学案21 等式与不等式 章末总结-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

人教B版数学必修第一册 学案21 课笔 章末总结 网络构建 恒等式 等式的性质 方程的解集 等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 二元一次方程组的解集 方程组的解集 三元一次方程组的解集 等式与不等式 二元二次方程组的解集 不等式及其性质 比较大小 证明或判断 不等式（组）的解集 不等式的解集 不等式 绝对值不等式 一元二次不等式的解法 简单的分式不等式的解法 因式分解法 配方法 求最值 均值不等式及其应用 证明不等式 在实际问题中的应用 、不等式性质的应用 「方法总结」判断关于不等式的命题真假的两 【例题1】(1)下列命题正确的有 种方法 ①若a>1,则。<1：②若a十c>6,则日名 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不 等式的性质联系起来考虑，然后进行推理判断 ③对任意实数a,都有a2≥a;④若ac2>bc2,则 (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的 a>b. 变量取一些特殊值，然后进行比较、判断. A.1个 B.2个 跟踪训练1（多选）若a,b,c∈R,a<b<0,则下 列不等式中正确的是 () C.3个 D.4个 2)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,2的取 B.a2b-ab2 值范围. C.alcl>blcl D.a(c2+1)<b(c2+1) 二、求不等式的解集 【例题2】已知y=x2-ax-2a2,a∈R. (1)若a=0,求不等式y<5x-6的解集； 1156 章未总结学案21 (2)若y<0的解集为（一4,2），求关于x的不 「方法总结」利用均值不等式求最值问题的解 听 等式3-a≤1的解集. 题策略 课 x-1 注意寻求已知条件与目标式之间的联系，常用的 记 方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解 题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形 就是错误的，很多题目中特别注意“1”的代换. 跟踪训练3 卫知正效a6满足+名=1，则 a十2b的最小值为 ( A.9 B.6 C.4 D.3 「方法总结」对于含参数的一元二次不等式，若 四、不等式恒成立问题 二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对根 【例题4】已知Hx∈R,a.x2+2a.x+3>0为真命 的大小进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式 题，则实数a的取值范围是 分类讨论，分类要做到不重不漏， 「方法总结」 一元二次不等式恒成立的问题 跟踪训练？已知关于x的不等式x-。+日)女 |a>0, ax2十bx十c>0(a≠0)恒成立台 +1≤0. △<0； (1)若a=2,求该不等式的解集： a<0, a.x2+bx+c<0(a≠0)恒成立台 △<0； (2)若a>0,求该不等式的解集. a>0, ax2+bx十c≥0(a≠0)恒成立台 △≤0； a<0, ax2十bx十c≤0(a≠0)恒成立台 △≤0 对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做 到不重不漏 跟踪训练4不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0 的解集为☑，则实数a的取值范围是 三、均值不等式的应用 A.{a|-2<a≤2} 【例题】已知0<x<；,则v(6-4的最大 B.{a-2<a<2) C.{aa<-2或a≥2} 值为 D.{aa<2} 课后反思 57102.C[设矩形模型的长和宽分别为x,y, (2)因为a+2b=1, 则x>0,y>0, 所以a2+6ab+4b2=(a+2b)2+2ab=1+2ab≤1+ 由题意可得2(x十y)=8, (2y-1+ 所以x+y=4, 所以矩形模型的面积S=y≤红+》'- 1 =4,当且仅当 当且仅当a=2b,即b= ,a= 时取学号， 4 4 所以a2+6ab十42的最大值为 5 x=y=2时，等号成立， 所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为 7.解：设城建公司获得的附加效益为y千元， 4cm2.] 3.D[因为x>0,y>0且2+1=1， 由题秦得y-2红-(ar+。-1）-1u6-(+) x y =118-4(x+3) 所以x+2y-运+2)（层+）-4+竖+子≥4+ +- y =130- 4(x+3)+ 7847 x+3」 784 =130-112=18, 当且仅当y-二，即工=4，y=2时等号成立， ≤130-2/4(x+3)· x+3 x y 所以(x十2y)min=8,要使x十2y>m2恒成立， 当且仅当4(z+3)=784 x+3' 只需(x+2y)min>m2,即8>m2, 即x=11时取等号， 解得-2√2<m<2√2.故选D.] 所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益， 4.5+26[由2a+b=ab-1,得a=6十 学案21章末总结 b-2” b+1 因为a>0,b>0,所以a 6-2>0,b+1>0, 【例题1】(1)B[因为a>1,所以】<1，所以0正确；若a十 所以b>2, >b,可令a=三1，G1,6=二1，则有>方，故②错误：对于 所以a+26-22b6203+26-2)+426一2 b-2 1 ③，可取a=2,则a2<a,故③错误；因为ac2>bc2,c2>0, 3 3 6产2+5≥2/26-2)‘62+5=5+26， 所以a>b,故④正确.门 (2)解：因为-2<b<一1，所以1<-b<2, 当卫枚当26-2)=622即6=2+ 3 ?时等号成立。 又因为2<a<3, 所以2<-ab<6, 所以a+2b的最小值为5+2V6.] 所以-6<ab<-2. 5.(-∞，0][因为x>-1,所以x+1>0, 因为-2<b<-1,所以1<b2<4, 1 则x+中市一1=x+1+z中市2 因为2<a<3,所以3<a<2' 1<1<1 1 ≥2√x+1)·x干2=2-2=0， 1 当且仅当x十1=x十' 跟踪训练1AD[对于A,因为a<b<0, 即x=0时，等号成立， a 南观态可件a≤(e+中一1)=0，即&0，] 对于B,因为a<b<0,所以ab>0,a2b<ab2,故B错误； min 对于C,当c=0时，a|c=b|c|,故C错误： 6.解：(1)因为a十2b=1, 对于D,由c2+1>0,a<b<0,可得a(c2+1)<b(c2+1),故 a ba D正确.故选AD.] 【例题2】解：(1)当a=0时，y=x2,则由y<5x一6， =4, 得x2<5x-6,即x2-5x十6<0，解得2<x<3, 当且仅当a=6=子时取等号， 所以不等式的解集为{x|2<x<3》. 所以1 (2)因为y<0的解集为（一4,2）， 以。十古的最小值为4 所以方程x2-ax一2a2=0的两个根为-4和2， 191 -4+2=a, 跟踪训练4A[因为关于x的不等式(a一2)x2+2(a一2)x 所以 。解得a=-2, -4×2=-2a2, 一4≥0的解集为， 所以不等式晋≤1，可化为计1 所以关于x的不等式(a一2)x2+2(a一2)x一4<0的解集 x-1 为R. 所a-100, 当a一2=0，即a=2时，一4<0，显然满足题意； x-1 当a一2≠0时， (x+4)(x-1)≤0， 所以〈 解得-4≤x<1, a-2<0, x一1≠0， 则 解得-2<a<2, △=[2(a-2)]2+4×4×(a-2)<0, 即不等式的解集为{x|一4≤x<1}. 综上，一2<a≤2，即实数a的取值范围是{a-2<a≤2}. 跟踪训练2解：(1)当a=2时，x2-5 2x+1≤0，即2x2-5x 故选A.] +2<0,解得号<<2， 第三章函数 故谎不等式的解案为[日，2]： 学案22函数的概念 2r2-(a+）+1≤0a(-君）x-a)≤0. 课堂活动 活动一 ①当0<a<1时a<日不等或的解集为[，]： 新知导学 问题1提示：(1)是.5与t的关系可以表示为s=350t,此时t ②当a=1时，a= =1,不等式的解集为(1)： a 的变化范围是数集A1={t0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集 @当>1时a>。不学式的释集为[日] B1={s0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t,按照对应 关系s=350t,在数集B1中都有唯一确定的路程s和它 综上，当0a<1时，不等式的解象为，]： 对应. 当a=1时，不等式的解集为{1}； (2)(3)是. 问题2提示：共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A,B 当a>1时，不等式的解条为[日d], 来表示：(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法 【例题3】 [因为0<x<,所以5-4红>0，所以 不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x, 4 按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. Vx6=4知=V4x(。-4z≤4红+5-4红= 新知生成 2 4 4,当且仅当 实数集每一个实数x唯一确定fy=f(x)取值的 5 4红=5-4红，即x=8时，等号成立.故√(5=4)的最大值 范围 为3 新知应用 B[由题图知A的定义域不是P,不符合题意；B符合函数 跟踪训练3A[因为正敏a,6满足十号-1， 的定义，符合题意；C中，集合P中有的元素在集合Q中对应 两个值，不符合函数的定义；D中，当x=2时，有两个值与之 则a+必=a+6)(仔+号)=1+台+的+4 a 对应，不符合函数的定义.故选B.] 活动二 0.2=9, ≥5+2a· 新知导学 当且仅当26-2a =6,即a=3,b=3时， 问题3提示：一次函数的定义域是R,值域也是R,对应关系是 a f(x)=ax+b(a≠0)；二次函数f(x)=ax2十bx十c(a≠0) a十2b取得最小值9. 故选A.] 的定义越是R,当>0时，它的位域是少≥。：当 【例题4】[0,3)[当a=0时，3>0恒成立，所以为真命题， a0时，它的值装是如对度关系是了) 当a≠0时，Vx∈R,ax2十2ax十3>0为真命题， a>0, ax3+bx十c(a≠0)：反比例函数了(x)=克(k≠0)的定义裁 所以 解得0<a<3, x 4=4a2-12a<0, 综上可得a的取值范围为[0,3).] 是{xx≠0}，值城是{yly≠0，对应关系是f(x)=（k≠0) 1120