1.1.2 集合的基本关系-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦集合的基本关系这一核心知识点，系统梳理子集、真子集的定义与符号表示，集合相等的判定方法，以及空集是任何集合子集等性质。通过与集合基本概念的衔接，为后续集合运算奠定基础，构建从概念到应用的学习支架，包含定义解析、维恩图直观表示、性质归纳及例题练习。 资料以草原牛羊集合情境引入，引导学生用数学眼光抽象集合关系，通过维恩图和数轴强化直观想象，证明X=Y等例题培养逻辑推理。课中例题链接教材便于教师授课，课后分层作业和知识回顾助力学生巩固子集个数计算等要点，查漏补缺。

1.1.2　集合的基本关系 学习任务 1．理解集合之间的包含与相等的含义．(数学抽象) 2．能识别给定集合的子集、真子集，并会用列举法求给定集合的所有子集、真子集．(数学运算、逻辑推理) 3．会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系．(直观想象) “天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊．”如果草原上某牧民家所有的羊组成集合A，所有的牛、羊组成集合B． 问题　(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B存在什么关系？ 知识点1　子集与真子集 1．子集与真子集的定义 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB(或BA) (1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ [提示]　(1)不一定，如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； 符号“⊆”表示集合与集合之间的关系． 2．子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A． (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅A． (3)包含关系的传递性：对于集合A，B，C． ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC； 3．维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图． 知识点2　集合的相等与子集的关系 1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． 2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){0，1，2}⊆{2，0，1}． (　　) (2)若A⊆B，且A≠B，则AB． (　　) (3)集合{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．下列命题中，正确的个数是(　　) ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A，则A≠∅． A．0 B．1　　　　 C．2 D．3 B　[在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若∅A，则A≠∅，故④正确．故选B．] 3．下列图形中，表示M⊆N的是(　　) 　 A　　　　B　　　　　C　　　　D C　[由维恩图知，选C．] 4．下列各组中的两个集合相等的有(　　) ①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； ②P＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}； ③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝． A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② B　[①中，对于Q，因为n∈Z，所以n－1∈Z，所以Q表示偶数集，所以P＝Q．②中，P是由所有正奇数组成的集合，Q是由所有大于1的正奇数组成的集合，所以集合P与集合Q不相等．③中，P＝{0，1}，对于Q，当n为奇数时，x＝＝0；当n为偶数时，x＝＝1，故Q＝{0，1}，所以P＝Q．故选B．] 类型1　集合间关系的判断 【例1】　【链接教材P13例3】 (1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0，1，2}；②；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 (2)判断下列每组中两个集合的关系： ①A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}． ②A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝x2}． (3)(源自人教A版教材)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： ①A＝{1，2，3}，B＝{x|x是8的约数}； ②A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}． (1)B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序实数对(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B．] (2)[解]　①因为n∈Z，所以n＋1∈Z，所以B表示偶数集， 因为A也表示偶数集， 所以A＝B． ②因为A＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝x2}＝R， 所以AB． (3)[解]　①因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集． ②因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集． 【教材原题P13例3】 例3　写出下列每对集合之间的关系： (1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5}； (2)C＝{x|x2＝1}，D＝{x||x|＝1}； (3)E＝(－∞，3)，F＝(－1，2]； (4)G＝{x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H＝{x|x是有一个内角为直角的平行四边形}． [分析]　因为集合之间的关系是通过元素来定义的，所以只要针对集合中的元素进行分析即可． [解]　(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4∉B，所以 B⊆A． (2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以 C＝D． (3)在数轴上表示出区间E和F，如图1－1－6所示． 由图可知 FE． (4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H． 反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G， 因此H⊆G． 综上可知，G＝H． 　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)特征性质法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间的关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． [跟进训练] 1．判断下列两个集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－1<x≤3}； (3)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}． [解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)∵A＝{x|0<x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，用数轴表示如下，∴A⊆B． (3)(法一)由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0； 由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B． (法二)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，从而A＝B． 类型2　集合的子集、真子集的个数问题 【例2】　【链接教材P11例1】 (1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　　) A．6 B．7　　　　 C．8 D．9 (2)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (1)B　(2)B　[(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个元素的有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素的有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集，故选B． (2)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素．又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2．] 【教材原题P11例1】 例1　写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集． [分析]　如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3．可依下列步骤来完成此题： (1)写出元素个数为0的子集，即∅； (2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}； (3)写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}； (4)写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}． [解]　集合A的所有子集是 ∅，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集． 　1．求集合子集、真子集个数的3个步骤 2．与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集的个数为2n个． (2)A的真子集的个数为2n－1个． (3)A的非空真子集的个数为2n－2个． [跟进训练] 2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． [解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}， ∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， ∴A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． 类型3　集合相等关系的应用 【例3】　已知集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，证明：X＝Y． [思路导引]　要证明X＝Y，应证明X⊆Y，且Y⊆X． [证明]　(1)设x0∈X， 则x0＝2n0＋1，且n0∈Z． ①若n0是偶数， 可设n0＝2m，m∈Z， 则x0＝4m＋1，m∈Z， ∴x0∈Y； ②若n0是奇数， 可设n0＝2m－1，m∈Z， 则x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，m∈Z，∴x0∈Y． 故不论n0是奇数还是偶数，都有x0∈Y，∴X⊆Y． (2)设y0∈Y， 则y0＝4k0＋1或y0＝4k0－1，k0∈Z． ∵y0＝4k0＋1＝2(2k0)＋1或y0＝4k0－1＝2(2k0－1)＋1，又k0∈Z， ∴2k0∈Z，2k0－1∈Z， ∴y0∈X， ∴Y⊆X． 综上所述，X＝Y． 　(1)对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，说明两个集合中的元素完全相同，从而得出两个集合相等． (2)若集合A，B均为无限集，一般不用“集合A，B所含元素完全相同”来证明，这是因为当集合为无限集时，很难判定两个集合的元素完全相同，此时可证明集合A，B互为子集，即证明A⊆B，同时B⊆A． [跟进训练] 3．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值． [解]　由已知A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A． 若x＝0，则A＝{0，0，－y}，不满足元素的互异性； 若xy＝0，即y＝0，则B＝{0，|x|，0}，也不满足元素的互异性， 所以只有x－y＝0，即y＝x， 所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}， 所以x2＝|x|， 所以x＝0(舍)或x＝1或x＝－1． 当x＝1时，A＝B＝{1，1，0}，不满足元素的互异性，故x≠1． 当x＝－1时，A＝B＝{－1，1，0}，满足题意．所以x＝y＝－1即为所求． 类型4　根据集合之间的关系求参数 【例4】　【链接教材P11例2】 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． [解]　当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3； 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得a<－4或2<a≤3． 综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}． [母题探究] (变条件)把集合A换成“A＝{x|－1<x<2}”，集合B不变，求当A⊆B时，实数a的取值范围． [解]　因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}． 若A⊆B，如图， 所以或解得－1≤a≤－， 所以实数a的取值范围为． 【教材原题P11例2】 例2　已知区间A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围． [解]　因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图1－1－5所示． 从而可知a≤2． 　应用集合关系求参数的步骤 提醒：此类问题的易错点有三个地方：①忽略A＝∅或B＝∅的情况；②在数轴上表示两个集合时，没有分清实心点与空心圈；③没有弄清包含关系，没有正确地列出不等式或不等式组． [跟进训练] 4．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}． (1)若B⊆A，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，求实数m的取值范围． [解]　(1)①当B≠∅，如图所示． ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3． ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2． 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}． (2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅． ∴即 ∴m不存在，即不存在实数m使A⊆B． 1．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}． ∵M＝{－1，0，1}， ∴NM，故选B．] 2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么(　　) A．若a＝3，则A⊆B B．若A⊆B，则a＝3 C．若a＝3，则AB D．若A⊆B，则a＝2 A　[当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，A⊆B成立．当A⊆B时，a＝2或3．] 3．(教材P14练习BT1改编)集合A＝{x∈N|－2<x<2}的真子集的个数是(　　) A．8 B．7　　　　 C．4 D．3 D　[因为集合A＝{x∈N|－2<x<2}＝{0，1}， 所以集合A的真子集的个数为22－1＝3． 故选D．] 4．已知集合A＝(－∞，3)，集合B＝(－∞，m)且A⊆B，则实数m的取值集合是________． [3，＋∞)　[将集合A在数轴上表示出来，如图所示． 要满足A⊆B，表示实数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？ [提示]　两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系． 2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？ [提示]　(1)∅⊆A，(2)∅A(A≠∅)． 3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？ [提示]　包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用． “白马非马”的故事 公孙龙，中国古代哲学家，《白马论》是他的一篇哲学名篇，文中的一个主要论题是“白马非马”．他提出的理由之一是：“求‘马’，‘黄’‘黑’马皆可致，求‘白马’，‘黄’‘黑’马不可致……是白马之非马，审矣！”意思是：若说要马，黄马黑马都行，若说要白马，黄马黑马就不行了……可见白马非马是无疑的了．想一想，公孙龙话里的奥妙在哪里？ 我们日常说话用的自然语言虽然生动通俗，但很难做到严谨，因为常有一字多义的情形．“白马非马”的“非”字，乃“是”字的反义词．“是”字的用法有多种．例如：“关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马”，这里的“是”相当于数学中的“＝”，表示“关羽千里走单骑的坐骑”和“赤兔马”是同一个事物；“赤兔马是红马”，这里的“是”相当于集合符号“∈”，表示“赤兔马”是“红马”集合的一个元素；“红马是马”，这里的“马”是个大集合，“红马”是个小集合，“是”字表示的是两个集合之间的包含关系，即红马集合包含于马集合． 可见“是”字身兼多义，如表示“等于”“属于”或“包含于”，那么“非”字也就可以表示“不等于”“不属于”或“不包含于”了．公孙龙所论证的实际上是“白马集合不等于马集合”，这个意思大家一听就明，但含糊地说“白马非马”，通常会被理解成“白马集合不包含于马集合”，就引起讨论的兴趣了． 这个例子说明，使用集合的思想和一词一义的数学概念，有助于把事情弄清楚． 课时分层作业(三)　集合的基本关系 一、选择题 1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　) A．P∈Q　　B．P⊆Q　　C．Q⊆P　　D．Q∈P C　[集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，由于集合Q中的元素都在集合P中，所以Q⊆P．故选C．] 2．已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以是(　　) A．{1，8} B．{2，3} C．{0} D．{9} A　[由A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，可知集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知只有A满足题意．] 3．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系正确的是(　　) ①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U． A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥ D　[元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．] 4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[因为集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C的个数为4．] 5．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B，所以a＝1．故选B．] 二、填空题 6．已知集合M＝{1，0，－1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M}，则集合N的子集个数为________，真子集个数为________． 8　7　[(法一：列举法)由题意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，{0，1，－1}，共8个；真子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，共7个． (法二：公式法)由题意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集个数为23＝8，N的真子集个数为23－1＝7．] 7．已知M＝{x|x≥2，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M．其中正确的有________．(填序号) ①②　[①②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“⊆”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．] 8．已知集合A＝{a＋b，－2}，B＝{－2，ab}，则满足A＝B的一组有序实数对(a，b)可以为________． (2，2)　[由题意可得a＋b＝ab，即(a－1)b＝a，显然a≠1，所以b＝，故(a，b)可以为(2，2)．] 三、解答题 9．指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}； (3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}； (4)M＝，N＝． [解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A⊆B． (2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝∅，所以B⊆A． (3)由图形的特点可画出维恩图如图所示， 从而D⊆B⊆A⊆C． (4)对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，N⊆M． 10．(多选)若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x，y}⊆A，则xy，x＋y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A是“紧密集合”．下列说法正确的是(　　) A．整数集是“紧密集合” B．实数集是“紧密集合” C．“紧密集合”可以是有限集 D．若集合A是“紧密集合”且x，y∈A，则x－y∈A BC　[A选项：若x＝2，y＝1，而∉Z，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项：集合{－1，0，1}是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项：集合A＝{－1，0，1}是“紧密集合”，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2∉A，D错误．] 11．设集合M＝，N＝x，则(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．无法确定 B　[由集合M＝，得x＝＝，分子是奇数， 由集合N＝， 得x＝＝， 分子可以是奇数也可以是偶数，则M⊆N，故选B．] 12．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________． 201　[可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201．] 13．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 254　(－∞，－2]∪[－1，2]　[化简集合A＝{x|－2≤x≤5}． (1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}， 即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集个数为28－2＝254． (2)①当m≤－2时，B＝∅，B⊆A； ②当m>－2时，B≠∅，因此，要使B⊆A， 则只要∴－1≤m≤2． 综上所述，m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，2]．] 14．(1)已知A＝{x|m＋1≤x≤3m－1}，B＝{x|1≤x≤10}，且A⊆B，求实数m的取值范围． (2)若(1)中的“B＝{x|1≤x≤10}”改为“B＝{x|x>10或x<1}”，其余条件不变，求实数m的取值范围． [解]　(1)①A＝∅时，m＋1>3m－1，解得m<1，满足A⊆B； ②A≠∅时，由A⊆B可得 解得1≤m≤． 由①②得m≤，故m的取值范围是． (2)①A＝∅时，m＋1>3m－1， 解得m<1，满足A⊆B； ②A≠∅时，由A⊆B可得或即m无解或m>9． 故m的取值范围是{m|m<1或m>9}． 15．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任 意给定的x，y∈S(x，y可以相同)，有x＋y∈S且x－y∈S． (1)集合S能否为有限集？若能，求出所有有限集；若不能，请说明理由． (2)证明：若3∈S且5∈S，则S＝Z． [解]　(1)能．若a∈S，且a≠0，由题意知a的所有整数倍的数都是S中的元素，所以S是无限集； 若a∈S，且a＝0，则S＝{0}，x＋y∈S，x－y∈S，符合题意，且S＝{0}是有限集， 所以集合S能为有限集，即S＝{0}． (2)证明：因为非空集合S的元素都是整数，且x＋y∈Z，x－y∈Z，由5∈S，3∈S， 所以5－3＝2∈S，所以3－2＝1∈S， 所以1＋1＝2∈S，1＋2＝3∈S，1＋3＝4∈S，…， 1－1＝0∈S，0－1＝－1∈S，－1－1＝－2∈S，－2－1＝－3∈S，…， 所以非空集合S是所有整数构成的集合，所以S＝Z． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $