答题 9．集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}． (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (2)若A∩B＝A，求a的取值范围． [解]　(1)由A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，画出数轴如图所示． 由图可知，若A∩B＝∅，则 解得－1≤a≤2．∴a的取值范围是[－1，2]． (2)由A∩B＝A，得A⊆B． 则a＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5． ∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(5，＋∞)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $