专题01 集合与常用逻辑用语（高效培优期中专项训练）数学人教B版2019高一必修第一册

专题01 集合与常用逻辑用语 考点01集合中元素、子集个数问题 考点02由集合间包含的关系求参数的范围 考点03充分条件与必要条件的判断及参数范围问题 考点04量词命题得否定，及参数范围问题 考点05 常用逻辑用语与集合综合 考点01集合中元素、子集个数问题 1.（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 3（2023·四川南充·模拟预测）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 4.（2023·河北·模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（    ） A．14 B．30 C．32 D．42 5.（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 6.（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 8.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 考点02 由集合间包含的关系求参数的范围 9.已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 10.（高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 11.已知集合，且，则取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 12..已知集合，且，则（　　） A． B．或 C．3 D． 13.若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14.已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 15.（高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 16.若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 17.设集合． (1)若中只有一个元素，求实数的值； (2)若中至多只有一个元素，求实数的取值范围． 18.已知集合，，若，则（ ） A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3 19.（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 20.已知，，且，则a的取值范围为_________． 21.设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 22.已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 23.已知，，若，求m的值． 24.多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 25.已知集合，若，为常数，求实数m的取值范围． 26.已知集合，，若，求满足条件的a的取值范围． 27.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28.若，，且，则实数a的取值范围是_______. 29.集合，，若，则实数a的取值范围是_______. 30.已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 考点03充分条件与必要条件的判断及参数范围问题 31.（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32.（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 33.（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 34.（2023·江苏南京·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 35.（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36.（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 37.（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 38.（22-23高一下·浙江·期末）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04量词命题得否定，及参数范围问题 39.已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 40.（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 41.若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 42.已知集合，.若是的充分条件，求实数的取值范围. 44.集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45.集合，集合，其中．若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 考点05 常用逻辑用语与集合综合 46.（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 47.（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 48.（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合 . (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 49.（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点01集合中元素、子集个数问题 考点02由集合间包含的关系求参数的范围 考点03充分条件与必要条件的判断及参数范围问题 考点04量词命题得否定，及参数范围问题 考点05 常用逻辑用语与集合综合 考点01集合中元素、子集个数问题 1.（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【解析】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C. 2.（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ） A．30 B．28 C．26 D．24 【分析】根据题意得到，再结合求解即可. 【解析】，， 因为， 当时，为偶数，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，共有个元素. 当时，为奇数， 此时，有重复数字，去掉，共有个元素. 综上中元素的个数为个. 故选：B. 3（2023·四川南充·模拟预测）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案. 【解析】因为，， 所以， 故中元素的个数为. 故选：B. 4.（2023·河北·模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（    ） A．14 B．30 C．32 D．42 【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解. 【解析】设中有个元素，则, 所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为， 由于，所以，故当时，有最小值14 故选：A. 5.（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【分析】先求出集合B，再求真子集个数即可. 【解析】由题意得， 故集合B的真子集个数为. 故选：B. 6.（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据包含关系确定中的元素后可得正确的选项． 【解析】由可得且，根据为的真子集， 可得或或，故满足条件的集合的个数为3. 故选：A. 7.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 【分析】根据题意，利用列举法求化简集合，从而求得集合的真子集个数. 【解析】依题意，得；；； ；；； ；；，故， 其真子集的个数为：． 故选：C. 8.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数. 【解析】因为 ， ， 所以，所以的子集个数为． 故选：D． 考点02 由集合间包含的关系求参数的范围 9.已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【解析】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1.故选：C 10.（高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【解析】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以 11.已知集合，且，则取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且， 所以或. 当时，解得：或. 而，不符合元素的互异性，故或.故选：B 12..已知集合，且，则（　　） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解析】由集合，得，解得且， 显然，由，得，而，解得， 当时，，符合题意， 所以. 13.若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为. 故选：D. 14.已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时，集合，当时，集合；（3） 【解析】（1）中没有元素，且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 15.（高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】且集合A中至少有3个元素，.故选：C 16.若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 17.设集合． (1)若中只有一个元素，求实数的值； (2)若中至多只有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【解析】（1）集合表示关于的方程的解集， 当时，由，解得，则，符合题意； 当时，因为中只有一个元素，则，解得，此时，符合题意 综上可得或； （2）因为中至多只有一个元素，由（1）可知时符合题意； 当，则，解得； 综上可得，实数的取值范围为或. 18.已知集合，，若，则（ ） A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以或. 若，则，满足； 若，则或， 当时，，满足； 当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意； 综上所述：或，故选：C. 19.（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【分析】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【详解】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 20.已知，，且，则a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 21.设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， ， 当时，，是的真子集， 当时，，因为是的真子集，所以或，解得或， 故选：B 22.已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 23.已知，，若，求m的值． 【解析】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 24.多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【解析】，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 25.已知集合，若，为常数，求实数m的取值范围． 【解析】①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． 26.已知集合，，若，求满足条件的a的取值范围． 【答案】 【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解. 【详解】当时，满足，此时，有，解得：； 当时，要使，只需，解得：. 综上，实数的取值范围为. 27.已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是.故选：B 28.若，，且，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先求出集合中不等式的解集，再由列不等式组求解即可. 【详解】解：由已知， ， 当时，，解得 当时，，解得， 综合得. 故答案为： 29.集合，，若，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先化简集合，再根据集合间的基本关系，与集合进行集合包含关系运算即可，注意讨论子集中的空集的情况. 【详解】，若，则是的子集， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，实数的取值范围是． 30.已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 考点03充分条件与必要条件的判断及参数范围问题 31.（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【解析】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 32.（2024·四川成都·模拟预测）命题“”是“，或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】通过命题相互是否推出判断充分不必要条件. 【解析】命题“”是“，或”的充分不必要条件. 即：“ ，或”，且“，或 ”. ① “ ，或”. 证明：用反证法.假设“，或”不成立， 则，且. 所以有，这与已知矛盾. 故假设错误，即，或成立. ②“，或 ”. 因为当时，满足条件，或， 此时，不满足. 故“，或”“”. 故选：A. 33.（2023·上海普陀·二模）设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可. 【解析】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 由，则或或，推不出，反向可推出，不满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 故选：A. 34.（2023·江苏南京·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断即可. 【解析】因为是的必要不充分条件，所以，推不出， 因为是的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的充要条件，所以，， 所以由，，可得， 由推不出，推不出，可得C推不出D. 故D是C的充分不必要条件. 故选：B. 35.（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可. 【解析】，因为是的充分不必要条件，所以. 故选：C. 36.（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意，对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的的值即可． 【解析】由题，，， 当时，有，符合题意； 当时，有，此时，所以或，所以. 综上，实数的所有可能的取值组成的集合为. 故选：A. 37.（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【解析】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 38.（22-23高一下·浙江·期末）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】解不等式得到 或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【解析】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 考点04量词命题得否定，及参数范围问题 39.已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【解析】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且，则，所以. 40.（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【解析】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 41.若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得，所以实数m的取值是3. 42.已知集合，.若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据是的充分条件，则，建立关系式，解之即可． 【详解】解：若是的充分条件，则， ①当时，即，即， ②当时，即， 若，则， 综上，若是的充分条件，则实数的取值范围为. 44.集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即，解得，即实数a的取值范围为.故选：B 45.集合，集合，其中．若“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】 【分析】因为“”是“”的充分条件，故， 故 ，解得 故“”是“”的充分条件，a的取值范围为 考点05 常用逻辑用语与集合综合 46.（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【解析】（1）因为，又， 所以. （2） 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 47.（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 48.（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合 . (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【解析】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 49.（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）当时，； 所以 ，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $