第二章 等式与不等式 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

该高中数学单元复习讲义通过分类梳理构建等式与不等式的知识体系，将解含参数的一元二次方程、不等式，均值不等式变形技巧及恒成立问题等要点，按“知识要点-分类讨论-解题方法”的逻辑框架呈现，清晰展示各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于例题与方法指导结合，如含参数一元二次方程根的讨论培养逻辑推理素养，均值不等式的裂项、“1”的代换等技巧提升运算能力。章末综合测评分层设计，基础题巩固知识，综合题拓展思维，助力不同层次学生提升，也为教师精准教学提供支持。

类型1　解含参数的一元二次方程 方程是否为一元一次方程，一元二次方程，必须看未知数的系数和其他参数所满足的条件，方程是否有解，同样需要对参数的取值进行分类讨论．对于一元二次方程根的讨论常从以下几个方面考虑： (1)二次项的系数a：a＝0，方程不是一元二次方程． (2)判别式Δ＝b2－4ac：Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ<0⇔方程没有实数根． 【例1】　关于x的方程，kx2＋(k＋1)x＋k＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k，使方程的两实数根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由题意，得Δ＝(k＋1)2－4kk＝k2＋2k＋1－k2＝2k＋1>0，∴k>－．又k≠0， ∴k的取值范围为∪(0，＋∞)． (2)不存在．理由：设方程的两根分别是x1和x2， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴＝＝－＝0， ∴k＋1＝0，即k＝－1． ∵k>－且k≠0， ∴k＝－1不满足题意． 故实数k不存在． 类型2　解含参数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论主要从以下三个方面来考虑： (1)二次项系数含有参数a，则需要对a分类讨论，即a>0，a＝0，a<0． (2)可因式分解的一元二次不等式的讨论，要对方程对应的两根大小进行讨论，即x1>x2，x1＝x2，x1<x2． (3)不可因式分解的含参数的一元二次不等式，要根据相应的一元二次方程根的判别式讨论，即Δ>0，Δ＝0，Δ<0． 【例2】　解关于x的不等式ax2－3x＋2>5－ax(a∈R)． [解]　原不等式等价于ax2＋(a－3)x－3>0，即(x＋1)(ax－3)>0． ①当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}． ②当a≠0时，方程(x＋1)(ax－3)＝0的两根分别为x1＝－1，x2＝． 当a>0时，原不等式的解集为． 当a<0时，若>－1，即a<－3，则原不等式的解集为； 若<－1，即－3<a<0，则原不等式的解集为； 若＝－1，即a＝－3，则原不等式的解集为∅． 综上所得， 当a<－3时，原不等式的解集为； 当a＝－3时，原不等式的解集为∅； 当－3<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<－1}； 当a>0时，原不等式的解集为． 类型3　均值不等式的变形技巧 运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分运用“一正、二定、三相等”这三个条件，观察结果，合理变形，凑“定和”和“定积”．其中，合理变形是关键． 技巧一：裂项 【例3】　设x>－1，则函数y＝的最小值为________． 9　[由x>－1知，x＋1>0， 所以y＝ ＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． 所以y的最小值为9．] 技巧二：添项 【例4】　函数y＝x2＋的最小值为________． 2　[因为2＋x2>0， 所以y＝x2＋＝2＋x2＋－2≥2－2＝2， 当且仅当2＋x2＝， 即x＝0时，等号成立．所以y的最小值为2．] 技巧三：放入根号内或平方 【例5】　若0<x<，则y＝x的最大值为(　　) A．1 B．　　　　 C． D． C　[因为0<x<，所以1－4x2>0，所以x＝×2x＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C．] 技巧四：“1”的代换 【例6】　已知x>0，y>0，且满足x＋2y－xy＝0，则的最大值为(　　) A．9 B．6 C．4 D．1 D　[因为x＋2y－xy＝0，x>0，y>0，所以＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝＋5≥2＋5＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝3时等号成立， 所以≤1，即的最大值为1． 故选D．] 技巧五：分离变量法 【例7】　若对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是________． (－∞，9]　[因为对任意x>0，x3＋5x2＋4x≥ax2恒成立，所以只需满足a≤，因为x>0，所以＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故实数a的取值范围是(－∞，9]．] 类型4　利用均值不等式解决恒成立问题 【例8】　已知a>0，b>0，且ab＝1，不等式≥4恒成立，则正实数m的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．[6，＋∞) D．[8，＋∞) B　[由题设知，m≥4(a＋b)－(a＋b)＝4(a＋b)－(a＋b)2恒成立， 而4(a＋b)－(a＋b)2＝4－(a＋b－2)2，又a＋b≥2＝2当且仅当a＝b＝1时等号成立， 所以4(a＋b)－(a＋b)2≤4，且等号成立条件同上，故m≥4．故选B．] 章末综合测评(二)　等式与不等式 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式组的解集是(　　) A．{x|x＞－3}　　 B．{x|－3≤x＜2} C．{x|－3＜x≤2} D．{x|x≤2} C　[ 解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x＞－3， ∴不等式组的解集为{x|－3＜x≤2}． 故选C．] 2．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 C　[(法一)依题意得α＋β＝－1，αβ＝－2， ∴(α－1)(β－1)＝αβ－(α＋β)＋1＝－2＋1＋1＝0． (法二)解方程可得方程的两根为－2，1，不妨设α＝－2，β＝1，∴(α－1)(β－1)＝0．] 3．设A＝(m，n为互不相等的正实数)，B＝＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　) A．A>B B．A≥B C．A<B D．A≤B A　[因为m，n为互不相等的正实数，则≠， 所以A＝>2＝2．B＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2≤2，当x＝2时，Bmax＝2， 所以A>B．] 4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b＝(　　) A．－3 B．1 C．－1 D．3 A　[由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}． A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知： a＝－1，b＝－2， ∴a＋b＝－3．] 5．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞5或m＜－3 B．m≥5或m≤－3 C．－3≤m≤5 D．－3＜m＜5 D　[依题意有Δ＝(m－1)2－16＜0， 所以m2－2m－15＜0， 解得－3＜m＜5．] 6．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是(　　) A．200台 B．150台 C．100台 D．50台 B　[要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000＋20x－0.1x2，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量是150台．] 7．在R上定义运算⊗：M⊗N＝(1＋M)(1－N)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，2) C． D． B　[因为(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x均成立，所以(1＋x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立．即(1－a)2－x2<1恒成立， 所以(1－a)2<1＋x2恒成立， 所以只需(1－a)2<(1＋x2)min， 又因为(1＋x2)min＝1， 所以(1－a)2<1， 解得0<a<2．] 8．若两个正实数x，y满足4x＋y＝xy，且存在这样的x，y使不等式x＋<m2＋3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，4) B．(－4，1) C．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，＋∞) C　[因为x>0，y>0且4x＋y＝xy， 所以＝1． 所以x＋＝＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝， 即y＝4x＝8时，等号成立． 所以m2＋3m>4， 即(m＋4)(m－1)>0，解得m<－4或m>1． 所以实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若a>b，c<0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2>bc2 B．a＋c<b＋c C．a>b＋c D．> AC　[对A：∵a>b，c<0，则c2>0， ∴ac2>bc2，A正确； 对B：∵a>b，故a＋c>b＋c，B错误； 对C：∵c<0，故a>a＋c>b＋c，即a>b＋c，C正确； 对D：做差可得，＝， ∵a>b，c<0，则a－b>0， ∴<0，即<，D错误．故选AC．] 10．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，则下列结论错误的是(　　) A．a＋b有最小值2(＋1) B．a＋b有最大值(＋1)2 C．ab有最大值＋1 D．ab有最小值2(＋1) BCD　[因为ab－(a＋b)＝1，ab≤， 所以－(a＋b)≥1， 它是关于a＋b的一元二次不等式， 解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)． 所以a＋b有最小值2(＋1)． 又ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2， 所以ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式， 解得＋1或≤1－(舍去)， 所以ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2．故选BCD．] 11．已知关于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>3}，下列说法正确的是(　　) A．a＋5b＋c＝0 B．c<0 C．bx2－ax＋c>0的解集是(－2，3) D．对于任意的x∈R，cx2＋ax－b<0恒成立 AC　[因为关于x的一元二次不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x<－2或x>3}， 所以a<0，且方程ax2－bx＋c＝0的解为x＝－2或x＝3，则＝1，＝－6，即b＝a，c＝－6a， 所以a＋5b＋c＝a＋5a－6a＝0，故A正确； c＝－6a>0，故B错误；由bx2－ax＋c>0，即ax2－ax－6a>0， 即x2－x－6<0，解得－2<x<3， 即bx2－ax＋c>0的解集是(－2，3)，故C正确； 由cx2＋ax－b<0，得－6ax2＋ax－a<0， 即6x2－x＋1<0，不等式无解，故D错误．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－的上确界为________． －　[因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＝×(a＋b)＝＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－≤－，即－的上确界为－．] 13．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则＝________，关于x的不等式>0的解集是________．(本小题第一空2分，第二空3分) －1　{x|x<－1或x>2}　[依题意，a>0且－＝1，所以＝－1；不等式>0可变形为(ax－b)(x－2)>0，即(x－2)>0， 所以(x＋1)(x－2)>0， 故x>2或x<－1．] 14．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则>0；②若ab>0，>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，>0，则ab>0．其中正确的命题是________．(填序号) ①②③　[对于①，若ab>0，bc－ad>0， 不等式两边同时除以ab得>0，所以①正确； 对于②，若ab>0，>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以②正确； 对于③，若>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以③正确． 综上，正确的命题是①②③．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)求下列不等式的解集． (1)－4＜－x2－x－； (2)(x＋3)2≥(1－2x)2． [解]　(1)原不等式可化为x2＋x＋＜4， 化简，得x2＋2x－5＜0． 因为x2＋2x－5＝x2＋2x＋1－1－5＝(x＋1)2－6，所以原不等式等价于(x＋1)2＜6， 开平方，得|x＋1|＜，解得－－1＜x＜－1． 所以原不等式的解集为{x|－－1＜x＜－1}． (2)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2≥0， 因式分解，得(3x＋2)(x－4)≤0， 解得－≤x≤4， 所以原不等式的解集为． 16．(15分)已知函数y＝x2＋(2a－2)x＋b． (1)若不等式y>1的解集为{x|x<－2或x>3}，求a，b的值； (2)若b＝－4a，求不等式y≤0的解集． [解]　(1)由不等式y>1的解集为{x|x<－2或x>3}，得x2＋(2a－2)x＋b－1>0的解集为{x|x<－2或x>3}， 因此方程x2＋(2a－2)x＋b－1＝0的两根为－2和3，则解得 所以a＝，b＝－5． (2)当b＝－4a时，由y≤0得x2＋(2a－2)x－4a≤0，即(x－2)(x＋2a)≤0， 当a>－1时，－2a<2，解得－2a≤x≤2； 当a＝－1时，－2a＝2，解得x＝2； 当a<－1时，－2a>2，解得2≤x≤－2a， 所以当a>－1时，原不等式的解集为{x|－2a≤x≤2}； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x＝2}； 当a<－1时，原不等式的解集为{x|2≤x≤－2a}． 17．(15分)已知x>0，y>0，2xy＝x＋4y＋a． (1)当a＝16时，求xy的最小值； (2)当a＝0时，求x＋y＋的最小值． [解]　(1)当a＝16时，2xy＝x＋4y＋16≥2＋16＝4＋16， 即2xy≥4＋16，即(＋2)(－4)≥0，所以≥4， 即xy≥16，当且仅当x＝4y＝8时等号成立，所以xy的最小值为16． (2)当a＝0时，2xy＝x＋4y，即＝1， 所以x＋y＋＝x＋y＋1＝(x＋y)＋1＝＋2＝， 当且仅当＝，即x＝3，y＝时等号成立， 所以x＋y＋的最小值为． 18．(17分)在①x2－(2a－1)x＋a2－a＜0，②x2－2ax＋a2－1＜0，③x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围． 已知p：＜0，q：________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． [解]　由命题p：＜0，得－3＜x＜4，规定集合A＝{x|－3＜x＜4}．设q对应的x的范围即为集合B，因为p是q的必要不充分条件，所以B⊆A． 选条件①：x2－(2a－1)x＋a2－a＜0． 由x2－(2a－1)x＋a2－a＜0可解得a－1＜x＜a． 因为B⊆A，只需且等号不能同时取得，解得－2≤a≤4， 即实数a的取值范围为[－2，4]． 选条件②：x2－2ax＋a2－1＜0， 由x2－2ax＋a2－1＜0可解得a－1＜x＜a＋1． 因为B⊆A，只需且等号不能同时取得，解得－2≤a≤3， 即实数a的取值范围为[－2，3]． 选条件③：x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)． 由x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)可解得1＜x＜a． 因为B⊆A，只需解得1＜a≤4， 即实数a的取值范围为(1，4]． 19．(17分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ [解]　(1)y＝＝≤ ＝≈11.08． 当且仅当v＝，即v＝40千米/时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/时． (2)据题意有≥10， 化简得v2－89v＋1 600≤0， 即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64． 所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $