第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

该高中数学单元复习讲义围绕“集合与常用逻辑用语”，通过分类型梳理构建知识体系，涵盖方程不等式与集合运算、新定义问题等四大模块，结合例题解析突出空集、元素互异性等重难点，呈现知识内在联系。 讲义亮点在于“问题情境-方法提炼-分层练习”设计，如例1结合集合包含关系解决参数问题培养逻辑推理素养，例3新定义集合运算提升数学抽象能力。章末测评覆盖选择填空解答题，基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师精准教学。

类型1　方程、不等式与集合运算的综合应用 结合集合运算考查方程、不等式的知识是高考考查的热点题型，解决集合与方程、不等式综合考查的参数问题时，要特别注意两点： (1)不要忽略集合中元素的互异性，即求出参数后应满足集合中的元素是互异的，尤其要注意含参数的方程的解的集合． (2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算时，其特殊性容易被忽略，如解决有关A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B等集合问题时，应先考虑空集的情况． 【例1】　已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足B⊆A，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由． [解]　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∵B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}， ∴1∈B． 又B⊆A，∴a－1＝1，即a＝2． ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A， ∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}． 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去； 当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2<b<2． 综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求． 【例2】　已知全集U＝R，集合A＝{x|2<x<9}，B＝{x|－2≤x≤5}． (1)求A∩B，B∪(∁UA)； (2)已知集合C＝{x|a≤x≤2－a}，若C∪(∁UB)＝R，求实数a的取值范围． [解]　(1)∵A＝{x|2<x<9}，B＝{x|－2≤x≤5}， ∴A∩B＝(2，5]，∁UA＝(－∞，2]∪[9，＋∞)． ∴B∪(∁UA)＝(－∞，5]∪[9，＋∞)． (2)C＝{x|a≤x≤2－a}， ∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)． ∵C∪(∁UB)＝R， ∴∴a≤－3． ∴实数a的取值范围为(－∞，－3]． 类型2　与集合有关的新定义问题 集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，形成具有新特征、新性质的集合．解题时，要抓住以下两点： (1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中． (2)集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握． 【例3】　定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{}，B＝{1，}，则集合A⊗B的真子集个数为(　　) A．8 B．7　　　　 C．16 D．15 B　[由题意A＝{}，B＝{1，}，则A⊗B中的元素有(＋1)×(－1)＝1，()×()＝0，(＋1)×(－1)＝2，()×()＝1四种结果，则由集合中元素的互异性可知，集合A⊗B中有3个元素，故集合A⊗B的真子集个数为7．] 【例4】　已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N*)，如果A中的元素ai(i＝1，2，3，…，n)满足a1a2…an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为“复活集”，给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4； ③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”． 其中所有正确结论的序号为________． ①③　[①＝＝－1，故①正确． ②不妨设a1＋a2＝a1a2＝t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的两个不相等的实数根，由Δ>0，可得t2－4t>0，解得t<0或t>4，故②错误． ③根据集合中元素的互异性知a1≠a2，不妨设a1<a2(a1，a2∈N*)，由a1a2＝a1＋a2<2a2，可得a1<2． 因为a1∈N*， 所以a1＝1．于是1＋a2＝1×a2，无解， 即不存在满足条件的“复活集”，故③正确．] 类型3　充分条件与必要条件 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． 【例5】　已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|－1<x<m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈B是x∈A成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (3)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． [解]　(1)由题意知A⊆B，所以m＋1>3，即m>2． 所以实数m的取值范围为(2，＋∞)． (2)因为x∈B是x∈A成立的一个充分不必要条件， 所以B⊆A． 当B＝∅时，m＋1≤－1，即m≤－2，符合题意； 当B≠∅时，解得－2<m<2． 综上，实数m的取值范围是(－∞，2)． (3)因为x∈A是x∈B成立的充要条件， 所以A＝B． 所以m＋1＝3，即m＝2． 即实数m的值为2． 类型4　全称量词命题与存在量词命题 “一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系： (1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定其结论的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词． (2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定． 【例6】　(1)命题p：∀x>0，>0的否定¬p是(　　) A．∃x>0，≤0 B．∃x>0，0≤x≤1 C．∀x>0，≤0 D．∀x<0，0≤x≤1 (2)已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，则实数a的取值范围是________． (1)B　(2)[－3，1]　[(1)由题意得命题p：∀x>0，>0，即p：∀x>0，x<0或x>1，所以命题p的否定¬p：∃x>0，0≤x≤1．故选B． (2)因为¬p是假命题，所以p是真命题． 又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}， 则解得－3≤a≤1．即实数a的取值范围是[－3，1]．] 章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U A　[由题意知，∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选A．] 2．若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，3，4} B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9} C　[依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9， 则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}， 于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C．] 3．下列命题中，真命题是(　　) A．集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示不同的集合 B．∀x∈R，2x>x2 C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．∃x∈R，x2＋2≤0 A　[对于A选项，由描述法的概念可知集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}分别表示点的集合与数的集合，显然表示不同的集合，故A正确；当x＝2时，2x＝x2，故B错误； 当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2>0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误．故选A．] 4．命题p：存在一个整数n，使n2＋1是4的倍数．则p的否定是(　　) A．∀n∈Z，n2＋1不是4的倍数 B．∀n∈Z，n2＋1是4的倍数 C．∃n∈Z，n2＋1不是4的倍数 D．∃n∈Z，n2＋1是4的倍数 A　[存在量词命题的否定是全称量词命题，因此命题p的否定是“∀n∈Z，n2＋1不是4的倍数”．] 5．集合A＝{x|3x＋2>m}，若－1∉A，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] C　[∵集合A＝{x|3x＋2>m}，－1∉A， ∴3×(－1)＋2≤m， 即m≥－1，故选C．] 6．如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　) A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩C C．(A∩B)∩∁IC D．(A∩∁IB)∩C D　[补集∁IB画成维恩图如图①，交集A∩∁IB画成维恩图如图②，而(A∩∁IB)∩C画成维恩图就是题目的维恩图． 　] 图①　　　　　图② 7．“”是“>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[∵⇒>0， >0⇒或 ∴“”是“>0”的充分不必要条件．故选A．] 8．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为(　　) A． B． C． D． D　[若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当a＝1时，x＝，满足题意；②当a≠1时，Δ＝8a＋1＝0，所以a＝－．综上所述，a＝－或1．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中是真命题的为(　　) A．“”是“a＋b>2”的充要条件 B．“x2＝1”是“x＝－1”的必要不充分条件 C．“a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件 D．“集合A＝∅”是“A∩B＝A”的充分不必要条件 BD　[对于A选项，当 时，a＋b>2，但反之，a＋b>2不能得到故错误；对于B选项，x2＝1不一定得到x＝－1，反之x＝－1能够得到x2＝1，故正确；对于C选项，“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件，故错误；对于D选项，由A∩B＝A得A⊆B，所以A＝∅能够推出A∩B＝A，反之，不一定成立，故正确．] 10．对于集合A，B，定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则下列说法正确的是(　　) A．若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则A－B＝{1，2}，B－A＝{4} B．(A－B)∩(B－A)＝∅ C．(A－B)∪(B－A)＝A∪B D．若A＝B，则A－B＝∅ ABD　[对于A，若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，可得A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝{1，2}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}＝{4}，所以A正确；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}，所以(A－B)∩(B－A)＝∅，所以B正确；对于C，如维恩图所示，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}，根据集合的运算，可得(A－B)∪(B－A)＝∁A∪B(A∩B)≠A∪B，所以C不正确；对于D，若A＝B，可得A－B＝{x|x∈A且x∉A}＝∅，所以D正确．故选ABD． ] 11．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　) A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 BD　[对选项A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误； 对选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确； 对选项C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误； 对选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确． 故选BD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若集合A＝{－1，3}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，则由实数a的取值构成的集合C＝________． 　[由A∪B＝A，即B⊆A，故B＝∅，{－1}，{3}．若B＝∅时，方程ax－2＝0无解，a＝0；若B＝，则 －a－2＝0，所以a＝－2；若B＝{3}，则3a－2＝0，所以a＝．综上，a＝0或a＝－2或a＝．] 13．设p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．(本小题第一空2分，第二空3分) 1　4　[设A＝[－m，m]，B＝[－1，4]，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以所以0<m≤1，所以m的最大值为1． 若p是q的必要条件，则B⊆A，所以 所以m≥4，则m的最小值为4．] 14．已知集合A＝(0，2)，集合B＝(－1，1)，集合C＝{x|mx＋1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为________． 　[由题意，A∪B＝(－1，2)， 集合C＝{x|mx＋1>0}，(A∪B)⊆C． ①m<0，x<－，所以－≥2，所以m≥－，所以－≤m<0； ②m＝0时，成立； ③m>0，x>－，所以－≤－1，所以0<m≤1． 综上所述，实数m的取值范围为．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|m－2<x<2m}． (1)当m＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数m的取值范围． 请从①∀x∈A且x∉B，②“x∈B”是“x∈A”的必要条件，这两个条件中选择一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． [解]　(1)当m＝2时，B＝{x|0<x<4}， 所以A∩B＝{x|1<x<2}． (2)若选择条件①，由∀x∈A且x∉B，得A∩B＝∅． 当B＝∅时，m－2≥2m，即m≤－2； 当B≠∅时，m－2<2m，即m>－2． 又m－2≥2或2m≤1，即m≥4或m≤， 所以m≥4或－2<m≤． 综上所述，m的取值范围为． 若选择条件②，由“x∈B”是“x∈A”的必要条件得A⊆B，即所以1≤m≤3，所以m的取值范围为[1，3]． 16．(15分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2<x<10}，C＝{x|5－a<x<a}． (1)求A∪B，(∁RA)∩B； (2)若C⊆(A∪B)，求a的取值范围． [解]　(1)因为集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{2<x<10}，在数轴上表示可得： 故A∪B＝{x|2<x<10}，∁RA＝{x|x<3或x≥7}，(∁RA)∩B＝{2<x<3或7≤x<10}． (2)依题意可知， ①当C＝∅时，有5－a≥a，得a≤； ②当C≠∅时，有解得<a≤3． 综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，3]． 17．(15分)已知p：∀x∈R，m<x2－1，q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围． [解]　由x∈R得x2－1≥－1， 若p：∀x∈R，m<x2－1为真命题， 则m<－1． 若q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题， 则方程x2＋2x－m－1＝0有实根， 所以4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2． 因为p，q都是真命题，所以 所以－2≤m<－1． 所以实数m的取值范围为[－2，－1)． 18．(17分)已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|a－1<x<a＋1，a∈R}． (1)当a＝2时，求(∁UA)∩(∁UB)； (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为A＝＝{x|2<x≤5}，当a＝2时，B＝{x|1<x<3}，因为全集U＝R，则∁UA＝{x|x≤2或x>5}，∁UB＝{x|x≤1或x≥3}，因此，(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤1或x>5}． (2)易知集合B＝{x|a－1<x<a＋1，a∈R}为非空集合，因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⊆A，所以解得3≤a≤4． 因此，实数a的取值范围是[3，4]． 19．(17分)已知A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集． (1)判断集合B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由． (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由． ①命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集； ②命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集． (3)若非空集合A是封闭集，且A≠R，R为全体实数集，求证：∁RA不是封闭集． [解]　(1)对于集合B＝{0}，因为0＋0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封闭集； 对于集合C＝{－1，0，1}，因为－1＋0＝－1∈C，－1×0＝0∈C，－1＋1＝0∈C，－1×1＝－1∈C， 0＋1＝1∈C，0×1＝0∈C， 所以集合C＝{－1，0，1}是封闭集． (2)①对命题p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，则集合A1，A2是封闭集，如A1＝{0，－2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，－2，3}不是封闭集，故p为假命题． ②对于命题q：设a，b∈(A1∩A2)，则有a，b∈A1，又因为集合A1是封闭集，所以a＋b∈A1，ab∈A1， 同理可得a＋b∈A2，ab∈A2． 所以a＋b∈(A1∩A2)，ab∈(A1∩A2)， 所以A1∩A2是封闭集，故q为真命题． (3)证明：因为非空集合A是封闭集，且A≠R， 所以∁RA≠∅，∁RA≠R， 假设∁RA是封闭集， 由(2)的命题q可知，若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则A1∩A2也是封闭集， 又因为A∩(∁RA)＝∅， 所以∁RA不是封闭集，得证． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $